※ 引述《brains (不認識)》之銘言：
: 如題, 兩底角相等應是等腰三角形的性質.
: 但若真的要證明的話, 就邏輯上卻很難辦到.
: "原命題: 已知一三角形兩邊相等, 試證其兩底角相等"
: 因為就尺規作圖而言, 不論是
: 找中點, 向一邊作垂線, 作中垂線, 或作角平分線...
: 作這些輔助線的過程都會運用到原命題的性質(即等腰三角形兩底角相等)
: 所以就邏輯而言不就會變成"循環論證"了嗎?

你這問題很有趣
在幾何原本的公設系統下來看
這個定理在許多國中課本的證明根本是亂證
(循環論證)
例如你用角平分線好了
你怎麼知道一定可以構造那條角平分線?
這是根據幾何原本命題9
但是幾何原本命題9需要命題7
命題七的證明過程需要命題5
命題五就是這個定理自己!
其他的證明也是一樣!都會循環論證

然後大部分國中課本也不說她是在什麼公設系統下
導出這個定理的
所以會有很多很奇怪的地方
舉例來說
國中課本不談平行公設
所以推出三角形內角和定理用了許多奇怪的解釋
(什麼小孩子繞一圈
那你乾脆拿剪刀把腳剪下來拼湊說是180度算了..)

甚至還有胡亂證一通的
例如某版本(我記得是國編版喔)AAA相似形定理的證明
基本上是犯了循環論證
(康軒版更扯..拿量角器)


師大數學系洪萬生教授有探討過這個問題
一一指出國中課本錯誤的證明
(在數學史上也是很夯的問題)
寫成一篇論文
http://140.122.100.145/ntnuj/j49/j491-15.pdf
另外一篇更完整的
原本網路上有
出成書後就被砍掉了
不過有GOOGLE 但會有幾頁不能看
http://ppt.cc/90pn


請仔細翻一下幾何原本對此命題的證明
相當的複雜!
我自己第一次看的時候也花了一些時間

在歷史上稱之為《驢橋定理》
因為古代歐幾里得幾何原本是幾何學的權威教材
很多人看到這個證明就傻住了
想說這麼直觀的東西為什麼要搞這麼複雜
故有言：驢橋在此，愚者莫過!

不過 嚴格來說 幾何原本也不夠嚴謹
歐幾里得用了很多自己沒有察覺得直觀性質
所以羅素說：他的嚴格性是被誇大的

在大數學家希爾伯特的名著《幾何基礎》
如果你有書的話 可以翻翻看
在他的公設系統下證明很簡單
(但是他的公設蠻複雜的)
在第一章-6.合同公理的推論
定理11 三行就證明完了!

我附上英文版的幾何原本
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI5.html

注意下面有一個簡單的註解：
There are two conclusions for this proposition, first that the internal base
angles ABC and ACB are equal, second that the external base angles FBC and
GCB are equal. From the diagram it looks like it would be easy to prove the
second conclusion from the first by simply subtracting the equal angles ABC
and ACB the straight angles ABF and ACG, respectively. But Euclid doesn't
accept straight angles, and even if he did, he hasn't proved that all
straight angles are equal. Proposition I.13 would be enough, since it implies
the sum of angles ABC and FBC equals two right angles, and the sum of angles
ACB and GCB also equals two right angles, and so the two sums are equal
effectively saying all straight angles are equal.

Unfortunately, such an argument would be circular. I.13 depends on I.11, I.11
on I.8, I.8 on I.7, and I.7 on I.5. Thus, I.13 cannot be used in the proof of
I.5. It may appear that I.7 only depends on the first conclusion of I.5, but
a case of I.7 that Euclid does not discuss relies on the second conclusion of
I.5.

This proposition has been called the Pons Asinorum, or Asses' Bridge. Whether
this name is due to its difficulty (which it isn't) or the resemblance of its
figure to a bridge is not clear. Very few of the propositions in the Elements
are known by names.

不過在教學上
用這個教學生 學生大概會抓狂..
培養直觀反而比較重要

在更下面有一行註解
是數學家Pappus給的
證明更加簡單，
用SAS就可以辦到(命題4 不會有循環論證的問題)
不過對初學者有些難理解就是了.
洪萬生的那本書也有對這個證明評論
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◆ From: 118.169.226.203
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.226.203 (12/20 02:01)
原PO說的沒有錯啊
作垂線 作角平分線的證明方法
都是循環論證。
請你自己把洪萬生教授的那篇文章讀讀
如果懶得看 有他學生寫的精簡演講稿
http://ppt.cc/ArqX
一一指出
1.作頂角平分線 2.頂點與底邊中點連線
3.頂點向底邊作垂線 4.其底角之兩外角相等
5.反身對稱
證明上的問題
大概只有數學家Pappus和Euclid自己的證明沒有問題
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.226.203 (12/20 14:17)
若不改變幾何原本命題順序
大部分的證明(國中課本 或是大部分人的學到的)
也就是
1.作頂角平分線 2.頂點與底邊中點連線
3.頂點向底邊作垂線 4.其底角之兩外角相等
都是錯誤的證明
那要怎麼證明呢
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI5.html
這是歐幾里得的方法 極為複雜
Pappus提供一個超簡單的證明：
AB=AC ∠A=∠A
根據SAS 三角形BAC全等CAB
所以角B等於角C
SAS是幾何原本命題4
所以這樣用是沒問題的
但在理解上比較困難
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.226.203 (12/20 15:37)