用深度神經網路求解「薛丁格方程式」，AI 開啟量子化學新未來

作者 雷鋒網 | 發布日期 2021 年 01 月 02 日 0:00 |

19 世紀末，量子力學的提出為解釋微觀物質世界打開了一扇大門，徹底改變了人類對物質結構及相互作用的理解。已有實驗證明，量子力學解釋了許多被預言、無法直接想像的現象。

由此，人們也形成了一種既定印象，所有難以理解的問題都可以透過求解量子力學方程式來解決。

但事實上能夠精確求解方程式的體系少之又少。

薛丁格方程式是量子力學的基本方程式，即便已經提出七十多年，它的氫原子求解還是很困難，超過兩個電子的氫原子便很難保證精確度。

不過，多年來科學家們一直在努力克服這一難題。

最近，來自柏林自由大學（Freie Universität Berlin） 的科學團隊取得了突破性進展，他們發表的一篇名為《利用深度神經網路解電子薛丁格方程式》的論文，登上《Nature Chemistry》子刊。

論文明確指出：利用人工智慧求解薛丁格方程式基態解，達到了前所未有的準確度和運算效率。該人工智慧即為深度神經網路（Deep-neural-network），他們將其命名為 PauliNet。

在介紹它之前，我們先來簡單了解薛丁格方程式。

什麼是薛丁格方程式？

薛丁格方程式（Schrödinger Equation），是量子力學中的一個基本方程式。又稱薛丁格波動方程式（Schrödinger Wave Equation），它的命名來自一位名為埃爾溫·薛丁格（Erwin Schrödinger）的奧地利物理學家。

Erwin 曾在 1933 年獲得諾貝爾物理學獎，是量子力學奠基人之一。他在 1926 年發表的量子波形開創性論文中，首次提出了薛丁格方程式。它是一個非相對論的波動方程式，反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律。

具體來說，將物質波的概念和波動方程式相結合建立二階偏微分方程式，以描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛丁格方程式，透過「解方程式」可得到波函數的具體形式以及對應的能量，從而了解微觀系統的性質。

薛丁格方程式在量子力學的地位，類似牛頓運動定律在經典力學的地位，在物理、化學、材料科學等多領域都有廣泛應用價值。

比如，應用量子力學的基本原理和方法研究化學問題已形成「量子化學」基礎學科，研究範圍包括分子的結構、分子結構與性能之間的關係；分子與分子之間的相互碰撞、相互作用等。

也就是說，在量子化學，透過求解薛丁格方程式可以用來預測出分子的化學和物理性質。

波函數（Wave Function）是求解薛丁格方程式的關鍵，在每個空間位置和時間都定義一個物理系統，並描述系統隨時間的變化，如波粒二象性。同時還能說明這些波如何受外力或影響發生改變。

以下透過氫原子求解可得到正確的波函數。

不過，波函數是高維實體，使捕獲特定編碼電子相互影響的頻譜變得異常困難。

目前在量子化學領域，很多方法都證實無法解決這難題。如利用數學方法獲得特定分子的能量，會限制預測的精確度；使用大量簡單的數學構造塊表示波函數，無法使用少數原子進行計算等。

在此背景下，柏林自由大學科學團隊提出了一種有效的應對方案。團隊成員簡‧赫爾曼（Jan Hermann）稱，到目前為止，離群值（Outlier）是最經濟有效的密度泛函理論（Density functional theory ，一種研究多電子體系電子結構的方法）。相比之下，他們的方法可能更成功，因在可接受計算成本下提供前所未有的精確度。

PauliNet：物理屬性引入 AI 神經網路
Hermann 所說的方法稱為量子蒙地卡羅法。

論文顯示，量子蒙地卡羅（Quantum Monte Carlo）法提供可能的解決方案：對大分子來說，可縮放和並行化，且波函數的精確性只受 Ansatz 靈活性的限制。

具體來說，團隊設計一個深層神經網路表示電子波函數，這是一種全新方法。PauliNet 有當成基準內建的多參考 Hartree-Fock 解決方案，結合有效波函數的物理特性，並使用變分量子蒙地卡洛訓練。

