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2021-06-21 09:25:40
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標準答案應該是對。
考慮兩個原子之間的位能函數。請拿出一張紙照著畫：
1) 距離接近零的時候，位能衝往無限大
2) 位能在某個距離 r0 為極小，極小值小於零
3) 距離接近無限大，位能趨近零
總能為極小的時候，原子間距就是r0。
總能比極小值大一點的時候，原子可以在r0附近振動，但平均位置還是差不多r0。
總能變比較大的時候，原子可以跑的範圍變大了。對照你剛剛畫的位能函數，看得
出來這時原子會比較喜歡往外跑。所以平均間距就大於r0了。這是熱膨脹的原理。
熱膨脹歸因於裡外兩個方向不對稱。所以只要看不對稱的程度，就大略知道熱膨脹
的多寡。
問題：把原子擺在r0，然後給予動能E。它最遠可以往外跑多遠？往裡又跑多遠？
如果E不大，原子當然也跑不遠，所以把位能函數在r0附近展開就好：
V(r) ~ V0 + (r - r0)^2 - (r - r0)^3 + ...
當E真的非常小的時候，V(r) 看起來越來越像拋物線，裡外對稱。同樣的總能，往
裡往外的位移一樣大。
當E開始變大的時候，三次方項開始變重要了，才會外面比裡面多。
溫度越低，動能越小，三次方項越不重要，往裡往外就越對稱。所以熱膨脹係數會
隨著溫度變小乃至於趨近零。
至於你前面修文說的「溫度越低原子越不振動」，光看這個最多只能解釋固體受熱
會膨脹，不能解釋膨脹係數怎麼隨溫度改變。
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不過，把絕對零度和古典模型放在一起，我總覺得怕怕的...
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◆ From: 123.110.184.241
推 gnsh:感謝!解釋的非常清楚! 豁然開朗 12/02 19:36
推 sunev:厲害~ 12/02 20:24
推 alice456:好棒的解釋 12/03 09:02
推 Keelungman:GJ! 12/03 23:17
推 PhySeraph:好 好 好 12/04 23:03
推 DDMO:偏離平衡的話效果最強的應該是線性項吧..... 12/05 04:36
r0是極小喔，一次微分是零。推 yw1002:self energy? 12/05 04:42
推 yw1002:講非平衡態就不能不提到Boltzmann equation了 12/05 05:48
→ yw1002:傳統熱動認為溫度(temperature gradient)是不平衡的來源 12/05 05:49
→ yw1002:但是Quantum Criticality卻證實了Quantum Gradient造成臨界 12/05 05:49
→ yw1002:相變的可能....所以拿Landau連續相變跟重整(QED perturbati 12/05 05:50
→ yw1002:divergence)......那個中間的critical phenomena要注意 12/05 05:51
推 yw1002:我想把歷史發展的脈絡弄清楚，愛因斯坦說物理基本單位長度 12/05 05:56
→ yw1002:空間的dimension要先有個基本reference...在R^n線性座標系 12/05 05:56
→ yw1002:這還只是一維的情形，而一維的曲線要考慮共變covariant 12/05 05:57
→ yw1002:derivative就已經有點難了，又要考慮時間加入遵守Lorentz 12/05 05:58
→ yw1002:invariance.....甚至後來又是拓普N維manifold的共變！ 12/05 05:58
→ yw1002:在N manifold的surface-volume的物理量類比到傳統體積怎麼 12/05 05:59
→ yw1002:measure? 12/05 05:59
→ yw1002:而Einstein自己又假設光速是基本參考constant等於把時空 12/05 06:00
→ yw1002:又blur模糊掉了......XD 12/05 06:00
→ yw1002:似乎愛因斯坦自己也還沒搞懂.... 12/05 06:01
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/05 17:22)推 DDMO:對 但是我指的是E變大的情況,這時候離平衡點距離並不夠近 12/07 04:39
