這次我們這一組所要報告的主題是微積分,微積分是數學最基本但是也是最重

要的一門學問,原先我們準備報告微積分的一些歷史發展,重要技巧和最偉大的微積分

基本定理等等.但是我怕報告這些東西對於數學系的同學來說這實在是有點"了無新意",

所以我們這一組採取的是分別去探討微積分進一步在電腦上工程上或是物理的應用,

希望這樣子可以讓數學系的同學了解微積分偉大和奧妙的地方,能夠讓同學更進一步

有更多的動力和樂趣學數學.

我選擇了的主題是比微積分再近階一點點的變分學(Variation of calculus),

因為在這裡同學們只需要有一點點微積分的概念和微積分最重要的技巧----分部積分

integration by part即可以了解出我這次所要報告的主題和內容,我整個報告的核心

即是歐伊勒方程式(Euler's equation)


其實變分只是微積分的一個變形,只是他討論的是一個特別的函數的極值,就是在一

個定積分下的函數,此函數他是由應變數和應變數的導數所構成,我們想要知道此積分函

數的極大或是極小值為何,這個問題的解就是Euler's equation時有極值產生.

接下來我希望能藉著變分學的方法能夠跟老師和同學報告,如何利用變分法來解決古典三

個有名的問題

1.短程線問題[Geodesic Problem] 即歐氏空間中二點間距離最短為直線

2.等周長問題[Isopermetric Problem] 即固定周長的封閉曲線所能圍成最大面積為圓

3.最速下降曲線問題[Brachistochrone Problem]


實際上就這三個問題來說,在變分學發展之前就已經解決,可是他們的普辯解法在哪裡呢?

在當時的人們認為由於他的廣度深度太過複雜,以至於人人望之卻步去嘗試找出這問題的

一般系統化的解決方法,其實乍看之下,這三個問題除了第三個問題的答案比較不"直觀",

前二個問題的答案都是我們從小時候被教育甚至視為理所當然的問題,但是這三個問題

的解法再當時人們是認為高不可攀,前景遙遠且渺茫.一直到18世紀中葉變分學發展完全

的時候才告一段落,其中貢獻最大的就是當時世界上公認最偉大的二大數學家,他們分別

是瑞士的歐伊勒(Euler Leonhard 西元1707-1783)和義大利裔的法國數學家拉格朗日

(Lagrange Joseph Louis西元1736-1813）


這個歷史的源起事這樣子的,在17世紀末,由於微積分的崛起已經將單變數連續

函數甚至多變數連續函數的極大和極小問題得到徹底的解決,數學界為之歡欣鼓舞.但是

正當人們額手稱慶之際,突然有一個人提出了一個問題而掀起一場軒然大波.

故事是發生在1696年,在瑞士巴塞爾城(Basel)一名醫生向全歐洲數學家挑戰一

個問題,這個醫生就是約翰．伯努力(Johann Bernoulli西元1667-1748),這就是歷史上

最有名的數學家族伯努力的成員之一,他後來成為巴塞爾大學的數學教授,他最得意的門

生就是歐以勒(Euler Leonhard 西元1707～1783)

約翰．伯努力提這問題就是赫赫有名的最速下降曲線問題[Brachistochrone Problem]

即假設在垂直平面內有二個任意二點A和B,其中A點比較高,假設有一個質點由A點下滑至

較低點B,不計摩擦力,問這質點沿著什麼樣的路徑下滑可以花最短的時間呢?

這問題看似容易,其實並不簡單,連當時二大數學泰斗54歲的牛頓和50歲的萊布

尼茲都被捲入了這場智力爭鬥的挑戰,敏感的數學大師們立即感到這個問題的潛在力量,

於是開始有人預感可能會有一種新的數學思想正在萌動,雖然這問題後來幾乎同時有五

個人解出來他們分別是約翰．伯努力和他的哥哥傑可布．柏努利(Jacob Bernoulli西元

1654-1705)和牛頓及來布尼茲和法國的數學家羅必達,

不過也許是因為那些數學大師年事以高或是為其他課題

忙碌,令這醫生失望的是,他對挑戰者的答案並不滿意,因為他的初衷是期待有人可以從

論證過程中找出同類問題的途徑.後來他告訴他的學生歐以勒這三大問題其實是同一類

問題的典型,1728年年僅21歲的Euler解決了短程線問題,之後1728-1755年他努力不懈的

努力取得一定的成果,但是他自知解法常常太過複雜而難以把問題系統化,而就在此時出

現了Lagrange,Euler為他指名方向同時竭盡全力幫他進行研究.

1759年,Euler夙興夜寐,宵衣旰食 苦心鑽研31年研究的那類問題終於告一段落了,

他把他取名為變分法,即將送往柏林科學院發表,但是正當此時他收到Lagrange呈交給

Euler批改的這方面論文,Euler看了以後欣喜備至,立即回信盛讚Lagrange不凡的成就,

他作了一個決定,他決定不發表自己的論文轉而去協助Lagrange補充和修改使之為更完

善的論文,於是在Euler的指導之下,23歲的Lagrange獲得了創建變分學的偉大聲譽.而最

令人激賞的是Euler的偉大風範,他使得全歐洲的數學家更加景仰和敬佩.於是人們建議

在數學史上公認了變分學是Euler和Lagrange共同創立的.

