為什麼這篇自然數 有理數 無理數鄉民發文收入到精華區：因為在自然數 有理數 無理數這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者benjy0218 (benjy)看板C_Chat標題[問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？時...
自然數 有理數 無理數 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Instagram 的精選貼文
2021-07-06 05:58:15
哇！英數合鳴！ 這週四晚上7:30～8:30 —> 李傑老師 @jackleemath 這週六晚上7:30～8:30 —> 俐媽 我們即將要舉辦國三升高一線上直播活動了， 內容精彩、抽獎獎項豐富， 歡迎大家來喔！ 今天，送上北一學姊編整的「數學篇」，剛好是英+數合體的最佳表現！ ——————...
在無限多的情況下
自然數跟質數誰比較多呢？
玩星穹鐵道出的任務
感覺上每多出一個質數
就會多出好多的自然數
這樣感覺自然數會比較多吧？
就像無限有理數會比無限無理數多一樣
不過答案是一樣多
請問是為什麼呢
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→ ZooseWu: 你要先搞懂無限的定義 05/16 15:33
推 civic0960: 有一對一關係 所以是一樣多 05/16 15:34
推 wuwuandy: 數學上說兩個無限一樣多指的是他們的集合勢一樣大 05/16 15:34
推 ItokoEguchi: 無限沒有大小之分 05/16 15:35
推 ninja99: 李永樂老師有一集講無限的概念，可以去看看 05/16 15:36
推 wacoal: 數學上的定義，相互無限就是一樣的程度 05/16 15:36
→ wacoal: 無限不是一個定值沒辦法比大小，在數學定義上永遠可以找 05/16 15:37
→ wacoal: 到與他對應的下一個點 05/16 15:37
推 joey0vrf: 無限就是無限 無限＋1-1一樣是無限 05/16 15:39
推 kirimaru73: 是一樣等級多，不是一樣多 05/16 15:39
推 chigo520: 你是沒讀過大學麼無限是一種概念 05/16 15:40
→ kirimaru73: 這兩個都是可數無限多，說一樣等級沒問題 05/16 15:41
→ kirimaru73: 但說一樣多就是賣弄半吊子知識了，你要先定義一樣啊 05/16 15:41
→ xxx60709: 我一直覺得在密度不同的情況還能說是一樣多有夠詭異的 05/16 15:41
推 SHCAFE: 數學 神奇吧？ 05/16 15:42
推 CasullCz: 【問題】質數跟自然數哪個比較多？ 05/16 15:45
推 wacoal: 單論「個數」都是無窮，數字只是編號，個數才是本質。 05/16 15:45
→ CasullCz: 巴哈有一堆數學系在下面討論可以參考 05/16 15:45
推 Edison1174: 質數是自然數的子集合 05/16 15:46
推 aulaulrul4: 無限的情況就沒辦法比了吧 05/16 15:47
推 inte629l: 無限可數集和無限不可數集？頭痛... 05/16 15:47
→ kirimaru73: 可數無限和不可屬無限上面還有一些層級，甚至還有「 05/16 15:49
→ kirimaru73: 不可描述無限」這種中二名詞存在 05/16 15:49
推 SHCAFE: 這題就高中程度 算是微積分前置吧 05/16 15:49
推 kirimaru73: 有個頭痛的性質是，質數（或奇數偶數）是整數的子集 05/16 15:53
→ kirimaru73: 但它們和整數是真的可以一一對應 05/16 15:53
推 Ben40: 無限大還能分不同等級 05/16 15:54
推 shinobunodok: 因為他說無限 因此兩個數都無限多 不存在誰多誰少 05/16 15:55
→ shinobunodok: 只剩下一樣那個可選 雖然我記得無限大好像還是可以 05/16 15:55
→ shinobunodok: 分誰的無限比較大 05/16 15:55
推 bro286: 終於有人問這一題了，雖然對大家而言太簡單了XD 05/16 15:57
