【 奇幻遠距蒙特梭利（四）：手動建構數學概念 】

蒙特梭利的數學教育真的是相當的驚人，幾乎在每個微環節都跟我們家長們血淚經歷的傳統數學教育完全相反，也因此為娘的只能不停地撿下巴。

從九個月大就是蒙特梭利北鼻的小札克，今年夏天就要轉九歲了。一方面因為知道蒙特梭利教育是幾十年在實驗室中觀察培養出來的最符合人性的科學教育法，我因此充滿信心，加上學校老師幾次提醒家長千萬不要在家裡教捷徑，導致不想秧苗助長的媽媽拿令箭樂得在家翹腳省事。小札克一路八年蒙特梭利上來，在防疫居家遠距教學之前，我們在家還真的從沒管過他數學的事。小札克從來沒在家裡寫過任何練習題，我從來沒陪他練背過乘法表，學校也從來不給回家作業。

這次難得的遠距教學，終於讓我見識到多年來蒙特梭利教育一點一滴培育出的小札克的數學腦有多奇妙！

幾個蒙特梭利教育的大特色，像使用身體的運作與活動去強化學習、使用教具讓抽象概念具體化、每個小概念都要知其所以然才會前進到下一步等等，在數學教育上仍然是面面俱到。

在最初級的數學概念建構上，串珠教具展現出『1』是一粒珠子，『10』是十粒珠子的一條串珠、『100』是十排十粒串珠的正方型板子、『1000』是十塊100正方型板子合出來的正方體。正方形的板子隱藏了ten squared（十平方）的概念，果真是個square。每一邊長都是十粒珠的正方體也隱藏了ten cubed（十立方）的概念，果真又是個cube。

然後藉著個位數蒐集到十顆就要去換一條十粒的金色串珠，金色串珠蒐集到十排就又要起身去換一塊百粒珠的板子，板子蒐集到十片就要再跑去換一個千粒珠的正方體，孩子們開始建立出進位的概念。

孩子們使用了觸感、視覺、身體的運作等多重感官去細細感受這些抽象的數學概念，有了圖像記憶與肌肉記憶，一千與一的幾何數量差別變成理所當然的事。

等這些『個十百千萬』的基礎數量與加法進位的概念建立好後，又有同樣數字同樣顏色的串珠串在一起的超級長鍊教具。孩子們把長鍊擺出來，一顆顆地去數，再去標註倍數的地方。

舉例來說，如果是「eight chain」（八鍊）的話，孩子們從第一顆珠開始數到8就放上8的標籤，並且記錄8x1=8，數到16顆就放上16的標籤並且記錄8x2=16，就這樣慢慢地一直數一直標到好幾百顆去。乘法的抽象概念與數量感藉此完全具體化。

孩子們專注地數珠子，慢慢地完成一個個的標記，並且用筆記錄下來，常常要花個幾天才會完成這麼大的任務。這工程充滿挑戰性與滿足感，每次兩少爺完工後總是相當興奮驕傲地向我們報告。

把數量感建立好之後，進階一點的數學教具開始用不同顏色去代表不同位數。寫著「1」的個位數小牌子是綠色的，「10」的十位數牌子是藍色的，「100」的百位數是紅色的。「1000」的千位數又回到綠色，然後不同位數就這樣綠藍紅綠藍紅地循環下去。這三個顏色代表的不同位數會一直沿用到之後小學六年更進階的許多數學概念上。

使用這樣的教具，加上「交換」進位的概念（十個『1』的綠牌可以換一個『10』的藍牌，以此類推），從這邊開始孩子已經可以做到千位數的加減乘除。兩少爺五六歲時就已經很熟悉這些技巧了。我之後會放上兩少爺用自己在家製作的同樣『郵票遊戲』（stamp game）教具拍攝的教學影片，敬請期待！

同一時間，老師也介紹了不同顏色代表一到九這些個位數字的串珠。像紅色一顆珠的「1」串珠、綠色兩顆珠的「2」串珠、粉紅色三顆珠的「3」串珠等等。這些代表不同數字的串珠顏色，也會從幼兒班三年開始一直沿用到整個小學六年。

北鼻麥在幼兒班開始用彩色串珠練習加法與乘法。兩條咖啡色的「8」串珠，等於一條金色的「10」與一條紫色的「6」串珠。孩子一顆一顆地數，再去交換進位。這個我稍後也會放上北鼻麥示範教學。😆

