前幾集我在podcast 講下注和資產配置的時候，提到學弟航海王為什麼那麼秋，為什麼人家可以只抓住了一個統計邏輯，就將資產推上數十億。

他是Poker高手，他很會凱利公式，滿腦子都是期望值、勝率、賠率。

雖然我不會打牌，但剛看到有人整理從Poker看人性弱點，其實跟投資87分像：

1.貪玩
一開始拿爛牌不撤

2.捨不得
心疼之前付出的成本而不停損

3.心存僥倖
祈禱有奇蹟發生

4.以偏概全
只看一個例子就下結論

其實，德州撲克如同人生，理解不確定性、專注能改變的事、計算機率、勇敢停損、不要意氣用事。

如果更多人能多學些上述道理，我相信社會能多些理智，少些暴戾。

Ps. 做個調查，如果我慫恿不願開課的poker職業選手開課，不知願意上的人有多少（當然我知道高手們都希望這生態更多肉腳（fish）才好賺，但教教基礎概念，應該不妨礙大神們賺錢吧？

今天真是很有趣的一天，

早上起來看到拜登票數領先，
但是把還沒有開完票的州算進去的話，
川普會獲得比較多的選舉人票，

這時賭盤的賠率，
也從看好拜登，變成看好川普，

「現在下川普贏的話，賠率有1.5，要不要下？」
朋友傳這個訊息給我，
雖然我也沒什麼管道可以下，
好險沒有下...

但當時這個不高不低的1.5賠率，
實在是蠻奧妙的，

早上我拿著計算機，算完選舉人票，
以為怎麼算都是川普贏的，

我還信誓旦旦的傳訊息給我媽說，
「我算過了，川普會贏」

沒想到晚上突然就翻盤，
變成拜登要贏了。

因為用信件投票的，所謂壓箱底的票，
居然都偏向拜登。

我其實是個偏中立的人，
只是熱愛探索世界，
喜歡收集資訊，
覺得這一切很有趣。

一邊處理著案子跟課程的東西，
一邊觀察著選情，
看著各路大師的預測，
看著今天暴漲的美股&台股，
同時聽著youtube上的投資頻道，對於股市的分析，

吸收著大量資訊，持續認識這個很有趣的世界。

我一邊還會一邊跟員工分享，
強迫他們學習，
雖然他們會跟我抱怨資訊量太大，
因為他們還要學網站的東西，
但我是把這種資訊當成是公司福利啦，
這都是很重要的資訊啊～

總之一切就像是平行宇宙，資訊極其混亂，
在當下很難判斷哪一邊的資訊比較對，

照理來說，股市不喜歡這種不確定性，
但美股跟台股還是一起噴發，一吐十月的怨氣

到現在還沒有確定結果，
就算拜登贏，川普也有可能不服，
股市就先噴了，
這個世界就是這樣，莫名其妙的，有趣。

連載文章 20—2020/08/23
《平民投資王》網路版---劉鳳和 著 無版權—可大大分享

所以佣金多寡從來不會是我劉鳳和賣保險的考量。

過沒多久，這項空服員專案因為理賠率太高，對保險公司來說不敷成本，後來也停辦了。隨後，不知道是不是我運氣好，剛好遇上政府首度開放產物保險公司可以販賣個人意外險的條令，保費只占壽險公司將近二分之一的費率，非常便宜。我猛然在紅海中看到一線生機，意外險這一塊在台灣幾乎是沒人要做的生意，不如讓我努力去試試看。我要讓相信我的人，可以用很低的保費買到很高的保障
。

於是，我一個case一個case去談。意外險是非常好賣的保險，成交速度很快；再加上我在電視和書裡一再闡述意外險的功能和意義，所以主動跟我買保險的人也愈來愈多。一天，我心血來潮拿起計算機敲敲，發現，以一個普通人的內勤工作投保一百萬的意外險額度來算，一年保費大約是六百元；一千萬，就有六千多元。如果一份保險我能夠有十五%的佣金，六千多元我就可以賺進將近一千元。假使我每天努力工作，一天銷售一個客戶，一個月三十天下來，我就有近三萬元的收入。

各位想一想，如果現在是二O一三年，我三月簽了新的保戶，進帳三萬塊錢；四月時也很努力，也簽了新保戶，又有三萬塊錢進來；等到二O一四年三月，原先的保戶續繳保費，又陸續有新的保戶增加，三萬加上三萬，等於六萬；第三年，保費六萬再加三萬，等於九萬；第四年，是不是就等於十二萬，以此類推。
雖然中間可能有客戶不再續保，但還是有新客戶持續增加。我大概經營了快十年時間，慢慢耕耘大家都沒興趣的低保費高保障保單，全台灣二千三百萬的朋友，陸陸續續都會找到我。那麼我一個月的三萬，經過十年下來能賺多少錢？我只能說，那個數字連我自己都覺得非常驚人！