推 DDMO:如果要對其他點做泰特展開,會出現線性項 12/07 04:43
我在做的只是解
E = V(r) - V(r0)
然後把 V(r) 用級數代進去而已。E 比較大的話，級數展開多幾項就是了，
沒有對其他點展開的道理。
推 DDMO:因為以我的感覺,熱膨脹時粒子的位置變遠主要是由位能低點變遠 12/07 04:58
→ DDMO:導致,而跟位能的對稱性的關係沒那麼大 12/07 05:00
推 DDMO:一樣的情況,考慮放一顆粒子到前後各一顆粒子的位能中,能量加 12/07 05:12
→ DDMO:大,基本上動能到某程度後也只會出現平均值在兩顆粒子中間 12/07 05:13
當然跟對稱性有絕大的關係。不然為什麼是熱膨脹，不是熱收縮？或者應該說，
位能對稱的話兩個都不會有。
不然你這樣看嘛。把一顆粒子丟進任何對稱位能井，然後看你是要用 Boltzman
distribution 真的下去算平均位置，還是像我上面那樣隨便揮揮手。反正我跟
你保證，你絕對看不到平均位置隨溫度改變。
就算你堅持要對平均位置展開就會自動有線性項，你也要先把平均位置帶離r0。
這個非要不對稱性不可。
就像是我說沒有蛋要先找母雞來下蛋，你說不用，只要有蛋就可以生雞來生蛋。
可是我解釋了母雞滿地跑，你卻沒解釋第一顆蛋是哪裡變出來的。
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/07 17:16)
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/07 17:26)
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/07 18:28)
推 DDMO:要解釋還是可以的,只是不應把另一顆粒子的位能考慮成固定的 12/07 18:53
r 是兩個粒子間的距離。我沒有固定任何一顆粒子。→ DDMO:也能夠把這樣的固體想成一條粒子鏈,中間有彈簧彼此連接 12/07 18:55
→ DDMO:然後粒子在平衡點小幅度震動;只要對其中一顆粒子加溫,它就能 12/07 18:56
→ DDMO: 有較大的幅度震動,此時因為可以離旁邊粒子較近,便有能力推動 12/07 18:57
推 DDMO:兩邊的粒子往兩旁移動。因為我覺得你的說法比較適用固體的邊 12/07 19:00
→ DDMO:緣，但是如果現在有"非常"長的固體，加熱的話，粒子間的平均 12/07 19:02
→ DDMO:間距仍然會變寬的。至於線性項那邊其實只是第一感,只是有點懷 12/07 19:03
別忘了，有推就有拉。如果位能函數對極小值對稱，往左和往右的運動也是對稱的，
平均位置還是不會變。
你說的是 <(r - r0)^2> 會變大。
→ DDMO:疑小震幅對平衡點展開對熱膨脹的適用性,畢竟熱膨脹算是巨觀現 12/07 19:04
→ DDMO:象,視為平衡點附近的小擾動不知道會不會侷限了點 12/07 19:05
推 DDMO:或許我不該用巨觀現象這詞,應該說溫度加夠大熱膨脹關係仍成立 12/07 19:09
Classical equipartition theorem： <V> = T/2
所以其實也不必考慮動能那些有的沒的，直接拿平均位能來估算平均位置就好了。
我承認 <r^n> != <r>^n ，所以這樣估出來的平均位置不對，但是應該不至於不準。
事實上，如果你要拿這個two-body potential真的去認真算平均位置，你會發現
partition function甚至不存在。我說的本來就是很hand-wavy的東西，不能照著
拿來算，但是大方向應該是沒有錯的。
然後我也承認，以上解釋的其實只是雙原子分子中間的化學鍵長會因受熱而增加。
但是固體的熱膨脹機制完全不同嗎？我想也不至於吧。
至於熱膨脹能不能用平衡點附近的小擾動來解釋嘛：
1) 絕對零度附近的熱膨脹為什麼不可以？
2) 你不喜歡小擾動，就整個 V(r) 不要展開代進去啊。
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/07 21:45)
推 DDMO:不如你解釋一下一條無限長的粒子鏈,對某一個粒子加熱,旁邊的 12/09 00:03
→ DDMO:粒子的平均平衡位置會不會往兩側擴張好了,以我的感覺是會 12/09 00:04
→ DDMO:但是用你的模型能說明這樣的現象嗎?? 12/09 00:04
2
∞ (P_i)
考慮 H = Σ --------- + V ( x - x )
i = -∞ 2 m i i-1
然後我要求位能函數 V 滿足下列條件：
1) V(x) 在 x = x0 > 0 的地方有極小值