在這個階段介紹的種種數學概念，都彷彿是在介紹簡單基本的事物道理般。像加法就是把珠子或牌子放在一起，遇到十個就交換成一個『10』串珠或『10』牌子去進位。減法就是把它「拿走」、乘法就是「同樣數字重複加很多次」、除法就是把手上的珠子牌子「分一分」這樣。

在概念建構的很穩固之前，老師並不會把這些任務打上「加減乘除」的標籤。北鼻麥的四位數減法做了這麼久，到這次遠距教學才發現原來那個就是所謂的『subtraction』（減法）。孩子們練習教具的時候，也都有著慢慢處理手上操作的工作、努力完成挑戰的態度，從沒寫過練習題或練習卷。

其實這中間還有好幾個我只聞其名不知其詳的數學教具，都是朝著建立超穩固的基礎數學概念的方向走。因為不知道很多其他教具的仔細用法，所以兩少爺腦中到底裝了什麼高深莫測的東西，我真的都不太清楚。

又因為他們完全不背乘法表也不太熟『加減乘除』的標籤，所以偶遇無聊親友故意來個『考考你』時，他們大部份時候都答不上來，總是會尷尬一番。

一直到這次陪讀小札克近三個月，才發現到他的蒙特梭利數學腦真的好厲害喔！

小札克對乘法挑戰熱愛得很。之前提過在剛開始委靡不振的遠距自學時期，我為了激勵他而在家自製了蒙特梭利小學教具的乘法板與彩色串珠。這個暗藏幾何概念的乘法板上，不同的位數就是從小就很熟的同樣的綠藍紅綠藍紅顏色在循環著。小札克在我們乘法板完工後的第一件事，就是給自己出了個大挑戰25,637,842,349 X 987,654。

雖然小札克從沒背過乘法表，在學校常常做乘法圖型（pattern）的塗畫遊戲，又從小一直數珠子不知道數了幾千串。像在這個十一位數乘六位數的乘法板挑戰上，小札克就必須分別做六十六次個位數的數珠子乘法與進位的練習。

我在一旁沈默觀察著，發現他大概有三四成的乘法表已經因為熟能生巧而能直接記住答案了。其他還沒記住的，有時候他會喊著『I know the pattern！』努力冥想幾秒就想出來了。就算要數珠子，他也很少需要去一顆顆慢慢數，通常會靈活地把手上串珠交換成其他數字以便進位來快速數出答案。

舉例來說若是遇到6x4+9的話，乘法板格子上放著四條紫色的『6』串珠與一條深藍色的『9』串珠。若是北鼻麥應該仍然會一顆顆去數，小札克卻已經會很快地把深藍色的『9』串珠交換成兩條黃色的『4』串珠跟一顆紅色的『1』串珠，再把那兩條黃色『4』與兩條紫色『6』串珠合併成20。又再把一條紫色『6』串珠交換成兩條粉紅色的『3』串珠，然後把一條『3』串珠、一個『1』串珠跟最後一條『6』串珠合併成另一個10，這樣可以很快地看出答案是三個10加一串『3』。

在這樣一個大挑戰上要細細做的練習功夫還真是多到讓人咋舌！不過也因此讓我見識到蒙特梭利數學建構出的靈活性與概念流動性，處處充滿驚喜。

老師得知小札克在家興奮做乘法板大工程，也打蛇隨棍上地馬上跟他來個一對一的Zoom lesson傳授新工夫，教他乘法板用法上更進階的『紀錄部分成果』（record partial products）。

小札克得到新工夫，馬上又來給自己另一個大挑戰785,629,649Ｘ358,754，邊做邊使用直式乘法去紀錄部分成果。

其實在他們學校，正常人使用乘法板頂多都在練習三四位數乘兩三位數吧。等到很熟悉乘法板的基礎運作法之後，老師會介紹另一個進階的幾何乘法教具pegboard（釘板）。這個幾何乘法教具同樣使用綠藍紅三色去代表不同的位數，不過這次是讓孩子拿綠藍紅的珠子放到釘板上，拼出一個像乘法板的格式。

