數學中的field指的是某種代數結構.他是群(group)跟環(ring)概念的延伸.

所以先講群比較簡單

https://i.imgur.com/gnumzPe.png

群是在一個集合內賦予他運算.會滿足三個原則 1-結合律2-單位元素 3-反元素

最簡單的例子比如x^4=1的解1,-1,i,-i在乘法下就是群.你可以動手畫個4x4表格看看

並觀察,在對角線上下有對稱性,把這種對群內都滿足a*b=b*a稱為交換群(abelian)

note:不可交換群的標準範例Dihedral Groups.有興趣可谷歌 .接著

把10以下跟10互質的數字找出來有: 1,3,7,9 在 mod10 的乘法下也會形成群,稱U10
https://i.imgur.com/R4ylCGK.png

有沒發現上面這個表格跟你之前畫的很像呢?這種很像,用數學語言說法,叫做同構

(isomorphic),事實上,這兩個都叫做循環群cyclic group,顧名思義就是這個群可以

僅用一個元素並對自己一直做運算去生成,而這元素就稱為生成子(generator)

比如用i去乘法自己四次.就是你的表格 或用 3去乘法自己四次(mod 10).形成U10

事實上這兩種群都跟Z_4同構.

有個有趣的問題,n在那些值時.使Un是循環群呢? 高斯給了答案:

https://i.imgur.com/YjbLpA6.png

研究群的主題很多,比如subgroup/permutation/homomorphism/automorphism/

coset/factor group/simple group 等等.

再來對 環+體 做個定義:
https://i.imgur.com/jEggFwq.png

簡言之就是這個群他本身加法下可交換.成為了abelian.並且乘法下有結合律跟分配律的

話.他就進化了.變成Ring.而體(field)就是Ring在乘法裡補上那些abelian在加法下

有的性質,在乘法下也來一套,進化成最完美的情況.也就是加入:

乘法單元+乘法反元素+乘法交換律.

總結一下體(field)滿足在加法與乘法下有:

結合律: (a*b)*c = a*(b*c)

交換律: a*b=b*a

單位元素: 存在e使a*e=e*a=a {若*是加法則e=0,反之若*是乘法則e=1}

反元素: 對任意非0的a.存在b使a*b=b*a = e {類上有a+(-a) = 0 或axa^-1 = 1}

最後補上分配律.大功告成


要問-那體的樣子是怎樣?就像上述.在加法表跟乘法表下有雙abelian的樣子.

最早發現有限體內元素個數是p^n的有兩位(p is prime)分別是Gauss跟Galois,為了紀念

Galois所發現Field.後世都簡稱GF(p^n).而n=2或以上都是用factor poly-ring去切出來的.

想知道的話.歡迎進入抽象代數的世界.

而n=1就簡單多了.就是上面說的Up.比如把U3,U5,U7,U11....分別列出加法跟乘法表.

你就得到Field了

補充-下面是GF(9)在乘法下的樣子.(加法easy就不列)
https://i.imgur.com/Zc5OvDA.png

至於物理中的場?我想你可先把微積分+工程數學中的向量分析看看.就會瞭.

版上高手頗多.這就不介紹.












--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.193.47.189 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1592147492.A.32F.html
※ 編輯: coolbetter33 (123.193.47.189 臺灣), 06/15/2020 00:28:19