Lagrange出生於義大利西北部的杜林 (Turin),他年輕的時候就已經斐聲於歐洲

的數學界,1958年在當地的有識之士的支持下,他創辦了杜林科學院,並且經常為該院的期刊

積極撰稿,他寫了很多具極高價值的的文章,內容包括微積分在物理以及天文上的應用,以及

數論,變分學和偏微分方程等等領域,他在1764和1766年分別解決了巴黎科學院所提出的天

文物理的問題而獲得大獎,就在這一年當Euler接受了俄國女皇的聘請回聖彼得堡工作時

辭掉了他在柏林科學院物理數學所所長的職位時,Euler推薦了Lagrange作他的繼任人選,當

時的普魯士國王親自寫信給他，讚揚歐洲最大之王希望歐洲最偉大的數學家來到柏林科

學院,年僅三十歲的Lagrange在科學院工作了整整二十年,他運用數學來解決天體力學方

面的問題，所使用的方法及其所取得的成果，受到了同時代科學家們的高度讚揚.
.
在1788年Lagrange最偉大的著作--分析力學(Mecanique Analytique)問世了

這一本書是他在19歲時開始醞釀的,花了他大半生的心血直到他52歲時才完成這本書

這本書的精采之處是他應用了當時最新的數學分析方法,而且整本書完全沒有一張圖形

他曾經說:我在這本書裡面所闡明的方法,既不要作圖也不要求幾何或是力學的推理,而只

是遵照一些正規程序的分析運算,喜歡分析的人將高興的看到力學變為它的一個新的分支

並將感激我擴大了它的領域.的確,這是一部劃時代的巨作,他增進和完善了牛頓的工作,被

認為是牛頓之後的一大經典力學著作,後人評論它是'現代力學的基礎','將動力學推進到

登峰造極的地步',Lagrange對變分學最大的貢獻是他賦予了變分學重要的物理意義,並且

開啟了物理的解析力學(Analytical Mechanics)的先端,他利用數學分析的方法應用於質

點和剛體力學中,證明了力學這門學科可以應用在這單獨的原理上,我們可以利用

Euler-Lagrange方程式推出和牛頓一樣等價的運動方程式,這方法常常更能解決和簡化物體

運動的問題,Lagrange利用變分原理,建立了優美而和諧的力學體系.


接下來我覺得值得介紹給同學的一個額外的收穫是最小最用量原理

(Least Action Principle).從變分法演變到解析力學,在物理上經過許多數學家和物理

學家努力不懈的的努力,一直到愛爾蘭數學家漢米爾頓

(William Rowan Hamilton 1805-1865)在西元1834和1835年二篇論文中,他

所提出來的 Hamilton's Principle即最小作用量原理才算是大功告成,這個敘述如下:

在一個動力系統之下,在組態空間中物體所走的實際路徑就是必須沿著

Lagrangian函數對時間積分有極值的那一條路徑,才是物體真正所走的路徑?

用數學來表示
t2 .
S =∫ L(q,q,t) dt = extreme 其中
t1

L:Lagrangian函數


t2 .
∫ L(q,q,t) dt 在這裡就是定義為作用量
t1

註:Lagrangian函數即是動能-位能,其中動能 T=T(q,q,t) 位能U=U(q,t)
.
q:廣義座標, q:廣義速度 t:時間

這也是我這次所要報告的重點之一,因為最小作用量原理是數學和古典物理史上的一大成

就,它的理論基礎就是建立在變分學上面,最小作用量原理對動力學規律作成功的描述,透

過力學的路徑,它應用分析方法論正牛頓的種種公設,認為他們都符合自然經濟的原理,我

們可以從這體會到物體好像'有意識'一樣的在自然界選擇一條作用量最小運動的路徑是不

是非常不可思議呢?這也是我覺得非常奇妙的,也是為什麼我選擇為這次所要報告的主題.

最後說說我對這堂課的感想和老師的建議,我覺得這門課包羅萬象,五花

八門的把大學數學的輪廓和重要概念都有涵蓋,而且大部分同學們都很認真參與和準備,讓

我收穫蠻多的,我建議下次老師有這樣的機會再開這樣的課可以希望同學能夠把他們

的資料能夠影印或是放在網路上讓我們看,因為畢竟學數學用類似看電影或是聽演講的方式

很難真正體會當中的箇中奧妙,這樣子也許我們能夠學更多更紮實,還有讓我有一個想法和

啟發,就是其實如果要提升系上的讀書風氣和學數學的風氣,最好我們系上可以組成一個類

似數學俱樂部的團體,因為其實課外的或是系上沒開的數學有很多有去和奧妙的地方可以

欣賞,讓真正對數學有興趣和狂熱的一起討論和砥礪,在課外中真正有心想要學習的人為

學問而學問常常比較能自己有獨立思考的空間,當然這也許只是理想啦,還希望老師們如果

有時間可以發起這個活動或是辦個俱樂部,從以前聽過老師的幾何課一直覺得老師教的很棒

能夠讓學生對數學更有感覺和興趣,如果老師真的能作這種'功德',私下能夠指導學生那就

是未來學弟妹的福氣了,我是覺得這樣子的方式學習還蠻不錯的



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