四兩撥千斤！ 創新工場首席科學家AI大牛周明博士率瀾舟團隊刷新CLUE新紀錄，輕量化模型孟子一鳴驚人！

本週，中文語言理解權威評測基準CLUE榜單，被「低調」刷新。

不同的是，不是大公司、不是超大模型……

一個新面孔，一個輕量化模型，首戰即登頂，四兩撥千斤。

CLUE榜單近年來由巨頭——騰訊、搜狗、華為、阿里達摩院輪番霸榜的格局，被首次打破。

瀾舟科技-創新工場推出的孟子模型，以十億參數完成了此前百億、千億參數模型刷新的紀錄。

這也是瀾舟科技首次對外曝光，背後團隊負責人，正是創新工場首席科學家、全球AI大牛周明博士。以下文章解釋了這個模型的原理，文章來自《量子位》微信公眾號，經授權轉載。

▎輕量化模型孟子？

孟子，基於瀾舟團隊自研技術研發的大規模預訓練語言模型。

包括創新工場、上海交通大學、北京理工大學等單位參與聯合研發。

可處理多語言、多模態數據，同時支持多種文本理解和文本生成任務，能快速滿足不同領域、不同應用場景的需求。

孟子模型基於Transformer架構，僅包含十億參數量，基於數百G級別涵蓋互聯網網頁、社區、新聞、電子商務、金融等領域的高質量語料訓練。

但誰也沒想到，小模型卻有大智慧，一經登場，打破格局。

CLUE，中文語言理解領域最具權威性的測評基準，涵蓋文本相似度、分類、自然語言推理、閱讀理解等共10項語義分析和理解類子任務。

該榜單競爭激烈，幾乎是業內所有自然語言理解玩家必爭之地。

騰訊、搜狗、華為、阿里達摩院等更是輪番霸榜刷新紀錄。

而且隨著大參數模型愈演愈烈，CLUE還漸有巨頭壟斷之勢。

因為百億、千億甚至萬億參數的大模型，已然不再是創業或其他玩家可與之爭鋒。

萬萬沒想到，瀾舟科技-創新工場團隊出手，四兩撥千斤。

因為孟子，走的是基於輕量級、高效訓練的研究路線，致力於構建十億級別的小模型，充分發揮已有參數下的模型潛力，有利於快速、低成本地落地現實業務場景。

孟子預訓練模型性能比肩甚至超越千億大模型，在包含文本分類、閱讀理解等各類任務上表現出色。

相對已有的中文語言模型，孟子模型實現了多項突破性進展：
 1） 堅持「小而精」的輕量化訓練策略。實現在同等模型規模下，遠超公開模型的性能。作為精巧的小模型，對標「巨無霸」，小模型性能超越千億規模模型。
 2）使用知識圖譜增強模型，讓 AI 真正獲得知識。孟子模型具備頂尖的語言理解能力，在權威CLUE中文理解評測的總排行榜，以及分類排行榜和閱讀理解排行榜均位列第一，刷新三項榜單世界紀錄。總排行榜分數突破84分，逼近人類基準分數（85.61）。
 3）靈活的領域和場景適應能力，方便快速定制和應用。基於T5-style的端到端生成的訓練範式，同步適配BERT-style的判定式架構，既能理解也能生成。便於適配行業應用，覆蓋廣泛業務場景。

當然，隨著孟子一鳴驚人，也必然能讓輕量化模型研究來到聚光燈下。

▎原理方法和應用？

在輕量化模型算法研究方面，基於自研的基於語言學知識、知識圖譜和領域數據增強等技術，從模型架構（包括基礎層Embedding表示和交互層Attention機制）到預訓練策略進行了全方位改進。

具體有四方面：
 1) 模型結構方面，將語義角色、詞性標註等語言學特徵融合到Embedding表示中，基於句法約束引入註意力機制中，從而提升模型對語言學知識的建模能力。
 2) 訓練策略上，引入基於實體知識和Discourse的Mask機制，強化模型對語言成分和語篇關係的表徵。
 3) 為進一步提高訓練效率，使用了大模型蒸餾和初始化小模型策略。
 4) 為更好地將孟子模型適應垂直領域如金融、營銷，使用了領域數據繼續訓練並構造相應的提示模版（Prompt），取得了明顯的性能提升。