我在遠距教學之前完全沒見過這個功力高深的釘板教具，因此首次陪小札克看老師的教學錄影時，我大呼驚奇不停跟著做筆記，小札克在旁淡定說他早就知道了。所以底下照片裡會有媽媽書僮的筆記。🤣

我們在家直接拿之前用來做彩色串珠的Perler beads的釘板與珠子來做釘板教具的替身。這個Perler beads也未免太好用了吧！之後我們又一起看了老師使用同樣的釘板教具去解平方根的教學影片，使用同樣的綠藍紅珠子搭回一個正方形去找平方根，實在是太奇妙好玩了！！

熟悉這個用手操作的釘板教具與綠藍紅珠子之後，老師又再傳授，原來在紙上也可以做同樣的幾何乘法。

這個綠藍紅的幾何乘法教具，其實暗藏了（a＋b）x（x＋y）＝ax＋ay＋bx＋by的概念。老師從來不明說，對孩子而言這又只不過是個理所當然的概念，數字本來就有著這樣的運作道理。

有一次我們在做英公尺寸兌換的活動，遇到一個三位數要乘以12以轉換成英吋的練習問題，小札克馬上跑去把乘法板跟串珠拿過來在地上擺出陣仗。可是連一條串珠都還沒開始放上乘法板，他眼睛仔細盯著乘法板幾秒，竟然就突然喊出了答案。他說因為他光看著板子就已經知道每個幾何區塊的部分答案，在心中加一加就算出來了。

同樣一個練習活動裡，有另一個換算題目要做144Ｘ3。小札克很快地在紙上寫了300、88、120、12，然後當下我真的都還來不及反應，他就肯定地喊說答案是432。我請他仔細分格敘述他腦中的運算步驟給我聽，他才解釋說他先解決了100乘3的簡單部分，然後雖然他不知道44x3，可是他知道44x2是88，所以他只需要算88+44，他再把80拿去加40得到120，再把8加4得到12，所以他知道答案是300＋120＋12＝432。

所以基本上他腦中竟然在幾秒內就很自動靈活地走過了144 x 3＝（100＋44）x 3＝100 x 3＋44 x 3＝100 x 3＋44 x（2＋1）＝300＋88＋44＝300＋80＋40＋8＋4＝300＋120＋12＝432 這樣的步驟耶！

我小時候跟大部分的人一樣，是先很制式地去死背乘法表再學習直式乘除法運算法這樣長大的。這種數字充滿流動性的靈活直覺感，我記得可能是我練到國二國三甚至高中才逐漸開始掌握的事，對二年級的小札克來說卻是這麼的理所當然。

在蒙特梭利教室裡，沒有什麼需要死記的東西。就是像這樣在混齡班的三年內藉著許多不同的時機、使用不同的教具，傳達著類似的訊息，慢慢地一點一滴地建構出很穩固的數學概念，孩子們逐漸能夠牢牢掌握每個數串代表的幾何圖形與延伸意義。

蒙特梭利的數學也從來不是紙上的事，而是相當生活化、相當好玩的充滿樂趣的世界。

像遠距教學活動中學到分析圖的數學課程，小札克依指示到家前門步道上用粉筆畫了一個市調問題『如果你能有一種超能力的話，你會選什麼』。當週內散步路過的鄰居路人紛紛用石頭作答，週五我們搜集答案數據，然後依老師的教學影片畫出長條圖、餅狀圖等等分析圖，超有趣的。

學到圓周與直徑是pi (π) 的關係時，小札克依照老師指示在家裡翻出幾個圓形的東西，用毛線圍著圓周再展開以量出圓周長，然後再在這條毛線上描圓形。

小札克一個個地去畫，果然不管是什麼大小圓形的東西，都可以在展開的圓周上描出三個圓形，然後還都會剩一點點。他就這樣自己得到了圓周是直徑的『三倍加一點點』的結論，也就是π＝3.14的雛形。學校教室裡的正式的π的教具，也不過就是好幾個大小不同的圓板，讓好奇的孩子們去畫去描去自己體驗。

學校裡的分數教具則是同樣大小的好幾個圓板切割成不同的份數，依此可以很清楚地看見不同的分數與 1 的關係，以及分數與分數之間的關係。

我們在家也依照指示剪出了居家分數教具，小札克在幾個小團體的Zoom lesson裡分別上了分數的加法減法還有等值分數的算法。就連這些教學也是孩子們一邊手中做著勞作似的活動一邊學，像指示大家製作『分數的書』、用樂高磚塊去體驗分數等等。