弗蘭克‧諾（Frank Noé）教授解釋：「不同於簡單標準的數學公式求解波函數，我們設計的人工神經網路能夠學習電子如何圍繞原子核定位的複雜模式。」

電子波函數的獨特特徵是反對稱性。當兩個電子交換時，波函數必須改變符號。我們必須將這種特性構建到神經網路體系結構才能工作。

這類似包立不相容原理（Pauli’s Exclusion Principle），因此研究人員將該神經網路體系命名為「PauliNet」。

除了包立不相容原理，電子波函數還具有其他基本物理特性。PauliNet 成功之處不僅在於利用 AI 訓練數據，還在將這些物理屬性全部整合到深度神經網路。

對此，FrankNoé 還特意強調說：

「將基本物理學納入 AI 至關重要，因為它能夠做出有意義的預測，這是科學家可以為 AI 做出有實質性貢獻的地方，也是我們關注的重點。」

實驗結果：高精確度、高效率

PauliNet 對電子薛丁格方程式深入學習的核心方法是波函數 Ansatz，它結合了電子波函數斯萊特行列式（Slater Determinants），多行列式展開（Multi-Determinant Expansion），Jastro 因子（Jastrow Factor），回流變換（backflow transformation,），尖點條件（Cusp Conditions）以及能夠編碼異質分子系統中電子運動複雜特徵的深層神經網路。如下圖：

論文中，研究人員將 PauliNet 與 SD-VMC（singledeterminant variational，標準單行列式變分蒙地卡羅）、SD-DMC（singledeterminant diffusion，標準單行列式擴散蒙地卡羅）和 DeepWF 進行比較。

實驗結果顯示，在氫分子（H_2）、氫化鋰（LiH）、鈹（Be）以及硼（B）和線性氫鏈 H_10 五種基態能量的對比下，PauliNe 相較於 SD-VMC、SD-DMC 以及 DeepWF 均表現出更高的精準度。

同時論文中還表示，與專業的量子化學方法相比──處理環丁二烯過渡態能量，其準確性達到一致性的同時，也能夠保持較高的計算效率。

開啟「量子化學」新未來

需要說明的是，該項研究屬於一項基礎性研究。

也就是說，它在真正應用到工業場景之前，還有很多挑戰需要克服。不過研究人員也表示，它為長久以來困擾分子和材料科學的難題提供了一種新的可能性和解決思路。

此外，求解薛丁格方程式在量子化學領域的應用非常廣泛。從電腦視覺到材料科學，它將會帶來人類無法想像的科學進步。雖然這項革命性創新方法離落地應用還有很長的一段路要走，但它出現並活躍在科學世界已足以令人興奮。

如 Frank Noé 教授所說：「相信它可以極大地影響量子化學的未來。」

附圖：▲ Ψ 表示波函數。

資料來源：https://technews.tw/2021/01/02/schrodinger-equation-ai/?fbclid=IwAR340MNmOkOxUQERLf4u3SK0Um6VQVBpvEkV_DxyxIIcUv8IP88btuXNJ6U