2) 原子有硬殼（你要的），所以 V(x) 在某個 0 < (x = a) < x0 的地方趨近無限大
3) V(x - x0) = V(-x - x0)，就是我一直在強調的對稱
- 1
一個例子是 V(x) = -----------------------
(x - x0)^2 - a^2
這個模型有聲波，你就不能說我偷偷忽略collective excitation了。
然後我們應該可以同意，絕對零度時，原子只能排成間距 x0 的長鏈吧？
令 r_i = [x_i - x_(i-1) - x0] ，就是實際間距與 x0 的差。
絕對零度時任一 <r_i> = 0。
Partition function 為：
-βΣ V(r_i)
Z = Z * ∫ (Π dr ) e
p i
= Z Z
p r
其中 Z_p 是動能那邊的。如果你只要算位置的話，就只是個會消掉的常數。
然後，如果你還沒看出來的話：
∞
Z = Π Z ;
r i = -∞ i
-β V(r_i)
Z = ∫dr e
i i
所以我根本可以直接拿雙原子分子的結果來用嘛。
1 -β V(r_i)
< r_i > = ------- ∫dr r e
Z_i i i
因為上面代換積分變數的關係，r_i 的範圍是 (-a, +a)。
也就是說，原子間距只能在 (x0 - a, x0 + a) 之間。
只要 V(r_i) 是偶函數，積分一定是零。沒有你所謂collective excitation造成
間距變大的現象。
要改變間距，V 一定要不對稱。
→ DDMO:至於考慮趨近絕對零度的情形,只要用硬球模型就行了,無論溫度 12/09 00:06
→ DDMO:怎麼降,總不可能把兩個硬球壓成一個硬球,熱膨脹係數當然趨近0 12/09 00:07
不行喔。你這樣子只說明了絕對零度時原子不會通通擠成一團而已。
考慮位能函數
V(x) = ∞ x < x0
2
or (x - x0) x > x0
就是兩個原子之間互相吸引，然後距離剩下 x0 的時候硬殼撞在一起這樣。
絕對零度時還是一條間距 x0 的長鏈。然後上面我寫的直到
1 -β V(r_i)
< r_i > = ------- ∫dr r e
Z_i i i
都還是對的，不過現在 r_i 的範圍是 (0, ∞)。
只有半邊的Gaussian不一定能做，但是我們只要把溫度拉出來就好了。
-β V(r_i) -1/2
Z = ∫dr e ~ β
i i
-β V(r_i) -1
∫ dr r e ~ β
i i
所以
1/2 -1/2
<r_i> ~ β ~ T
所以膨脹係數不但不是零，還發散到無限大去了。
其實，如果你靠硬殼在絕對零度時把原子分開，膨脹係數一定會發散。
膨脹係數零 ==> 即使你增加一點點溫度，原子的平均位置也不變。
如果你有一邊是硬殼，另一邊的位能不管長什麼樣子，原子才沒有乖乖不動的理由呢。
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/09 03:10)
推 DDMO:ok 我大致想到了你的模型要如何解釋,把加熱的粒子當成位能 12/09 02:16
→ DDMO:然後把兩側的粒子當成能量因potential的相對運動增加的動能 12/09 02:17
推 DDMO:然後把兩側的粒子當成因potential的相對運動而增加其動能 12/09 02:22
→ DDMO:這樣中間的粒子震動到靠近兩旁粒子時,就能個別當成兩個雙原子 12/09 02:22
推 DDMO:系統。我是覺得一般固體有平移對稱性,如果考慮近鄰效應的話 12/09 02:25
→ DDMO:至少應該考慮三個粒子,然後對中間粒子加熱的情況,不然離固體 12/09 02:26
→ DDMO:的差別似乎太大了點 12/09 02:26
再次強調，我剛剛打完的一大串是有聲波的無窮原子鏈喔。
不過你是在我修完之前推文的。
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/09 03:13)
推 DDMO:論述的很完整!!!多謝你願意花時間來討論這些疑惑 12/10 00:27
推 DDMO:至於硬球模型那邊我沒細想,不過既然你算了partition function 12/10 00:41
→ DDMO:那我想應該就是那樣 12/10 00:41
其實你看partition function那裡，p 和 x 根本是獨立的，
這樣就知道粒子跑再快也改變不了 <x>。
（當然，只有在這個toy model還沒被玩壞的時候才成立。）
※ 編輯: wohtp 來自: 123.110.184.241 (12/10 01:04)