在只有四個學生的小團體Zoom lesson裡，老師也要大家拿出剪好的居家分數教具去親身體驗到同樣大小的1/2與2/4與3/6等是真的『等值』，然後帶著大家畫出天馬行空龐大等值分數的大彩虹。

因為蒙特梭利教學裡沒有什麼「反正這樣去做就對了、記起來就好啦」的事，就連遇到十要進位這種感覺理所當然的事，老師也會特別解說歷史上使用其他進位系統的例子，而最後人類選擇了10去進位，應該是因為我們有十根手指頭腳指頭以方便計算。然後竟然還有讓孩子們練習去算不同進位系統的算數法的教學影片。

聊公英尺寸換算時，也詳細地講述了兩種尺寸來源的有趣歷史故事。因為英尺（foot）其實最早就是國王的一隻腳長，英吋（inch）是成年男人的大拇指寬，我跟小札克跑去量保羅的腳，果然是將近一英尺，他大拇指還剛剛好是一英吋的精準，真是笑死我們了。

奇幻遠距教學裡，還有很多其他的有趣數學教學是沒來得及提到的。小札克在幫我拍教學影片時，也不時提醒我其實他教室裡還有很多其他的教具可以去做同樣的問題求出同樣的答案，只是媽媽知識有限而已。畢竟我只是以一個書僮媽媽的角度去分享觀察，我知道我們讀者裡臥虎藏龍了一些專業蒙特梭利人士，若是有誤也請大家多多指教。

因為蒙特梭利教學從來沒有回家作業，也沒有什麼練習卷之類的會帶回家的『成果』，幾次座談會裡老師們總是再三聲明，很可能在家長眼中看起來孩子們就是整天在玩、感覺都沒學到什麼，不過他們真的都有在很深刻地學習著。

這長達三個月笑淚交織的防疫遠距教學在下週終於要進入尾聲，真是讓我跟保羅大鬆一口氣。肩膀上的壓力感覺減輕許多的同時，我卻也抱著極感恩的心情。要不是因為這一生難得莫名其妙的居家防疫遠距共學，我大概到兩少爺小學畢業都無法透徹看清他們流動靈活的蒙特梭利數學腦。

（要用文字敘述清楚種種教具的長相與用法實在不容易，所以我盡量把所有文中提過的教具使用照片都擺上來讓大家看圖說故事了，之後會再放上兩少爺精心拍攝的教學影片🤣）

真心換絕情

解禁第一天巴黎到處人滿為患, 最常被點名的”犯案地點”是: 塞納河畔, 聖馬丁運河和蒙馬特.

畫面上電視之後沒多久, 警察就跑來運河邊驅散勸離, 現況直播. 說真的, 難得法國警察這麼有效率, 說到魔鬼, 魔鬼就出現(法國諺語).

隔天巴黎市政府下令: 不准在河邊喝酒(可以聊天吃東西), 而且要嚴格遵守不超過10人群聚的規定.

講不聽, 就驅散. 現在不准喝酒, 看你們還怎麼群聚 運河旁的外賣店家對著境頭嘆息: 唉唉唉, 等這麼久, 終於可以賣點東西, 才一天就GG了.

解禁了, 做個疫情小總結: 死亡人數超過27000, 名列世界前五. 18萬人確診，離群體免疫要達到的65%還差很遠呢. 這兩天死亡人數又上升了.

這次疫情最慘烈, 而且還看不到隧道曙光的觀光業每天有大咖人物上檯面給政府施壓, 要求開放餐廳, 旅館, 服務. 昨天法國政府大方釋放出180億歐元的紓困金給觀光業. 然而180億歐元恐怕也只是杯水車薪, 有估計約1/4的餐廳咖啡館將在這次戰疫中永久走入歷史.

法國人最關心的度假終於有個輪廓出來了: 開放7, 8月火車旅館的預訂. 但是不可移動超過住家100公里的限制到時是否取消呢? 目前莫宰羊.

那歐洲國家之間的交通呢? 要視兩個相關國家之間的約定, 個別處理. 創傷最重的西班牙, 義大利就先別考慮. 法國政府說, 乖乖地待國內, 先別想到處亂跑.