基於以上算法策略，實現從語料中高效學習涵蓋詞級、句子級和語篇級知識，大幅提升語言模型提煉語言結構和語義信息能力，以及良好的領域遷移能力，適應廣泛的產品應用場景。

另外，在Finetune的進展方面，如何將預訓練模型用於各項任務？

瀾舟團隊也有總結，從數據增強、知識蒸餾、遷移訓練、訓練優化等方面展開了一些探索，進一步提升語言模型的性能：

 1) 數據增強：使用領域相關數據；
 2) 知識蒸餾：基於Teacher-Student自蒸餾提升訓練效率；
 3) 遷移訓練：結合課程學習的思想，由易到難訓練下游模型；
 4) 訓練優化：使用多種訓練目標，多角度提升模型能力；

而且孟子還已經展開了垂直化領域應用。

基於領域適應技術，孟子模型已深度垂直化賦能相應行業。典型的例子為適用於金融領域的孟子模型，領域適應策略主要包含兩大方面：

 1) 通過大規模的泛金融領域語料，將通用孟子模型遷移到金融領域。金融版孟子模型已經應用於多個金融行業的合作企業，在金融知識圖譜搭建、脫水研報、公告抽取等多個任務上獲得了出色的表現。
 2) 通過大規模的營銷領域語料，將孟子模型遷移到數字營銷領域，完成了營銷文案生成、新聞摘要等多項任務，將用於行業頭部的數字營銷公司和多個世界五百強企業的合作之中。

瀾舟方面還透露，孟子模型已在多個領域成功落地實踐，衍生出多項行業領先的產品，涵蓋文本生成、行業搜索、機器翻譯等諸多領域。

並且毫無疑問的是，因為輕量級模型具有的模型參數較少、快速推斷的特點，更易於線上部署和推廣到移動設備中，自然不會局限於現有應用和場景，接下來還會有更廣泛的研究和應用場景中。

▎瀾舟團隊？

最後，也簡單介紹本次一鳴驚人的新面孔瀾舟科技。

瀾舟科技是創新工場孵化的一家認知智能公司。公司創始人——周明博士。

AI領域內，周明已不用過多介紹，他是公認的世界級AI科學家，自然語言處理領域的代表性人物。

周明博士在2020年加盟創新工場，擔任創新工場首席科學家。
而瀾舟科技則針對商業場景的數字化轉型，基於大數據、知識圖譜和行業模型，提供新一代的信息檢索、知識推理和商業洞見技術和相關產品。

據稱目前已與國內外幾十所著名高校和十餘個相關領域的頭部企業建立了穩定的合作關係。

值得注意的是，瀾舟科技除了大牛坐鎮，其實也是行業趨勢的體現。

引用創新工場董事長兼CEO李開復最新分享來說：

AI的發展可以按照兩個時間點劃分。

第一個時間點是2015年，以CNN為核心的計算機視覺技術讓機器超越了人類，帶來了人臉識別、智能質檢、無人零售、智慧城市、無人駕駛等商機。

而第二個時間點出現在2019年，以大模型為代表的自然語言方向取得突破性進展，讓NLP從數據、信息走向知識和洞見成為可能，將會在翻譯、語音識別、法律、金融、新聞、廣告、醫療、娛樂等大賽道帶來機遇。

「如果說CNN造就了今天計算機視覺領域的突破和眾多應用，預訓練大模型+微調也將帶來自然語言的百花齊放的發展，用數據智能驅動各類業務的升級。瀾舟科技在周明老師的帶領下取得了今天的成果，在新機遇面前躬身入局，一起發掘NLP領域的黃金發展期」，李開復說到。

2014年1月9日 全球財經要聞

今天有一則談新興市場的報導，在細碎的經濟數據之外，也提供了分析和思考方法，幫助讀者自行思考，新興市場的未來究竟如何。

這是路透社，分析：新興市場投資者面臨充滿政治地雷的一年。大意是，在QE資金熱潮退去後，新興市場的走向，是由當地的政治風險決定。

仔細看，這則文章裡提到了一個衡量新興市場主權風險的指標，是主權風險指數(BSRI)，這是一個方便的工具，因為定期更新，而且免費對所有人公開，點擊這個連結，你可以看到他們評估的五十個國家，可能因國家政治因素帶來的政治風險。

http://www.blackrockblog.com/blackrock-sovereign-risk-indi…/

這張是12月的主權風險指數統計表，好消息是，台灣在前段班，排名全球第六，全世界排名第一的是挪威，金磚四國中的中國、俄羅斯和巴西，分別排名19、20、30名，印度則排名40名。

