最近有個熱門的討論話題

就是計算費氏數列的複雜度到底是 O(1) 還是 O(n)

剛好我前幾天在看 wiki 嘗試 compiler 的一些東西的時候

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%BE%E8%B0%83%E7%94%A8

也遇到一些有趣的 O(1) 還是 O(n) 的問題

覺得很有趣所以就分享上來

我也有把問題丟在 stackoverflow 上面問

沒想到上面的反應也蠻熱烈的

https://stackoverflow.com/questions/54686395

讓我不小心賺到了一些 reputation，大概比我回答十個問題還多

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不管複雜度是 O(1) 或是 O(n)，也不管 lookup table 到底要不要存在月球上

費氏數列遞迴的形式都是這條：F(x) = F(x-1) + F(x-2), F(1) = F(2) = 1

不過今天要討論的是一個更簡單的問題 F(x) = F(x-1)+1, F(0) = 0

學過中學以上歸納法的人類都能知道 F(x) = x

而學過 C++ 的人都可以把這個式子轉換變成程式碼

int Identity(int i) {
if (i == 1)
return 1;
else
return Identity(i-1)+1;
}

上面的 wiki 說明了這個並不是有效的 tail recursion 形式

理論上應該不會變成 for loop

會產生 O(n) memory, O(n) runtime 的程式

（PS: 如果是 for loop，應該是 O(1), memory O(n) runtime）

為了驗證，我用了 gcc 8.2.1 編譯看看，結果大出意外

% g++ a.cpp -c -O2 && objdump -d a.o
Disassembly of section .text:
0000000000000000 <_Z8Identityi>:
0: 89 f8 mov %edi,%eax
2: c3 ret

Linux 下 x64 的第一個整數是 %edi，回傳值放在 %eax

等等，所以我以為 O(n) 的問題，真的可以在 O(1) 解出來嗎（誤）

難道 compiler 做了一些數學計算，推出 F(x) = x 了嗎

該不會在這個大 AI 時代，compiler 也要內建高中生等級的 super AI 了吧

該不會我下次升級到 gcc 9 的時候，我的 compiler 就會跑去當 Youtuber 了吧？！

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Sorry 扯遠了，回歸正題

我一開始的想法是

1. gcc 知道了 negative i 會撞到 UB，因此可以隨便回傳任何值
（PS: negative i 不會變成 infinite loop 的 UB，而是 overflow）

2. positive i 的情形 gcc 經過了某些數學推導算出 F(x) = x

但是怎麼看都覺得太神奇，感覺不會有人實做這種東西

總之經過 stackoverflow 一番討論之後

看起來的結論如下

首先，當代的 gcc 不只可以化簡基本的 tail recursion

就連上面那個形式都可以（可以去看 stackoverflow 的一些討論）

雖然詳細上原理我不太明白，但是應該、大約、好像會變成這樣子

int Identity(int i) {
int ans = 0;
for (; i != 0; i--, ans++);
return ans;
}

接著我猜測這個形式對 compiler 來說應該比較好化簡了

因為這種 for loop 非常常見，應該有機會做某種化簡得到 F(x) = x

順帶一題，直接寫這個程式的話，gcc 是可以化簡 O(n) -> O(1) 的

如果 i != 0 改成 i >= 0 的話，gcc 會變成 return i > 0 ? i : 0;

真的很厲害

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另外 stackoverflow 裡面有人直接挖出 gcc code 來解釋

但是其實我不是 compiler 專家

所以我這篇主要還是單純分享一些我的觀察啦

如果這個版有人能做出更淺顯易懂，又更完整的解釋的話就太好了

謝謝大家～

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Time waits for no one.
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(。Ａ。)ハァ

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