好吧, 就待在法國境內. 那餐廳何時開? 5月底揭曉.

以上雖然是這兩天法國的疫情重點新聞, 但是最驚爆的是兩樁大醜聞.

第一樁醜聞: 全球知名藥廠Sanofi總裁接受英語電視訪問時說, 如果研發出疫苗, 會先提供給美國使用.

消息一出來, 法國人就炸鍋了. 總理, 健康部長, 國會議員, 專家學者… 統統跑出來指責這家原是法國籍的藥廠此種行為根本是賣國.

藥廠的法國總裁趕快上各大媒體擦屁股: 保證研發出疫苗, 法國和美國一定是同步受惠, 不會當老二. 不過當記者進一步追問, 他如何確保法國人會在第一時間享有疫苗受惠. 這位法國藥廠總裁說了一句明示又暗示的話: 研發疫苗的計畫上, 美國第一時間就是出錢最大的金主, 歐洲國家想受惠, 也該有同樣的付出.

這個付出是幾千萬, 甚至上億歐元的.

第二樁醜聞: 受到愛國號召, 熱血支援一線醫護的醫學院學生收到此次抗疫以實習生身分的薪水單: 50歐元/週. 換算每小時的酬勞在0.8 – 1.42歐元之間.

法國政府說要在國慶時頒給這些醫護人員勳章, 獎勵他們的表現. 很多醫護人員聽到氣從鼻孔裡出來: 勳章是很好啦, 能實質獎勵會更好.

政府趕快再出來擦屁股: 500-1500歐元的抗疫獎金這些實習學生也有份喔.

說真的, 冒著生命危險, 酬勞竟是20-45元台幣/小時, 也太叫人寒心了. 還不如速食店打工. (是說封城期間也沒有速食店工可以打啦)

我老百姓看了都覺得心寒.

除了上述的驚悚新聞外, 我個人要添第三樁讓人心寒的醜聞: 小農蔬果實在不值得!

話說疫情爆發之初, 媒體呼籲大家實際行動支援法國小農蔬果. 作為一名雖不年輕照樣熱血的老百姓, 我每天用一小時寶貴的放風時間在住家附近兜圈轉悠, 尋尋覓覓販賣巴黎周圍小農蔬果的店家.

終於相中一家, 每周三, 六上網訂貨, 下周三, 六取貨. 我試著訂, 每次都爆滿. 上週好容易訂到了: 2公斤白蘆筍, 2公斤蘋果, 大蔥, 雞蛋, 乳酪…

結果拿到的東西是悽悽慘慘戚戚: 白蘆筍老皮粗肉, 尺寸不夠肥碩, 有的只有鉛筆粗, 嚼起來都是渣, 削掉一層皮還是像在咬鉛筆.

蘋果雖然香, 滋味飽滿, 但是不夠新鮮脆爽, 皮都有點老皺了… 拿去做蘋果派可能還會被嫌.

可是讓人最難過的都不是這些, 是每一種都用一個塑膠袋包. 2公斤蘆筍用了5個塑膠袋! 買這幾樣共耗了8個!

不知道我跟塑膠袋有仇嗎????? 雖說是成份有40%是可有機分解的, 還有60%耶! 這是在哈佛嗎?

大俠我上市場買一籃子菜, 都用洗過的, 舊的, 補過的塑膠袋, 可用不到一個新的呢.

真心換絕情. 以後不去了!

【鯨生】
#圈養 #虎鯨
#黑鯨 #未來
#動物福利
#終止不代表放棄

圈養高智能野生動物一直以來都是個備受爭議的領域，尤其在記錄片「黑鯨（BLACK FISH）」將Tilikum，一條在Sea World Orlando發生攻擊事件的虎鯨（Orcinus orca）的故事告知社會大眾後（Tilikum維基頁面：http://bit.ly/2UuciBU），更是引發了各界的廣大討論，在人工環境下圈養鯨豚的正當性也愈發遭受質疑，事件導致的漣漪越散越廣，前仆後繼的撻伐聲浪令加州政府與Sea World官方先後發出公告，約束並承諾今後將不再有新的虎鯨以野外捕捉或者圈養繁殖的方式加入Sea World……

以上這些，相信許多人都已經通過各種管道了解並歷經思考，故今天這裡就換個角度，先以一名讀者的身分向各位轉述Terry Maple，一位動物心理與行為學者兼美國動物園界傳奇人物在其2016年出版的「Professor in the Zoo」中針對虎鯨圈養提出的看法，再談談我個人對這段看法的解讀。

根據Captive Orca Statistic的資料，撇去中國的部分，目前世界上共有46條圈養虎鯨（http://www.orcahome.de/orcastat.htm），牠們的年齡介於0～50歲不等，也就是說，考慮到虎鯨這一物種的壽命，即便是在不引進任何新個體的情況下，想等到最後一條圈養虎鯨善終可能也需要50年甚至更久的時間。面對這樣的事實，Maple認為一味的喊出「終結圈養」並不會帶來任何助益，甚至可能令現有的這些虎鯨失去享受更進一步動物福利的權益。

目前Sea World San Diego 的虎鯨水箱容量足有七百萬加侖，搭配上最頂尖的過濾與降溫機具，園區每年花費在維持與升級展區設備的金額可上看千萬美金，是目前地球上最高配備的圈養虎鯨設施，但在Maple的眼中，這樣的規模仍然無法讓園區內「僅僅10隻」的虎鯨小團體獲得「Thrive」的體驗，頂多算是達到了動物福利的最底限（這邊的Thrive有時被翻譯作健康成長、茁壯，但其實應該更接近strive那樣「追求自我實現」的境界，意即讓動物能夠在自我意識的驅使下探尋更好的生活可能）。於是乎，倘若Sea World受到抵制圈養的聲浪影響，只打算安安穩穩的「養完」這一批虎鯨，停止探究關於虎鯨圈養的更多可能性，並減少相關技術的開發與投資，那將會變相的剝奪了這46條圈養虎鯨個體獲得「Thrive」機會的可能性。

在Maple的構想中，考慮到現有虎鯨今後數十年的安養問題，所有低於目前最高標準的圈養設施都該被嚴令遏止，並且一座（或多座）保護區（sanctuary）型式的「Orca Island」是必須的，這些Orca Island將擁有現存機構完全無法媲美的巨大面積與容積，除了至少10英畝（大約是邊長200公尺的正方型）的水體表面積外，水域最深處也必須逼近300公尺（但書中這部分的數據換算似乎有些問題），最少也得是目前Sea World San Diego展區的六倍，換句話說，已經達到了一座小（二）型水庫的容量標準。

Maple認為這樣「可接受」的尺寸除了可以實現虎鯨進行長距離游動的需求外，也因為減少「觸礁」的機率而令更豐富的水下環境成為可能，並且可藉著電腦化系統針對其游動方向提供解決「認知圖（Cognitive Map）」問題的機會進而主動獲取積極的回饋，實現圈養環境下的Thrive。
※認知圖這個名詞是由學習論者Tolman所提出，他將白鼠學習的行為，解釋為一種認知學習的方式；認為白鼠學到去找食物所在位置，並非機械式地對環境刺激作直接反應，而是在牠走過之後，會對於迷津通路有一個整體的概念，亦即獲得一個認知圖。此種認知圖的形成，乃是白鼠認識迷津中某些特徵作為符號標誌，然後辨別符號之間的關係而獲得對迷津的整體認識。以上釋義轉自國際教育研究院

看完這些文字時，我的想法應該與現在的各位大同小異，覺得Maple有些過於理想化，或者說不切實際，但若是忽略掉那些數據上的「天馬行空」（或者說是將來勢在必得的改進），只單純探討理念方面，那麼Maple的想法就很好理解了，就是他認為「終結圈養」或者「關閉動物園與水族館」並不是那種一聲令下就能水到渠成的事，畢竟圈養的野生動物不是物品或器具，牠們真真切切的活在這個地球上，倉促且不周到的處理只會造成更多悲劇上演。

因此，就算真的像今天的虎鯨這樣，走到了不得不終止的時候，那也並不意味著對於虎鯨圈養的「放棄」，而是要轉而在圓滿現有虎鯨「鯨生」的過程中 #探尋更高的可能性，盡力不讓這一過程淪為遺憾，說到底，這也是一個動物園人能對這些圈養動物所盡到的最後責任。

圖片來自https://www.visitcalifornia.com/destination/spotlight-seaworld-san-diego