為什麼這篇矩陣運算題目鄉民發文收入到精華區：因為在矩陣運算題目這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者rockken ()看板Math標題[其他] 矩陣運算證明時間Mon Sep 8 05:03:...
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2021-08-19 01:57:45
【三平面的關係】 在空間中直線與平面有一個集大成的題型 也就是三平面關係 三平面的關係涉及到的問題有 三平面之間圖形的組合（一共八種） 以及各組合的解的個數 當然如何解出這些解也是一個很重要的考點 首先三平面的關係如圖所示 可以把這八個圖形分成三類： A類：有重合平面（A1.A2.A3 ） B類...
最近在算到一個矩陣題目，不知道要如何下手，所以想請大家幫我想看看。
題目: Let A and B are positive matrices. Show taht
c A^-1 + (1-c) B^-1 >= [ c A + (1-c) B ]^-1, 0 < c < 1
我想法是，因 A, B 都是正定， 所以應該找的到一組 P=[P_1,...,P_n]
可以同時對角化。 對應 A 特徵值 [lamda_11, lamda_12, ..., lamda_1n ]
對應 B 特徵值 [lamda_21, lamda_22, ..., lamda_2n ]
然後用 1/x， 他是凸函數，所以使得
c * 1/lamda_11 + (1-c) / lamda_21 >= 1/(c*lamda_11+(1-c)*lamda_21)
兩邊同乘 P_1P_1'
c * 1/lamda_1*P_1P_1' + (1-c) / lamda_2*P_1P_1'
>= 1/(c*lamda_1+(1-c)*lamda_2)*P_1P_1'
最後，相加 n 組特徵值，即可得證。
因為不太會用 BBS 打數學符號，且小弟數學薄弱不知這樣證明是不是有很大問題。
請大家見諒， Orz。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.173.19.17
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※ 編輯: rockken (1.173.19.17), 09/08/2014 05:09:24
→ njru81l : 你需要正定矩陣 >= 的定義 09/08 09:57
→ kerwinhui : 只知A,B正定不代表一定能同時對角化 09/08 10:38
→ kerwinhui : 兩個可對角化的矩陣A,B能同時對角化需要的是AB=BA 09/08 10:39
→ rockken : 謝謝兩位，後來我用光譜分解 + 凸函數即得證。 09/08 22:20