※ 引述《milkcake (光良的星星)》之銘言：
: 大家好
: 一直以來，不論教科書或paper都很直接的在計算式上引入自然對數e
: 有稍微查過，不過看到的解答只說因為e是自然界中很常看到的數字
: 我想請問的是 是哪邊常看到?
: 而且為啥是一個奇怪的數字2.72而不是5.3之類的其他數字
: 本來想po在數學板的 可是感覺物裡板會有比較物理的解釋
: 所以上來請教
: 謝謝!

在物理上，只要與 damping，衰變等有關的東西，都與 e 脫離不了關係
當某個物理量的變化率，正比於這個物理量本身，e 就會出現在裡頭

不過，我在這邊想舉的例子，比較不是物理上的
反而是與大家日常生活更相關的一件事：利率
敘述過程中，可以發現這樣的過程套在 damping 與衰變等也是一體適用

有一個很常見的問題，向銀行借款一萬，年利率 5%
若中間不還款，二十年後，須還銀行多少錢？

直接回答，若我們以單利計算，二十年後須還銀行兩萬 (利息等於本金)
(實務上沒什麼人使用單利計算)

若以實務上常用的複利來算，二十年後須還銀行 1.05^20 = 26533

如果我們改以月利率來計算整件事，那月利率該訂多少才等於年利率 5%?
一個速算的方式為，將 5% 除以 12 （0.41667%) 當作月利率 (實務上很多人這麼做)
以單利計算剛好等於年利率 5% (一年後本利和為 10500，二十年後本利和為 20000)
但以複利計算，一年後的本利和為 10512，相當於年利率 5.12%
比原本想要的 5%，多了 2.4% ((5.12 - 5) / 5 = 0.024)

雖然將年利率直接除以 12 作為月利率的估算會有點誤差
但若利率小時，誤差的百分比也會跟著縮小
比如年利率為 1%，除以 12
若以 0.08333% 當作月利率粗估值，則實際的年利率為 1.0046%
與 1% 僅增加 0.46%

回過頭來，若月利率為 0.41667% 計，二十年後該還款多少？
若以單利計算，二十年後與年利率 5% 還款金額一樣是 20000 (利息等於本金)
以複利計算，二十年後，本利和為 27126 (嗯，很好)

若把時間單位切得更碎，以日為計息單位，一年以 365 日計
若日息以 5%/365 = 0.0137% 計，二十年後該還款多少？
若以單利計算，二十年後與年利率 5% 還款金額一樣是 20000 (利息等於本金)
以複利計算，二十年後，本利和為 27181 (嘿，這個數字看起來有點玄機)

更誇張點，以秒計息，每秒利率 5%/365/86400 = 0.00000015855%
二十年後，複利本利和為 27182.818... 沒錯，這個值已經相當接近 10000 x e

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講得更直白一點，若時間單位切得夠碎
經過一個時間周期後，複利的本利和，會逼近於本金的 e 倍
這裡說的一個時間周期，我們定義為，若每期只還清利息不還本金
要耗多久時間，使得前後所還的利息總和等於本金
以上述為例，一個時間單位即為二十年

經過一個時間單位，複利本利和近似於本金的 e 倍
而經過兩個時間單位，複利本利和近似於本金的 e^2 倍
若只經過半個時間單位，複利本利和近似於本金的 e^0.5 倍

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套用到放射性原子衰變，也是類似的方式
若某粒子的衰變率為每秒 1ppm (每秒有百萬分之一的機率衰變)
那一周之後，會剩下原本的 e^-0.6048 = 54.62%
(0.6048 個時間單位，86400 * 7 / 1000000)

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這個特性，在數學上，就是 e = lim (1 + 1/n)^n
n->∞

所謂的計息時間切得愈碎，所對應的就是 1/n 趨近於零



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