推 tim201227: ...無限大哪一定會是一樣多 重點是要看定義 簡單的說 05/16 15:59
→ tim201227: 如果找出方法可以一對一那才是一樣大 05/16 15:59
→ tim201227: 雖然我不知道這題答案 但肯定需要推導才能知道 05/16 16:00
推 staristic: 數學上的無限大比較像是S級、A級、B級之類的分級概念 05/16 16:00
→ staristic: 只要有辦法建立1-1對應就是同一級 05/16 16:00
推 foxwofe: 無限數由德國數學家Cantor分三級，第一級是整整、小、分 05/16 16:01
→ foxwofe: 數 05/16 16:01
→ staristic: 用常見的ACG來比喻，就是實力到了就可以變成四大天王 05/16 16:01
→ staristic: 「質數只是我們四天王中最弱的一個」 大概是這種概念 05/16 16:02
推 selfet: 一樣多 05/16 16:02
→ Annulene: 都無限了還分多少？ 05/16 16:03
→ foxwofe: 第二級是線、面、體。第三級是幾和曲線 05/16 16:03
推 kirimaru73: 還有一個細節，如果出題者真的明確表示我答案內的多少 05/16 16:04
→ kirimaru73: 是可數集合的版本，那「一樣多」就是錯誤答案，「無法 05/16 16:04
→ kirimaru73: 比較」才是正解。數學界上很多這種比法律還要煩的事情 05/16 16:05
噓 winer5566: 無限不能比大小 05/16 16:05
推 NoLimination: 根據我對高中數學的印象 本題應該是一樣多 05/16 16:06
推 Bugquan: 看來一下別的地方的討論，簡單來說用"多少"有點不怎麼數 05/16 16:09
→ Bugquan: 學，數學上有"勢"和"測度"兩種概念 05/16 16:09
→ storyo11413: 因為質數可以1對1自然數 不存在對應不到的自然數 05/16 16:10
推 kirimaru73: 你如果要把一樣多這三個字當成正確答案，最少要先聲 05/16 16:12
→ kirimaru73: 明多少的意義可以引申到無限層級的比較，這種事情並 05/16 16:12
→ kirimaru73: 不是你不講就會自動成立的 05/16 16:12
→ kirimaru73: 如果你出是非題，自然數比質數多，答案是X 05/16 16:13
→ kirimaru73: 那至少還能說一切合法 05/16 16:13
→ storyo11413: 自然數123... 對應質數序列 235.. 自然數不會比較多 05/16 16:13
→ kirimaru73: 當然這種題目還是比上次正解是26的那題好太多了 05/16 16:14
推 grandzxcv: 無限和永久就不一樣，就像你的永久尊貴會員 05/16 16:16
推 fate201: 質數onto 且 1-1自然數 反之亦然 所以一樣多 05/16 16:21
推 gsmfrsf: 可以ㄧㄧ對應勢就一樣大 我看科普這樣說啦:) 05/16 16:22
推 Hosimati: btw 那個叫無限大 不是無限也不是無限多 05/16 16:24
推 kirimaru73: 沒有onto，1在你後面它很火 05/16 16:24
→ kirimaru73: 不過有單1-1就夠了 05/16 16:25
推 daidaidai02: 原波 winter2683 是你 ？ 05/16 16:25
推 Hosimati: 因為那個數量是無限大，所以不管你用什麼方法去數說誰 05/16 16:29
→ Hosimati: 比較多，你能觸及的範圍只是一個區間而已，這個區間比 05/16 16:29
→ Hosimati: 較多不代表全部 05/16 16:29
→ holmes006: 質數集應該是不可數極限 05/16 16:30
推 Bugquan: 跟那個26一樣，題目想賣弄點東西，自己卻也一知半解 05/16 16:30
推 kirimaru73: 澄清一下，數學家在討論到集合時就是像這樣一堆神經病 05/16 16:31
→ kirimaru73: 觀念，而且那個羅素還真的用神經病把自己弄死了 05/16 16:32
推 lifehunter: 你要限定一個範圍 比方說1-100 自然數就會比質數多 05/16 16:34
→ lifehunter: 但沒有範圍 兩邊都無限下去 那自然就都是無限多 05/16 16:35
