最近再次研讀有關機率的獨立事件,

突然產生了以前一直有過的疑惑...

就是為何P(A∩B)=P(A)*P(B)就能宣稱A與B獨立??

我先舉兩個獨立的例子說明...

Ex.1 擲骰子,
以A表示出現1,2的事件, B表示出現奇數的事件,
則
P(A)=2/6
P(B)=3/6

P(A∩B)=1/6

Ex.2
若A表示第一次出現1,2的事件,
B表示第二次次出現奇數的事件,
則
P(A)=2/6
P(B)=3/6

P(A∩B) = 2/6*3/6 = 6/36


在上述兩例中我們均宣稱A,B獨立, 主要在於其均滿足獨立性質的判定..
但這兩例的差異在於,
Ex.2中在計算P(A∩B)時, 是以乘法連結事件A,B的機率;
但在Ex.1中的計算, 卻是用集合的概念得到答案...

雖然值相同, 但計算的過程卻不同...


在我的觀念中,
就字面上來解釋, 所謂獨立, 不就是兩者的產生不互相影響嗎?
那應該是Ex.2才符合獨立的精神,
前者Ex.1是在同一個樣本空間下考量後, "所得的巧合".


不然, 如果我們把兩例的獨立結果用語言表示, 就會得到一個有點奇怪的敘述:

Ex.2 ....第一次擲出1,2與第二次擲出1,3,5, 兩者是獨立的事件.

Ex.1 ....第一次擲出1,2與第一次擲出1,3,5 兩者也是獨立事件....?!


更正確來說,
其實我的不滿是來自於一個獨立性的判定,
怎麼能用一個計算結果作為佐證?(萬一這計算結果在部分條件下僅是巧合?)


我較能接受的直觀敘述是
"事件A的發生並不影響事件B的發生"且"事件B的發生亦不影響事件A的發生"
則我們宣稱A,B兩事件獨立!

但是當將其轉為條件機率的計算驗證時,
卻又無法證明這樣的計算結果難保沒有部分巧合的存在!

或是說我這問題的本質, 在於當把事件機率化, 形成了比值, 造成了失真的結果?
所以當利用這機率比值來做證明時, 有了一點不可靠的感覺??




不知道這樣的疑惑有沒有前輩能開解一下的, 萬分感謝!



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