【一起來寫】#鬼滅之刃的文化導覽（一）：鬼的起源、鬼退治物語的敘事原型 // 鄭雋立 👹
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由漫畫家吾峠呼世晴創作、ufotable公司製作的知名動畫作品《#鬼滅之刃》系列在2019年因為動畫版第一季的成功，在全球引起熱烈迴響。相信讀者目前已對主題曲朗朗上口、也多少知道主角炭治郎等人服裝造型藏有不少秘密，近日電影版『鬼滅之刃劇場版：#無限列車篇』在日本上映後佳評如潮，上映三日票房突破46億日幣，超越《天氣之子》。偽學術將藉此良機推出《鬼滅之刃》相關連載，帶領各位讀者回顧日本文史面面觀。
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■ #鬼的起源：#平安時代對鬼的詮釋與流變
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在已完結的漫畫原作中，作者曾清楚畫出本作大魔王「鬼舞辻無慘」鬼化前，身穿平安時代貴族服裝的形象，而本文考察出的「鬼」也確實誕生在平安時代。日本在發明假名前，文化傳遞上相當仰賴且沿用漢字，東漢許慎《說文解字》：「人所歸為鬼」。原始漢字「鬼」在中文、英語最直接對應的解釋理當是亡魂／ghost，但亡靈在日本語則另以「幽靈」稱之（Zack Davisson，2015）。
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據西元931年-938年編纂、史上最早的分類體漢和辭典《倭名類聚鈔》記述，日本語對鬼的詮釋有「おに」（鬼）、「もの／もののけ」（物／物之怪）兩種說法，前者肉眼看不見但能感受實體；後者則為沒有明確型態，僅能感受到氣息的 #靈異存在（多田克已，2009），可直接反映平安時代起始前或初期的普遍觀點，與現今日本大眾解讀為 #兇惡的活物 顯然不同。
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■ #佛教系統的鬼
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但文化是會變異的，由於遣唐使 帶回兵法、曆道、陰陽道等大量直接來自中國的文物，同時包含漢傳佛典，佛法普及後「佛教系統的鬼」（惡鬼、夜叉、阿修羅、羅剎…等）兇惡描述對大眾影響甚鉅。由於各類口語轉述、抄本將印度、中國等地與本地混同，直到收錄各國民間故事的《今昔物語》在平安晚期成書，大眾對鬼的印象更逐漸複雜化（多田克已，2009）。
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另外，佛教雖然早在飛鳥、奈良時代已透過百濟納貢而形成早期日本佛教，卻也有著政教混同、流於抄寫與唸咒的 #形式主義 弊病（聖嚴法師，1993），故早期日本只將佛視為神道教的其中一種神祇，影響力不高。因此，兩位隨遣唐使渡海取經、開創本土密教的高僧 #最澄（天台宗）、 #空海（真言宗），除佛法成就斐然外，引進文獻對鬼的定義造成流變可說是功不可沒。
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■ #陰陽道裡的鬼
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另外，本土信仰陰陽道對漢代志怪文獻《神異經》的開創性誤讀也在日本境內產生了「鬼門位於東北方」的概念（川合章子，2002），該書星相紀載云：「東北方位有鬼星，其門題字為鬼門」與十二地支（丑、寅／牛、虎）的對應，加上對野蠻人的恐懼，導致民間普遍將鬼描繪為「#頭長牛角、#身披虎皮」的形象。民俗學者小松和彥在《カラー版 重ね地図で読み解く京都の「魔界」》指出：道教的「#牛頭馬面」也是影響鬼形象的因素（見圖二，歌川芳艷《大江山酒吞退治》）。
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陰陽師與鬼的纏鬥也是民間故事的常見主題，平安京北邊的「#貴船神社」據信曾有女子因丈夫變心，透過駭人的「#丑刻參拜」化身為復仇厲鬼。這則傳說從平安晚期的《今昔物語集》到鐮倉初期的《平家物語》有多種變體可循。無論能樂謠曲《鐵輪》與小說家夢枕模的《陰陽師》中，鬼女最後都被陰陽師 #安倍晴明 制服。
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歷經種種文化變異，現代日本出版品已普遍將鬼歸類為「妖怪」的其中一種，泛指「作惡的活物」。頭上有角、嘴有獠牙、身穿虎皮、力大無窮、生食人肉…可說是融合了先民恐懼野蠻人而產生的他者化 想像與各方宗教傳說，最後定型於平安時代的形象。文化語境的斷層造成美麗的誤會，卻也豐饒了庶民精神生活，鬼正是如此的存在、文化的混血兒。
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■ #鬼退治物語的原型：#桃太郎、#物語文學
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在西方神話學與文學等領域，普遍有沿用 分析心理學理論，將故事解讀為原型（archtype）的說法。存在於人類集體潛意識裡的原型像某種公式，與工程學原型／物理模組功能相仿，會在歷史上不斷重複相似的現象。日本特有的「#鬼退治物語」（おにたいじものがたり，onitaijimonogatari，即英雄討罰惡鬼的故事）敘事原型，諸如《桃太郎》、《大江山酒吞退治》…等，由於桃太郎是流傳最早、深植人心的口述傳說文本，二戰期間的愛國宣傳動畫也經常使用來作為青少年的學習典範（見圖三，《桃太郎──海の神兵》）。