推 Hosimati: 1-1且映成，其實就是把兩個集合內的數字一一排隊排好， 05/16 16:36
→ Hosimati: 例如1.2.3跟4.5.6排好，可以看到1-4.2-5.3-6都一對一而 05/16 16:36
→ Hosimati: 且沒有漏掉沒對到的，那很直觀這兩個集合的元素都是三 05/16 16:36
→ Hosimati: 個。而到了自然數跟質數你一樣可以這樣排，排到無窮無 05/16 16:36
→ Hosimati: 盡都還是一對一且映成 05/16 16:36
推 kirimaru73: 抱歉，有onto，我想錯了 05/16 16:38
→ kirimaru73: 質數沒有1和onto是兩回事，不衝突 05/16 16:39
推 penta: 一樣多 05/16 16:42
→ buffalobill: 然後0到1之間的實數，數量超過所有自然數 05/16 16:45
推 IntelG4560: 因為整數和質數可以有一對一的對應，找不到例外，所以 05/16 16:46
→ IntelG4560: 說一樣多。假設整數跟小數之間有一對一對應，則一定可 05/16 16:46
→ IntelG4560: 以找出例外，矛盾，所以不一樣多。 05/16 16:46
推 a43164910: 就是一樣 05/16 16:47
→ buffalobill: 質數比較有問題的是沒有一個函數f(n)=第n個質數 05/16 16:48
噓 lou3612: Bijection 05/16 16:48
噓 chadmu: 無法比較，你不能在數線上找到無限 05/16 16:51
推 raincole: 當然有 f(n)=第n個質數啊... 你是不是誤解了函數是什麼 05/16 16:52
推 Bugquan: 我也記得有，但是沒有意義就是了 05/16 16:53
推 sword20074: 離散有學過 但我忘了 05/16 16:55
推 EternalK: 說"質數是自然數的子集合，所以比較少"我覺得滿合理的(? 05/16 16:58
→ theendstar: 我來c恰不是來看證明題的 05/16 16:59
推 k0942588: 不能用子集合去看啦 整數跟正整數也是一樣多啊 05/16 17:00
推 Hosimati: 子集合只能說明小於等於 05/16 17:01
→ buffalobill: 一般說函數是指初等函數吧 05/16 17:04
→ buffalobill: 不然我寫程式算出來的函數也可以說是函數啊 05/16 17:04
→ shamanlin: 無限是概念，所以無法比大小 05/16 17:14
→ shamanlin: 很多數學上不符直覺的描述都是因為那只是人為概念 05/16 17:14
→ shamanlin: 自然會與現實中印象經驗不符 05/16 17:15
推 rayjames38: 揉揉眼睛 確定自己沒進錯版... 05/16 17:24
推 qaz223gy: 一樣多 05/16 17:26
推 XFarter: @buffalobill f 函數也不是真的不能構造啦，但它很可能是 05/16 17:27
→ XFarter: 一個不連續的函數 05/16 17:27
推 XFarter: 然後一對一 bijection 且 surjection 的話，沒記錯的話 b 05/16 17:37
→ XFarter: ijection 應該是XD 為什麼整串沒有人用這個單字呢 05/16 17:37
推 kirimaru73: 最有名的是Willan's Formula 05/16 17:38
→ kirimaru73: 不過這是一個你理解並運用後會想把作者挖出來燒的公式 05/16 17:38
推 Aurestor: 這題就是在考你懂不懂無限大的意思 05/16 17:39
→ kirimaru73: 目前質數的生成函數都是這種適合貼去數學界就可板的 05/16 17:39
→ XFarter: 然後就算真的有可測無限自然數和可測質數到底誰比較多， 05/16 17:43
→ XFarter: 應該還有一些定義大家還沒提== 05/16 17:43
→ XFarter: 比如質數是不是有負質數的 ring 性質，或是這個可測無限 05/16 17:43
→ XFarter: 到底是哪種可測...可加可測嗎？有極限嗎？ 05/16 17:43
→ XFarter: 根據不同的定義答案可以有好幾個版本XD 05/16 17:43
