※ 引述《greprep (@@)》之銘言：
: 長久以來，對於「Ｐ若且唯若Ｑ」為何是「若Ｐ則Ｑ」跟「若Ｑ則Ｐ」兩者的綜合，
: 邏輯上沒問題，但語意上一直似懂非懂，這幾天看到英文寫的「Ｐ only if Ｑ」跟
: 「If Ｐ, then Ｑ」是同樣意思，開始覺得自己真的懂了。剛剛在 Naive Set Theory
: 讀到一段文字，更覺得自己完全理解「若且唯若」的語言意義。有時候真覺得數學的
: 英文文獻比中文的好懂。
: Ｐ若且唯若Ｑ（Ｐ if only if Ｑ）分成兩部分：
: 1) Ｐ若Ｑ（Ｐ if Ｑ）：這部分就是 If Ｑ, then Ｐ。
: 2) Ｐ唯若Ｑ（Ｐ only if Ｑ）：這部分就是 If Ｐ, then Ｑ。
: 把 1) 跟 2) 合起來，就是「Ｐ若且唯若Ｑ」（Ｐ if and only if Ｑ）。
: 應該是這樣沒錯吧。


小弟提供一些一般教科書上看不到的說法, 不管你認同不認同, 看懂沒看懂,

既然都點進來了, 請你務必在下面推或噓個文再走.



首先須知 p→q 本質上是沒有因果關係的,

邏輯書上常給的 "天下雨→地濕", 常使初學者誤以為 p→q 有因果上的關係，

亦即 p 對，則 q 對。事實上 p→q 是沒有因果關係的。

解釋如下：p 是個敘述， q 是個敘述，注意，是敘述喔，故它們能明確判斷真假

我們分成四個case後，定義

1. T, T 時 p→q 為 T
2. T, F 時 p→q 為 F

...


因此正確的處理命題邏輯的方式，是照下面這樣


Step 1: p→q 為真。 可能題目告訴你、可能上帝告訴你、可能我強迫洗腦你

Step 2: 若你確定 p 為真，則 q 必為真──因為你已經知道p→q是對的了

若你知道 p 為假，則你無法知道 q 為不為真

若你知道 q 為真，則你無法知道 p 為不為真

若你知道 q 為假，則你確定 p 為假 (因為若 p 為真，q不可能為假)

(或者用更清晰的方式解釋：因為上面四個case中, p→q為真

且q為假的那些列中, 只有p為假的情形)




好。現在若上帝告訴我們 p→q 為真，通常我們都會寫 p→q 為真

沒有人會寫英文、寫中文，因為寫邏輯符號最方便。

那如果要寫要怎麼寫？


p→q

If p, then Q.

If p, Q.

Q, if p.

(↑這是英文文法中常見的的副詞子句搬到句尾的文法, 後續亦同)

Only if Q, p.

P, only if Q


對應成中文，分別是： 若 p,則 q

若 p, q

q, 若 p 或「 q 若 p (ex: 地濕若下雨)」


唯若q, p

p, 唯若 q 或「 p 唯若 q (ex: 下雨唯若地濕)」





好，那你說為什麼要講說 p 唯若 q，理由何在？

尤其唯若(對應成英文是only if)兩字，實在莫名其妙、毫無章法。

在解釋這點之前，先強調更重要的一個觀念：


記得我前面跟你說過，p→q沒有因果的意思。

你永遠可以寫 「1+1 = 2 → 紐約在美國」

你也永遠可以寫「天雨→地濕」

但你不可以理解成有因果關係的：若1+1=2，則紐約在美國

你也不可以理解成有因果關係的：若天雨，則地濕 (即因為天雨，所以地濕)


相信我，這點可能跌破你的眼鏡，包括你學校老師可能都會感到詫異，

你去問哲學系的朋友，就知道我沒有騙你。

如果你是數學老手，你一定會說：

「幹, 唬爛，騙我沒念過數學，


p: c,a,b為直角三角形三邊長且 c為最大邊

q c^ 2 = a^2 + b^2


這裡的p→q最好沒有因果關係！

沒有p先對，哪來q會對？

」


沒錯，你說的沒錯，但是如果你有這問題，代表你弄混命題邏輯和述詞邏輯了


你給的例子，也就是你所有數學課本裡牽扯到所有 ★→☆的用法


都是述詞邏輯(牽涉到量詞, variable)，而非命題邏輯(完全不牽涉量詞)，兩者不能混淆。

以你給的例子，要寫成 Forall a,b,c, p(a,b,c) → q (a,b,c)


其中p(. , . , .), q (., . , .)均不為命題，而稱開放語句或命題函數，

這些東東跟我們現在談的完全不一樣，幾乎大部分純邏輯的書都把這東西放在

整本書的後半講。只有數學系數學導論方面的東西才喜歡和命題邏輯一起提

甚至是混合提... 這會讓超多初學者搞混。恐怕數學系的有很大的比例都搞混了，

哲學系有修過正規邏輯的在這個環節懂的比較扎實。




我回來講為什麼 p→q 可以說成 p 唯若 q 了。



(以下大前提一律是p→q已知為對, 我不再贅述)

所謂中文或英文的唯若(only if)，意指

1. p會對，唯有q會對

2. 唯有q對，p才會對 (Only if q, p.)

3. 只有在 q 對的時候，p才會對。

(這幾句話你自己要大聲念三遍, 否則別往下看)



你可以換句話說：今天已知 p→q 對，而且 p 要是萬一對，則此時 q 一定是對的。

(但反過來, q就算對了, p不一定會對；

但q如果不對，p絕對不會對)

So we call that 唯有 q 對，p才會對, but q對了, p不一定要對

這和「若B對, 則A對」 有很大不同，因為這裡的「若B，則A」是B對時A必對。



合理嗎？合理嘛！


p q p→q

T T T (唯有在q對的時候，p才會對)

T F F (這列不看, 因為已知p→q對)

F T T (但是q對了，也不一定保證p能對；
只是說：唯有q對的時候，p才會對)
F F T



是不是 p 只有在 q 對的時候才對呢？ (請仔細看我那個真值表核對)


(記住：p→q毫無因果關係，這裡所謂誰 OOXX時，誰才XXOO，是指"就分類情況"而言)


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