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根據陳太乙（2010）的說法，青少年冒險故事最明確的經典模式為：「人物Ａ→啟蒙旅行（voyage initiatique）→人物Ａ’」，坎伯採納了心理學個體化歷程的觀念，將其賦予了極為詩意化的名稱：「#英雄之旅」。
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與敘事原型相仿的研究，尚可參照俄國文學與民俗研究家普羅普（Владимир Пропп）以俄羅斯民間故事為基礎寫出《故事形態學》、比較神話學家坎伯（Joseph Campbell）暢銷名作《千面英雄》都是實用的研究書目。電影研究者如戴錦華《電影批評》（2015）則援引結構主義語言學佐證，整理出編劇的「敘事學」，裡面包含沿用自普羅普《俄羅斯民間故事研究》的 #角色行動範疇：壞人、施惠者、幫手、公主或寶物等。上述各領域的研究，都證明了任何型態的故事都有類似公式的存在。
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那麼我們不禁要問：相較於華人與西洋，大和民族的物語文學有何獨特之處？在台日兩地文化頻繁交流的現今，現代日本語的「物語」（ものがたり，monogatari）幾乎等同「故事」，已是默認的文化共識，然而在《源氏物語》等物語文學蓬勃發展的平安時代，物語尚具有 #神祕主義 的色彩。
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我們在前半已提及平安早期對「もの，mono／もののけ，mononoke」（物／物之怪）虛幻性的定義，現代日本學界，民俗學家折口信夫認為：「もの代表的是靈。像神，但位階較低的各種精靈」、哲學家梅原猛則進一步提出：「『ものがたり』是『もの』所說的話，是『もの』談論『もの』的內容」。
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心理學家 #河合隼雄（2016）在《活在故事裡──現在即過去、過去即現在》整合兩位學者的觀點，輔以語言學佐證，證實了物語不但是故事，更涉及了民族集體心理與靈魂的層次，因此物語的敘事，即為靈性的言說。換言之，物語的本質比起故事，是更接近靈魂與神祕世界的行為，即「#以靈魂為基礎的內在敘事」。
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■ #鬼滅的國族情感動員
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《鬼滅》的劇情以鬼退治物語為架構，呼應了存於大和文明先民拓荒建國的正邪對立觀念與神道信仰，喚醒了集體對遠古傳說的渴慕。既符合物語文學闡述傳奇與心靈的特性，更不偏不倚命中青少年對英雄之旅的浪漫想像。縱使動畫版明顯有成功的商業操作，也無可否認原作的敘事原型與物語性能產生強大的情感動員，這恐怕是吾峠呼世晴老師始料未及的。
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英雄之旅勢必有魅力十足的惡徒撞擊出戲劇張力，由於現今「鬼」在大眾文化已是常態被歸類為反派的存在，而本作明確描寫：由人轉鬼、階級嚴明（十二鬼月，上下弦）且高度組織化的邪惡勢力已經幾乎是現代人的認知，每個鬼更如同希臘諸神般充滿人性，各自有著悲慘的過去與對永生的渴望，這些要素開創了鬼退治敘事的新格局，敵我雙方的各種苦難又恰好滿足了亞里斯多德以來對悲劇淨罪作用（Ktharsis）的渴求（陳中梅，2001）。
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■ #日本最早鬼退治敘事
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日本史上最早成形的鬼退治敘事，是流傳於岡山縣、岡山市周邊的吉備津彥命（孝靈天皇之子）討伐惡鬼「溫羅」的傳說，民間信仰普遍視為《桃太郎》的原型。但也因為史書對吉備津彥命著墨甚少，信史的匱乏導致史家對桃太郎=吉備津彥的推論仍有所保留。至於溫羅的真實身分，由於該地遺跡的朝鮮式建築 等諸多證據，人類學領域普遍推測是朝鮮半島渡海而來、擅鑄鐵的異邦人（孫嘉寧，2018）。
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編劇家阿村禮子與插畫家夏目尚吾合著《吉備津彦と温羅 : おかやま桃太郎ものがたり》則融合了傳說、史料，重構了更完整、串起傳說與史實的桃太郎，除了帶入 #天皇征服部落的政治史觀，更寫出溫暖動人的新結局：桃太郎在夢中得知溫羅實為流亡至當地的百濟國王子，悔恨不已，於是建立神社祭祀溫羅，並請溫羅遺孀阿曾媛擔任巫女。同時將自己名字依地名改為吉備津彥命，誓言守護人民（見圖四）。
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現在的岡山地區因為遍布 #古墳時代 的遺跡、供奉吉備津彥命與溫羅的 #神社，被視為重要文化遺產，地方政府推廣觀光與文化普及的資訊，到處可見桃太郎與鬼的文化符號，日本政府當局對文化產業的重視可見一斑，值得台灣方面借鑑。岡山市政府列為官方推行觀光刊物的《吉備津彦と温羅 : おかやま桃太郎ものがたり》，電子全書可至官網免費下載（有正體中文版！），網址：https://momotaro-ura.jp/story2/