推 Deltak: 不需要生成函數吧，證明這個只要證明質數是無窮的就好了 05/16 17:43
→ XFarter: 我的結論其實是大家把這篇沒定義清楚的問題無視，然後乖 05/16 17:44
→ XFarter: 乖去海拉魯玩== 05/16 17:44
推 Bugquan: 結論是，不要出一個自己都不太清楚的題，來賣弄知識 05/16 17:48
推 kirimaru73: 其實如果把「一樣多」換成「以上皆非」 05/16 17:50
→ kirimaru73: 那其實就算是有點漂亮的賣弄了 05/16 17:50
→ kirimaru73: 數學上很多花招可以玩，但你想玩就要夠嚴謹 05/16 17:50
推 po123953: 一樣多 05/16 18:05
推 trace5566: 希爾博特旅館 05/16 18:56
推 bh2142: Cardinality一樣 05/16 19:01
推 srewq: 有理數跟正整數也是1-1 & onto的，但跟無理數就不是。實際 05/16 19:14
→ srewq: 上，某種程度上，你可以說無理數比有理數還多，而且是多很 05/16 19:14
→ srewq: 多。 05/16 19:14
噓 chink5566: 無限是一個概念 數學不好你就不要問 05/16 19:15
推 mikeneko: 我以為只有國小生才會在那邊，我無限大，我兩倍無限大 05/16 19:33
→ mikeneko: 原來還真的有人會拿無限來比大小喔 05/16 19:34
噓 SkyIsMyLimit: 國中生？ 05/16 19:36
→ kisaku: 希爾伯特無限旅館悖論瞭解一下 05/16 19:36
→ KJC1004: 因為你不懂無限的概念 05/16 19:44
推 EternalK: 自然數=質數+非質數，這樣分成兩個子集合有什麼問題嗎? 05/16 20:10
推 EternalK: 欸不對，自然數也可以分成正奇數和正偶數， 05/16 20:13
→ EternalK: 可是這三者一樣多:3 05/16 20:13
→ GodVoice: 我把標題改寫一下 應該就能讓人懂了吧 05/16 20:30
→ GodVoice: 1000個自然數跟 1000個質數 誰比較多??? 05/16 20:30
推 yamagishi: 自然數數量/質數數量，兩個都是無限 05/16 20:33
→ yamagishi: 發散，他可以是任何一個數字，所以沒有意義 05/16 20:33
推 j147589: 有人不知道無限有大小分別喔 05/16 20:41
推 srewq: 其實如果一直使用高中以下的數學想像，當然會覺得無限沒在 05/16 21:11
→ srewq: 比大小的。 05/16 21:11
推 mamamia0419: 兩個都是無限，這其實不是數學而是國文問題 05/16 21:36
推 E7lijah: 無限還是可以比大小，大學會學到 05/16 22:24
→ E7lijah: 數學上要比較無限是靠一一對應關係 05/16 22:25
→ E7lijah: 自然數的無限是最小的無限，實數的無限是更大的無限 05/16 22:25
→ E7lijah: 然後你永遠可以一直用冪集合創造出更大的無限 05/16 22:27
→ E7lijah: 結論是無限還是有大小之分的 05/16 22:27
推 Tinydicker: 有預感112數學仔會傾巢而出 05/17 01:07
噓 chopper0811: 這篇可以看出哪些人是只有高中程度以下的低端仔 05/17 09:02
推 nalthax: 一公斤的棉花跟一公斤的鐵哪邊比較重 05/17 11:25
→ fkzj: 同樣都是無限大，但是還是可以比較大小並且用像列舉法之類的 05/17 14:15
→ fkzj: 方式來證明 05/17 14:16
推 lain2002: 無限大不等於無限大 05/17 14:54
推 mc3308321: 畢竟台灣是人均大學畢業，這種問題都被當成常識了嗎QQ 05/18 04:36
推 skycat2216: 161樓，拿質量比重量很幽默是吧？ 05/18 10:10
推 Dirgo: 沒意外可以一對一轉換,一樣多. 05/18 13:00
推 st950127st: 我先去通靈一下子嘉 05/18 13:12
推 beatboxa0710: 一樣多 05/18 13:32
推 yueayase: 子嘉... QQ 05/19 00:01