※ 引述《CaptainH (Cannon)》之銘言：
: 題目是
: 1 x 2
: lim -----∫ cos t dt
: x→0 x 0
: x
: 這很明顯就是求 f(x)=∫ cos(t^2)dt 在 x=0 的導數，
: 0
: 所以可以直接算出答案=1。
: 你說，
: 不好意思，雖然那個極限就是導數的定義不過我看不出來，
: 我要用羅必達做可以嗎？
: 當然可以，但要用 L'Hopital's rule 計算 lim f(x)/g(x) 是有前提的：
: x->a
: i) f(x)、g(x) 同時趨近 0 或 ∞
: ii) f(x)、g(x) 在 x=a 可微分(導數存在)

CaptainH 大 你的 L' hopital's rule 有敘述正確嗎?

因為它的一個前提是 " f(x) and g(x) are differentiable

and g'(x)≠0 near a (except possibly at a) "


: iii) lim f'(x)/g'(x) 存在
: x->a
: 才會有 lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) 的關係。
: x->a x->a


所以求 lim f'(x) 和求 f'(a) 是同一件事情 ???
x→a

: x
: 現在 f(x)=∫ cos(t^2)dt 及 g(x)=x，要用羅必達算 lim f(x)/g(x)
: 0 x->0
: i) lim f(x) = 0 且 lim g(x) = 0 ∴滿足
: x->0 x->0
: ii) g(x) 處處可微，但 f(x) 可微嗎?
: 照定義, 求 lim [f(h)-f(0)] / h
: h->0
: h
: = lim [∫ cos(t^2)dt ] / h
: h->0 0
: 咦, 這不就是題目本身嗎?

請注意我上面所標示的黃色字


: 由 FTC = cos(x^2) |
: |x=0
: = 1
: 寫完收工，iii) 完全沒必要做下去

你確定你真的在使用 LHR 嗎 .... (抱歉請容許我使用簡寫)

使用 LHR 後應該會推得要解 lim f'(x)
x→0

你是由 LHR 的哪一個核心概念，可以從 f'(0) 推得 lim f'(x)
x→0

再從 lim f'(x) 推得 f'(0)
x→0

然後說使用 LHR 是白費功夫?


: 繼續做可以嗎？ 可以
: 答案會一樣嗎？ 會
: 只不過答案早就求出了，繼續做下去也沒什麼意思。
: : 有人說這樣算是在繞遠路
: 精確來說並非繞遠路，是你早就經過目的地，但沒發現。
: 就像想從台北搭火車到台中，雖然不太知道怎麼搭，
: 但記得之前常常從台南搭到台中，購票簡單路程又短，於是你就打算先搭到台南再轉車。
: 不料，火車經過台中時你竟然沒看出來，沒下車，
: 開開心心坐過頭，然後再從台南坐回台中，如此而已。


對我而言是幾步的距離，也可以是遙不可及的距離

你要這樣子想 LHR 和 FTC for some special cases 當然可以

因為我來就無權干涉您怎麼去看待這方面的事情




所以你舉這個形容代表說 用LHR算原問題 , 對你而言是如此艱辛嗎 ?

恩, 我我明瞭了

所以呢 ?


: : 或許在其思考中，中間有一段是出現以下的思考程序:
: : f'(x) ──┬─→ A ──┬─→ f'(0)
: : │ │
: : └─→ B ──┘
: : A 是直接帶 x=0 過去， B 則是利用連續性過去 (舉例)
: : 這樣的平行思考路線，若覺得 B 的方法太繞路了
: : 自己要把 B 的思考鍊砍掉當然ok阿，因為那是自己本身的考量所致
: : 但有人就是會覺得走 B 路線，對他自己本身而言比較方便
: : 甚至有人想把 A路線砍掉
: : 只要別犯了循環論證之類的錯誤 也無不可
: : 例如 某某人會覺得不論 input 是啥，只要可以 work
: : 我只要走路線 B 就好
: : 何需每次計算的時候，還要先花時間判斷 路線A 的前置條件是否成立
: 就這題而言，路線B能通的前提就是路線A....因此底下有點引喻失當

你把整個圖畫出來就知道了

可以畫很細、也可以畫很粗淺

但至少我相信中間會有 "feedback network"

不會像我前面舉的那麼簡單就是了


: : 這就好比像是
: : 若今天有一個軟體可以解 lim (f/g)
: : 假設有一個大型程式需要解上述問題 100萬次好了
: : 有人會把程式寫成 if( (f(0)==0) & (g=x) ) then 微分定義
: : else 羅必達
: : 某某人就是會覺得每次都要先判斷, 導致多出了一百萬次判斷的時間
: : 說不定這一百萬筆問題，有 99.xx萬筆問題得須藉助羅必達來解決
: : 那幹嘛這一百萬筆資料不全用 羅必達 來算來比較省時間?
: 充其量省開發時間而已，執行時的時間複雜度分析起來未必。


您真的會軟硬體方面的時間分析嗎 ?

我這樣子說沒有惡意

可是即使是我前一篇文章舉的那個看似無用的 method B

有時候加了之後，速度反而會比沒加還要來的 "快"

所以不要覺得加了一個看似沒用的 method B 就覺得會拖累整個運算時間



但重點是

LHR 它並非扮演著 我所謂 method B 的角色

對真實應用來說

我連 method B 都不覺得它哪裡多餘了

何況是 LHR 對原問題而言 ?

: 最後還是要提一下，這是比較"數學"的看法，
: 這裡畢竟為了轉學考試，以做得快做得正確為第一，
: 現在題目也很少要你去檢查是否符合羅必達的前提。


<1> 用一個 thm. 前本來就該檢查其前置條件

考試歸考試，自己心裡應當要有這樣的認知



<2> 若講這麼多您只是想把範圍侷限到 筆試

那我的認為是

通常 "算的快" 和 "做的正確" (或講精確點是 "做的嚴謹")

兩者會是 trade-off



若您覺得使用 LHR 是比較快的做法，但卻是不嚴謹的做法

您大可不要使用 (或是若我有誤解您的意思請見諒)

至少對我而言，我不會因為 case 的差異就偏廢任何一方




但看了很多大大們的推(回)文

好像都認為 LHR 對原問題來說 LHR 是比較慢的作法

(或講精確點，要轉比較多的彎)

我還是那兩句話(意思):

<1> 是能有多彎，可以讓你彎到從台中過台南
再從台南過台中?


<2> 兩個不同的 concept, 有人想因 case 的差異而偏廢一方
但為何我要跟著一起偏廢 ?



: : (當然若 微分定義 的算法比 L'H. 算法還 "快" 多了, 那得須另外討論 )
: : 對硬體而言
: : 上述作法還要多浪費一個 多工器 + equivalence checking + ... 的成本
: : ----------
: : 講到最後，我自己也不知道結論是啥....

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