複數空間，雖然可以看成是由兩個實數維度所組合而成
但是因為複數本身帶有代數結構，其加法與乘法可以形成體結構
(單純的二維實數線性空間並不具有這樣的代數結構)
這樣的代數結構，讓複數可以廣泛應用於各個層面

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

舉一個廣泛應用於電機領域的例子：phasor
(這與波動方程有關的物理量中，時常在推導過程中看到 i，在本質上有類似之處)

在電機領域中，大家最關心的幾個物理量，不外乎就是電壓，電流，電阻(阻抗)
但一旦要處理時變問題時，虛數就時常出現在公式之中

比如，以複數表示(交流)電壓值，以複數表示(交流)電流值，以複數表示阻抗值....

初看之下，似乎覺得很奇怪
電壓與電流是很明確的物理量，電壓是多少多少伏特，電流是多少多少安培
那帶虛數 i 的電壓與電流，代表什麼含義呢？

當然，如果我們仔細看整個理論結構，會發現
這個 i 的存在，對應到實際用電表或示波器所量到的電壓與電流
虛數 i 某種程度則代表時變的電壓與電流於波動時的相位差

換句話說，在給定一個固定頻率下
電壓與電流的實數值與虛數值，則是代表其時變的振幅與相位的 phasor 換算

既然虛數並不是真實的量測值，而只是一種換算值
那我們為何還要這麼大費周章，特別引入複數，只是用來間接表達電壓與電流值？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

使用複數，其實沒有其它用意，更沒有因為引入虛數而帶來新的物理量
就純粹是借重它那非常好用的代數特性，簡化所處理的問題

其實，在整個計算過程中，完全把虛數拿掉，也是不會有任何問題

只是，不使用虛數，整個計算式
就會出現一大堆 A cos + B sin 這類式子
而 電壓 = 電流 * 阻抗 這類簡單純代數的算式，則會換成複雜的微分方程

換句話說，不想使用虛數也行，代價就是要耗費較繁複的計算過程來處理問題
複數的代數特性，大大簡化了這類原本帶有 sin cos 的計算過程

所以複數在電機領域的應用相當普遍，電子電路，訊號處理
電波相關領域(傳輸線，波導管，天線，微波電路所常用的 Smith chart)，...
都是使用複數來處理問題

可以這麼說，電機領域從大二進入專業課程開始，就在使用複數處理問題
電機系裡的三電：電子學，電路學，電磁學，全都在玩複數

某種程度而言，波動方程也有類似的特性
所以相關的問題，出現虛數 i，其實也不太令人意外


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.58.129