個人意外險雖然一開始並不順利，但是十年下來，不管我怎麼做，都已經累積到好多好多的客戶，透過口耳相傳，舊客戶幫我找來新客戶，新客戶，又幫我找來更新的客戶，讓我賺到一筆小小的財富，如果再加上之前講的外籍勞工的保險，這兩筆錢加起來已經是不得了的收入。最重要的是，大家都漸漸接受意外險的觀念，認同我提出的保費設計，能夠造福更多朋友，就是我此生最快樂的事。

我的「收入」勝過十個大富翁

我從外勞的意外險，延伸到國人、個人的意外險，又從而衍生出個人的壽險、癌症險，這些看似五花八門的保險項目，其實統統都有一個特性：它們都是低保費、高保障的一年期保單。

一年期壽險，是繼意外險之後我大力鼓吹的產品，這也是佣金微薄，沒有人要做的另一項生意。想想看，一個三十歲的女生，購買一年期的一百萬壽險，一年只要付六百元保費，男生也才一千六百元，雖然對保戶既能得到基本保障，又不致負擔太重；但對業務員來說，只能賺－O %到一五%，連一百塊錢不到的佣金，怎麼可能活？天底下哪有保險員會甘願去賺這種小錢？

壽險之後，我又推廣一年期癌症險，同樣是用低保費買高保障的一年期﹔同樣
是保障保戶，卻餓了業務員的保單。也是別人會說我傻，我卻覺得自己一點也不傻。隨著物價上漲，保費也進入M 型消費，如果我們再用過去的思維，購買一份需要繳交二十年保費的終身險，那保費不僅貴得離譜，甚至自己都可以開保險公司了。

也正因為我知道這些沒人要賣的保單其實非常好介紹、非常好賣，在和客戶說明的時候我總是義正詞嚴，因為我覺得自己完全不是以自身的利益為導向。現在大家工作已經很辛苦了，如果還得扛上大筆的保險債，萬一中途斷繳，前面拚命繳的保費付諸流水。所以一年期的保險，對廣大老百姓來說是很貼心的設計。

幫助愈來愈多的人，也讓愈來愈多保戶明白我的用心，甚至還有一些中南部的朋友帶著他們家鄉的土產，專程拿送給我品嘗；有的阿嬤還帶她養的老母雞北上，有的阿伯帶他的生機食品來找我。看著這些人，我心裡充實又幸福﹔我一直強調，我賺到的錢並不見得比別人多很多，但我賺到更多時間和快樂，光是這樣，我賺到的其實已經勝過十個大富翁了。

我在信義區買下辦公大樓！

這種工作和行銷模式，也讓我比旁人多一些特別的經歷。我接觸到很多公司行號的有錢老闆，其中一位萬通人力侯佑霖經理，我們相識七、八年了，中間有一起吃飯聊天，我從來沒有推銷他一張保單。直到有一天，侯總經理終於忍不住問我：「鳳和兄，我跟其他保險業務員前後也買了上千萬的保險了，但是為什麼你卻從來沒跟我開過口呢？」

這位大老聞光是財產就有上億，真的不需要再加保一個保險，於是我告訴他：「侯總，真正的有錢人根本不需要保險，既然不需要，我為什麼要跟你推銷？他仔細想想，感覺挺有道理。或許就因為如此，他覺得我這個人說話夠實在，從此對我有了信任，把我納入他的投資團隊，只要有好的投資案，都不忘將內幕消息透露給我。

對於投資，我跟巴菲特一樣，不喜歡把手伸進自己不了解的領域，像股票、基金我就很少接觸。所有投資產品中，我只對房地產有比較高的興趣，也正因為侯先生的關係，我才有機會買下人生中第一棟位在台北市信義區的房子。

信義區的房子耶，聽起來就覺得特別誘人。當時我們遇上了一個千載難逢的機會，台北市信義區有間房子要以一坪二十八萬元脫手，總價大約二至三千萬左右。這價錢在當時恨本就是「天價」，天殺的低價！但侯總始終覺得台北的房子貴得離譜，親自看了房子之後還是遲遲不敢下手。拜託！絕佳的地段、絕佳的價錢，再加上絕佳的錢景，這麼好的機會怎麼能放過！我當下立刻告訴侯總，這房子既然在台北市松山高中附近，前面還有一個台灣鐵路局的舊廠房，政府一定會將那裡設定成特殊地點，大巨蛋雖然還沒開始建設，但一定勢在必行。再者，就算房子原先登記的地址是廠辦，非一般住宅或商業用地，時間一久，用地變更，房價不就又更加三級跳嗎？此時不買更待何時？

