為什麼這篇算幾不等式證明鄉民發文收入到精華區：因為在算幾不等式證明這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者yonex (諸法皆空)看板tutor標題Re: [問題] 算幾不等式為何必須限制R+時間Mon...
※ 引述《jerrylau (keep it simple)》之銘言：
: 標題: [問題] 算幾不等式為何必須限制R+
: 時間: Sun Mar 5 00:23:28 2006
:
: 若a>0且b>0,則(a+b)/2>=根號ab
:
: 針對ab皆為正實數部分沒有問題
: 我要問的是為什麼不考慮a=b=0呢??
: 感謝回答
:
: 推 beegirl:請問根號0有意義嗎？ 03/05 01:26
^^^^^^^^^^^^^^^^√0當然有意義
我試著來回答你的問題好了
首先...算幾不等式來由是什麼？
瞭解後問題就解決了大半了
算幾不等式源由於：『所有周長相同的矩形中，正方形的面積為最大』
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
a＝0或b＝0，幾何平均數（面積項）為0，這件事情太顯然了
不等式的成立可以說是trivial（無聊），根本沒什麼好證明的...
也只有在a>0且b>0，這個不等式的現象才會"不這麼顯然"
才有探討與論證的餘地....
數學家在陳訴定理時，就我觀察...至少有兩個奇異的偏好
1.話不喜歡講太囉唆 2.不講『無聊話』！
並且考慮a＝0或b＝0時，不等式的幾何意義會喪失
『所有周長相同的矩形中，正方形的面積為最大』這個陳訴
同義於...『同周長的矩形，兩邊的差距越小，其面積就越大』
要深究的就是幾何裡的面積現象，沒有長度又何來面積呢？
以下附上算幾不等式的證明：
設a>0且b>0，(a+b)/2>=√（ab）
pf:此證明可由配方法輕易得到
(a+b) （√a －√b）^2
----- －√（ab）＝ ----------------->＝0
2 2
若且唯若 a＝b，等號成立 Q.E.D.
OK！如果學生是國中生，講這樣就夠了
如果學生是高中生....
我個人認為無論如何都要論證廣義的算幾不等式（使用數學歸納法）
這是一個數學歸納法非常好的練習範例
prove a_1+a_2+a_3+........+a_n
------------------------- >＝ （a_1×a_2×......a_n）^(1/n）
n
for n屬於自然數....
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◆ From: 203.67.110.254
推 jerrylau:太感謝您了! 03/06 04:59