前陣子，前高盛首席經濟學家歐尼爾看好的薄荷四國，墨西哥、印尼、尼日和土耳其，墨西哥排名32名，印尼36名，尼日未排上名，土耳其則排名35名。現在這些國家更常出現在脆弱五國的名單裡，脆弱五國指的是土耳其、南非、印度、印尼、巴西，其中表現最好的巴西，排名也只有三十名，看來投資風險並不低。

主權風險指數，是怎麼算出來了呢?其中包括四個指標，第一，可用的財務空間(40%)，第二，還款意願(30%)(當地政治風險分數歸屬在這個項目下)，第三，外在財務狀況(20%)，以及金融部門健康狀況(10%)，這個指標不見得適合拿來預測未來，因為很多因素在計算中被簡化了，但可以拿來當成分析新興市場主權風險的參考指標。

全球股市方面，美國8日道瓊指數小跌0.41%，S&P小跌0.02%，NASDAQ小昇0.3%。歐洲股市週三，Stoxx 600指數只上漲0.1%，創下2008年5月以來高點。亞股星期四則是收黑，日經下跌1.5%，中國上證指數下跌0.82%，MSCI亞洲指數下跌0.7%。

中國經濟方面，金融時報刊出的文章 ” 分析：中國央視為何再度出擊房地產商？
“，問了一個有趣的問題，為什麼央視再次指控房地產商欠稅，這次特別，因不只房地產商否認，連稅務機關都嗤之以鼻，沒想到央視最近再次長篇報導，攻擊地產商欠稅，金融時報因此分析，這可能是中共中央要整頓房地產產業的前兆，如果成真，不只會影響中國，而是全世界。

日本共同社也有一則特別的新聞，談高模擬老年人軟食，日本人把原本泥狀的老人食品，用模型做成魚片等真實食物的形狀，避開老人吃一般食物時會噎到的風險，同時兼顧老人對味覺享受的要求，如今這樣的食物，在高齡化社會很受歡迎。

今日圖片 是日本用老人營養食物，做成的模擬魚片。

全球財經
分析：新興市場投資者面臨充滿政治地雷的一年
Lex專欄：該投資新興市場債券了嗎？
2014：新興市場股市仍有上漲空間

歐洲財經
歐洲央行在新的一年面臨新挑戰
中國中鐵提議為英國高鐵車站建設支線
巴羅佐：2014年歐元區將擺脫最壞局面
歐元區通脹率降低引發通縮擔憂
歐元區11月份零售額飆升
德國11月份貿易順差擴大
歐洲股市漲勢緩和 二線國家股市再次表現出色
聯邦德國政府去歲新借貸數量少於原計劃
歐盟統計局：歐元區失業率仍居高不下
中國富豪令英國遊艇公司前景光明

美洲財經
美聯儲將以“適度步伐”退出量寬
美國12月私營部門就業人數增23.8萬人，高於預期
美股收盤漲跌互現 道指下跌0.4%
美聯儲會議紀要：多數官員支持縮減購債
美聯儲會議紀要：多數官員在12月政策會議上支持縮減購債
美國股市下跌，美聯儲發布會議紀要
加拿大股市：攀升，受美國就業資料和Valeant支撐
標題新聞：1月7日止當周美國貨幣市場基金資產減少36.2億美元至2.701萬億美元-\-\iMoneyNet
標題新聞：美聯儲會議記錄顯示負責市場操作的聯儲小組將尋求將1月29日到期的逆回購試驗延期
美國財政：2013年10-12月政府預算赤字大幅縮減至1,820億美元-\-\CBO
馬多夫害人不淺 連累摩根大通26億求和解（更新版）
美股標普500指數接近收平 市場對美聯儲會議記錄反應平平
焦點：美國11月貿易逆差創四年最低
綜述：美聯儲官員稱縮減QE步伐適當
美12月就業資料為經濟復蘇再添佐證
焦點：美聯儲希望在縮減QE3時謹慎從事

亞洲財經
標題新聞：澳洲11月經季節調整建築許可按月下降1.5%，降幅大於預期；年增22.2%-\-\統計局
獨家：印度SpiceJet訂購約40架波音飛機-\-\消息
亞洲股市受支撐 強勁貿易資料提振美國成長前景