以侯總的財力，當時一定有辦法獨資買下房子，但是他卻做了一件令我感動萬分的事情－邀請我和他一起投資；在他決定出手之前，他說：「鳳和，這房子不如我們合資！」第一次聽到這個機會時我真的很興奮，也很動心，可畢竟憑我個人的力量，是沒有辦法負擔那麼多金額的，但如果能夠大家合資，那我一百個願意！

後來我們一共四個人，一人先出二百萬，剩餘的二千二百萬除以四，一個人大約負擔五百多萬的貸款。原本我還很擔心貸款會不會付出來，但後來二千萬的貸款根本不用我們煩惱，因為侯先生乾脆用自己名下的公司承租了辦公室，有了這一筆租金收入，大家貸款的問題也就解決了一大半。

從此以後，我在台北市最最精華的地段，竟然也有了自己的辦公大樓！看好這間房子的增值能力，直到今年，房價已經從原先一坪十八萬漲到五十八萬，遠遠超過原先的兩倍。各位，算算看，我賺了多少錢？

如果當初我跟多數保險業務員一樣，只想短時間內從客戶身上賺取最大利益，而違背了我一再強調的保險精神和宗旨。我就不會有機會認識侯總，也不會有機會買進我人生的第一間房子。雖然我沒有賺到他的高額儲蓄險何金和獎金，但他讓我能夠不愧對良心，坦蕩蕩地賺進這一桶金。

賺時間比賺金錢更不得了--------

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Title:
賭場VS賭波VS賭馬，如何預測賽果？
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Subtitle:
天有不測之風雲，何以天文台能夠預測天氣？
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Script:
賭場、賭波和賭馬，形式上非常不同：

賭局 賠率 機率
賭場遊戲 己知 己知
足球博彩 己知 未知
賽馬博彩 未知 未知

由於形式不同，戰術亦截然不同。但戰術不同，目標卻始終如一：「正EV」。只要EV是正數，賭博便佔優。重溫一次EV的計算方法：

EV = 淨贏注 × 贏錢機率 － 淨輸注 × 輸錢機率

換言之，賭場遊戲的賠率固定、機率固定，因此EV都是固定，而且一般來說都是固定的負數（因為對賭場來說便是正數）。對賭客來說，除非遇上賭場犯錯，例如推出新遊戲，規則上容許賭客獲得正EV#，否則於賭場遊戲長賭必敗無疑。

#《爽爆：全職賭徒鑽賭場漏洞　月贏80萬 》
　http://hk.apple.nextmedia.com/news/art/20121017/18042618

至於足球博彩，雖然是固定賠率制，但由於足球比賽變化莫測，不似賭場遊戲純粹訴諸物理力學，因此機率是未知之數，自然EV也是未知之數。只要有一定方法，便有可能取得正EV。

或許你會問：既然足球比賽變化莫測，一個不慎擺烏龍、一個不智領紅牌、一個球證誤判越位入球等，都會影響賽果，試問又怎能夠計算呢？

這個問題就等如天有不測之風雲，天文台為何能夠預測天氣呢？當然間中亦有錯判，但雖不中亦不遠矣，這就是數學的力量。其實博彩公司訂立賠率的時候，都會先以數學計算賽果機率，然後輕微調低作抽水。由此可見，只要比博彩公司計算機率計算得更準確，便能夠於賭局中佔有上風。

舉個例，朋友和你在街頭足球場看見兩隊業餘球隊比賽，朋友見一隊年輕力壯，另一隊白髮蒼蒼，於是開盤：「年輕隊1賠0.8、和局1賠2.1、元老隊1賠3.1」，這個時候，你發現元老隊球員原來是前甲組職業球員，年輕隊則是自己兒子的球隊，而你知道自己的兒子和他的朋友是乒乓球隊友，根本不懂得踢足球，因此，你預算元老隊的勝率遠超年輕隊。明顯地，這個賭局是你佔了上風。

換言之，這是一場資訊（Information）戰，擁有更多資訊的佔優。為什麼？因為資訊較多的一方，更能較準確地計算賽局機率（這也是馬評家晨早起床看晨操的目的，獲取一般馬迷不知道的資訊）。於上述例子，雖然不涉及數學運算，但仍算是一種粗略估算。當然，面對博彩公司，粗略估算是不足夠的，你需要比博彩公司更精確的機率計算，而方法就是：建立一個數學模型（Mathematical Model）。

提供重要資訊


計算預測結果

你先從現實世界搜集重要資訊，例如對賽兩隊的近績、對賽往績、預計陣容等，而對賽果影響力較小的，可選擇性地抽取，例如天氣溫度、領隊教練、花邊新聞等。然後，將這些資訊輸入到電腦程式，並由電腦進行運算，得出答案後，把電腦程式輸出的賽果，視之為對現實世界的預測賽果。程序大致如此，天文台預測天氣也是透過數學建模（Mathematical Modeling），量化重要的氣候現象，來預測未來天氣。

然而，電腦程式是如何使用現實資訊的呢？首先預設一些公式，然後匯入大量球賽歷史資訊，例如上述的近績、對賽往績、甚至天氣溫度等，從而利用公式計算預測賽果，將它與真實賽果比較，便可得知每一條公式的預測準繩度，繼而從中選出預測力最高的公式，加以使用，計算EV。

最常見的疑問是：「公式的準繩度源於球賽歷史資訊，包括真實賽果，準繩度自然必被高估，試問對比真實賽果又有什麼意思？」

這個問題可以利用一個名叫回溯測試（Backtesting）的小聰明手法，匯入資訊時，只匯入一部份，留下剩餘的部份歷史賽事當作未來賽事，執行公式模擬投注。
舉例說，你找了1000場相關賽事，你可匯入首900場，來挑選公式，然後用尾100場作模擬投注，計算出使用公式的EV。

賽馬博彩也是透過數學建模，你除了需要計算機率之外，你也要模擬最後賠率。因為賽馬博彩是實行彩池制（Pari Mutuel，又稱同注分彩法），賠率會因應投注額的分佈而時刻調整。假設你投注的時候，一號馬是1賠10，臨開閘的時候可以變了1賠3，到最後派彩可以變了1賠6，而你最後獲得的賠率，就是根據最後派彩，而不是你投注的時候。

由此可見，如使用數學建模，賭馬比賭波容易獲得正EV。主要原因如下：

賽馬是賭客與賭客之間的對賭。實施彩池制，博彩公司抽取投注額的手續費獲利，無論賽果如何，博彩公司已經賺了，派彩只是用輸家的注碼賠給贏家。只要有大量非理性的賭客，賭局佔優的機率便會較高，就好像到麻雀館打麻雀，遇著三位菜鳥，贏面自然較高。

相反，足球博彩是固定賠率制，是莊家和賭客直接對賭，莊家自然費盡工夫調整盤口，為公司獲得正EV，博彩公司正EV，即是賭客負EV。要從足球博彩中使用數學模型取勝，就得比博彩公司計算得更精確才有機會成功。

實際操作上，數學模型的構造當然比以上描述複雜得多，例如考慮的因素、各個因素的比重、賽事的數量，甚至注碼大小等，都絕不簡單。然而，原理大致上就是如此。

這一堂不教任何數學建模的方法，因為所需要的數學水平起碼要有大學程度，如想擊敗賭場，開始學習數學吧，有心不怕遲，只要沒有了考試的壓力，學習數學其實很愉快，也很輕鬆，或許最後你做不了賭神，卻成了數學家呢！

就算不打算學習數學，也希望你明白背後的原理，不致於大庭廣眾之下獻醜，不會再說由於隨機因此無法預測，而別人提起數學模型的時候，你起碼聽得明白。

天氣預測的科學發展已成熟多年，人類掌控隨機事件的能力已遠超一般人所想。天文台雖然無法完美預測每一秒的天氣變化，但大概準確，已造福人群；同樣地，賭局預測，雖然不會場場中，但只要大概準確，使贏的多過輸的，已足夠使賭客獲利。數學並非萬能，但只要適當地使用，絕對是強大的武器。
 
Summary

 賭場遊戲的賠率和機率都是固定。
 足球博彩實行固定賠率制（Fixed-odds betting），賠率固定，但機率不知。
 賽馬博彩實行彩池制，賠率不定，機率亦不知。
 賽果預測的原理，與天氣預測的原理大致相同。
 將現實世界重要資訊，匯入數學模型計算，用結果預測現實世界賽果。
 把部份歷史賽事當作未來賽事，用以驗證數學程式的準繩度。
 天氣預測無須分秒不差，賭局預測亦無須場場中，只要正EV就可以。

Terminology

 資訊（Information）
 數學模型（Mathematical Model）
 數學建模（Mathematical Modeling）
 回溯測試（Backtesting）
 彩池制（Pari Mutuel）
固定賠率制（Fixed-odds betting）
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo

杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
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