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#古墳時代 的某些遺跡也跟往後連載的內容有關，敬請期待！
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▲ #參考文獻：
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1.Zack Davisson.(2015).《Yurei: Japanese Ghost》，Chin Music Press Inc.，Seattle

2.多田克已著、歐凱寧譯（2009）．《日本神妖博物誌》，台北市：商周出版（原典為1990年出版）

3.聖嚴法師（1993）〈日韓佛教史略〉《法鼓全集》，台北市：財團法人法鼓山文教基金會（數位線上電子版，2020.09.25瀏覽，網址：http://ddc.shengyen.org/）

4.川合章子著、簡美娟譯（2002）《漫畫陰陽道與陰陽師》，台北市：台灣先智出版（原典為2001年於日本出版）

5.小松和彥（2019）《カラー版 重ね地図で読み解く京都の「魔界」》，東京都：宝島社，P.45

6.河合隼雄著、河合俊雄編、洪逸慧譯（2019）在《活在故事裡──現在即過去、過去即現在》台北市：心靈工坊（原典為2016於日本初版）

7.戴錦華（2015）《電影批評》（第二版），北京市：北京大學出版社

8.陳太乙（2010）〈解析普拉斯的創作世界──從『最後的巨人』到『歐赫貝奇幻地誌學』〉《追尋消失的秘境──普拉斯的世界解密手冊》，台北市：時報出版，頁10-11（普拉斯《最後的巨人》別冊贈品）

9.亞里斯多德著、陳中梅編譯（2001）《詩學》，新北市：台灣商務印書館，頁226-230（陳中梅撰寫附錄、名詞解釋部分，原典為古希臘文獻，約西元前335年成書）

10.孫嘉寧（2018）〈桃太郎昔話・温羅伝説と鳴釜神事から見る地域の「歴史の語り直し」〉，《日本文化人類学会第52回研究大会》，弘前市：弘前大学

11.阿村禮子著、夏目尚吾繪（2012）《吉備津彦と温羅 : おかやま桃太郎ものがたり : 吉備路ガイドブック》，岡山市：日本遺産『桃太郎伝説の生まれたまち おかやま』推進協議会（岡山市政府刊行物）

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👉 #可以去看看李長潔的《竈門神社 | 鬼門封、劍術與刃 | 關於炭治郎》：https://m.facebook.com/story.php?story_fbid=1604343393086613&id=208541192666847

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Calculus 微積分系列︰ https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8o2lveHTSM04WAhaGEZE7xB
適合 DSE 無讀 M1, M2，
但上左 U 之後要讀 Calculus 的同學收睇
由最 basic (中三的 level) 教到 pure maths 的 level，
現大致已有以下內容︰
(1) Concept of Differentiation 微分概念
(2) First Principle 基本原理
(3) Rule development 法則證明
(4) Trigonometric skills 三角學技術
(5) Limit 極限
(6) Sandwiches Theorem 迫近定理
(7) Leibniz Theorem 萊布尼茲定理
(8) Logarithmic differentiation 對數求導法
(9) Implicit differentiation 隱函數微分
(10) Differentiation of more than 2 variables 超過2個變數之微分
(11) Differentiation by Calculator 微分計數機功能
(12) Application of Differentiation - curve sketching 微分應用之曲線描繪
(13) Meaning of Integration 積分意義
(14) Rule of Integration 積分法則
(15) Trigonometric rule of Integration 三角積分法則
(16) Exponential, Logarithmic rule of integration 指數、對數積分法則
(17) Integration by Substitution 代換積分法
(18) Integration by Part 分部積分法
(19) Integration Skill : Partial Fraction 積分技術︰部分分式
(20) Integration by Trigonometric Substitution 三角代換積分法
(21) t-formula
(22) Reduction formula 歸約公式
(23) Limit + Summation = Integration 極限 + 連加 = 積分
(24) Application of Integration – Area 積分應用之求面積
(25) Application of Integration – Volume 積分應用之求體積
(26) Application of Integration – Length of curve 積分應用之求曲線長度
(27) Application of Integration – Surface area 積分應用之求表面積
(28) L’ Hospital rule 洛必達定理
(29) Fundamental Theorem of Integral Calculus 微積分基礎原理
(30) Calculus on Physics 微積分於物理上的應用
(31) Calculus on Economics 微積分於經濟上的應用
(32) Calculus on Archeology 微積分於考古學上的應用
之後不斷 updated，大家密切留意
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