中國財經
中國2013年12月CPI升幅回落
中國存款利率偏高
分析：中國央視為何再度出擊房地產商？
2014年中國股市：夾縫中成長
中國為何警惕比特幣風險？
外企重新思考在華併購交易
9日看盤:12月CPI今公佈 料不影響大盤
中國電子商務的快速發展將提振倉庫需求
遊戲機廠商進軍中國面臨挑戰
中國鐵礦石交易人民幣結算面臨障礙
林毅夫：未來20年中國經濟還能保持8%的增速
中國貿易：服務貿易促進政策擬出臺，支援外包企業發債或創業板融資
中金：規範影子銀行為中國貨幣政策放鬆提供空間
滬綜指收跌至五個月新低
資產餘額達1.6萬億的銀行應披露全球系統重要性評估指標-\-\銀監會
中國2012年GDP增速最終確認為7.7%-\-\國家統計局
保險資金入市能否緩解中國股市的貧血症？
上海自貿區部分業務允許外資獨資

日本財經
日本10年期國債收益率升至0.700%
日本中小企業信心指數6年半來首次轉正
2013年外國投資者日股增持金額突破15萬億日元
收評：日經指數新年首次收漲 收復16000點關口
日本領低保人數達216.4萬 升至歷史新高
詳訊：日本大型銀行討論與韓、泰ATM聯網

期貨市場
金價跌勢擴大 受美聯儲會議紀要影響
原油期貨下跌 受成品油需求疲軟拖累
美聯儲會議紀要公佈後，黃金期貨跌勢擴大
原油期貨下跌，受成品油需求疲軟拖累
全球金市：金價連跌兩日後持穩，關注美國經濟資料
白糖收創近四年新低 供應壓力沉重糖企成本線全面告破

匯市
美元在美聯儲會議紀要發佈後走高
路透調查：美元今年料走升，歐元和日圓恐墊底
加拿大匯市：加元兌美元觸及2010年5月以來最低，連跌第三日
更新版 1-《全球匯市》美元在美聯儲會議記錄公佈後守住漲幅
《全球匯市》美元觸及七周高點，關注歐洲央行會議和中國通脹資料
拉美匯市：拉美貨幣下跌，美資料搶眼及美聯儲會議紀錄引發擔憂
美元守住漲幅 美聯儲會議記錄顯示穩步縮減購債計畫
人民幣收平 市場做多情緒不減短期或再創新高
馬年展望：人民幣匯率跨入“5”時代 曲線開放資本帳戶成亮點

商業訊息
達能起訴恒天然
Bed Bath & Beyond第三財季利潤升1.9%
CES／英特爾展出一「張」最小雙核心電腦　SD卡大小
LinkedIn改變職場社交
Macy's將裁減1.4%的員工
中國包子:慶豐難破瓶頸 狗不理太貴消費者不理
CES趣產品：華為的智能路由與遊戲機
投行觀點：法國興業銀行給予摩根士丹利 初始評級為持有，目標價32.7美元
英特爾向可佩戴設備市場積極轉向
雅虎CEO在美國電子展上推系列新品
H&M與恒隆地產簽訂租約 明年中進駐銅鑼灣建全球旗艦店
獨家：摩根大通金屬期貨經紀業務待售-消息人士
網遊開發商港股午盤紛紛大漲 因阿裡巴巴集團將推出手機遊戲平臺
（更正）“危險遊戲”：騰訊押注移動遊戲
索尼將利用雲技術提供PS4遊戲服務
Facebook收購印度初創公司Little Eye Labs
新華聯投資馬來西亞和韓國房地產項目
歐萊雅將把卡尼爾品牌撤出中國市場
阿裡巴巴將推手機遊戲服務
索尼將於今夏推出遊戲雲服務
中國解除遊戲機銷售禁令 任天堂股價大漲
中國電信和中國聯通下調iPhone套餐價
梅西百貨將裁減1.4%的員工
融創中國預計今年銷售額增加19%
中國科技公司蓬勃發展催生新科技園區
三星承壓日重
IBM超級計算機沃森大規模商用仍長路漫漫
雅虎在消費電子展上宣佈向媒體進軍
鐵獅門掘金中國市場
中國比特幣交易所試圖繞開央行封鎖
是否分拆董事長和CEO職位讓摩根大通頭疼
淘寶禁售比特幣等虛擬貨幣
摩根大通聘辛格為該行亞太監管戰略主管
松下高管對與韓企打平板電視價格戰表示反省
日本高模擬老年人軟食受到海內外歡迎
中國淘寶將禁售比特幣及相關產品
“東風”難救“標致”命？
中國綠地斥巨資買下倫敦啤酒廠地塊
摩根大通因麥道夫案收巨額罰單
被黑莓起訴侵權的iPhone手機殼

杜氏數學 國際官方網站 http://www.hermantomath.com
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo