[爆卦]特徵方程式工數是什麼?優點缺點精華區懶人包

為什麼這篇特徵方程式工數鄉民發文收入到精華區:因為在特徵方程式工數這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者tanaka0826 (田中鬪莉王)看板Math標題[工數] 微分方程的特徵方程式與階數時間Fr...

特徵方程式工數 在 Oscar Lee 李臻 Instagram 的最佳貼文

2020-04-28 08:56:53

反面數據同樣重要 作者:李 臻 (Oscar Lee) 2019年12月14日刊於《信報》 STEM教育(科學、科技、工程、數學)近年大受家長歡迎,特別是AI(人工智能)及Big Data(大數據)這些詞彙,更好像如果孩子不懂就不能在未來世界生存似的。為此小弟去找了一間在電腦課教授人工智能的中學...



我在寫工數題目時,遇到下列一題:

Q:有一個常係數齊次O.D.E.之一組解為:

cosX * (X^3)

則此O.D.E.之最小階數為?


而他的答案是如下的:

特徵方程式為( (λ^2 ) + 1 )^4 = 0 , 即 8 階。

我想問:

其實我在解齊次解時知道說:

y" + y'- 2y = 0 的特性方程式(characteristic equation)會寫成

λ^2 + λ - 2 = 0 再下去求解,但是知其然不知其所以然...

為什麼能這樣代呢?

還有λ的意義?(還是說純粹是求解用的?)

另外則是cosX * X^3 為什麼可以化成( (λ^2 ) + 1 )^4 ?

還有階數是不是看λ的次方?

感謝板友們的幫忙Orz

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◆ From: 122.117.20.246
※ 編輯: tanaka0826 來自: 122.117.20.246 (08/19 01:39)
jacky7987 :有cosx 代表解釋 正負i n次重根的一般解是 08/19 01:39
jacky7987 :(c_1+c_2x+...+c_{n-1}x^{n-1})e^{ix} 08/19 01:39
jacky7987 : 是 08/19 01:40
jacky7987 :所以至少是4次重根 08/19 01:40
jacky7987 :所以至少是4階ODE 08/19 01:40
tanaka0826 :從哪裡能看出四次重根??? 08/19 01:43
mihimaru16 :從X^3 可看出它與前面的解線性相依所以須對原解作偏 08/19 01:48
mihimaru16 :微分計算也就是補X 08/19 01:48
tanaka0826 :所以意思是說X^4偏微會變X^3的關係? 08/19 01:50
tanaka0826 :那麼( (λ^2 ) + 1 )^4 = 0 的意思是? 08/19 01:52
jacky7987 :第四行原來打錯是8接 08/19 11:22
jacky7987 :先從簡單的開始好了 08/19 11:22
jacky7987 :假設你的特徵多項式是(x-3)^2=0 那麼你的y_c將會是 08/19 11:22
jacky7987 :c_1*e^{3x}+c_2*xe^{3x}=(c_1+c_2x)e^{3x} 08/19 11:23
jacky7987 :這應該沒有問題吧@@ 08/19 11:23
jacky7987 :那反過來 你要有xe^{3x}是不是至少要有(x-3)^2 08/19 11:23
jacky7987 :所以特徵多項是要被(x-3)^2整除 那最小的就是(x-3)^2 08/19 11:24
jacky7987 :所以只少是個二階ODE 08/19 11:24
jacky7987 :回到你的題目 你現在要生出cos{x}*x^3 08/19 11:24
jacky7987 :要生出cos{x} 特徵多項式必須是(x^2+1) 08/19 11:25
jacky7987 :要生出x^3必須要重根4次 所以特徵多項式要被 08/19 11:25
jacky7987 :(x^2+1)^4整除 所以至少是8階ODE 08/19 11:26
tanaka0826 :感謝jacky7987的解釋 我看懂了 08/19 13:27
jacky7987 :剛好是我會的了拉..其他ODE PDE都不會(哀桑 08/19 13:53
tanaka0826 :還沒學P.D.E.(遠目...連Laplace都還沒開始唸... 08/19 14:59

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