為什麼這篇無限聯集鄉民發文收入到精華區：因為在無限聯集這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者hungyastyle (洪爺sytle)看板Math標題[離散] 無限卻可數?時間Sun Ap...
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2021-09-24 08:15:39
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前幾天上課老師教到幾個觀念
可數(countable)就是能夠把他一個一個數出來
+
無限大(infinity)不屬於Z (也就是此處討論的正整數不包含無限大)
若 A 為 finite set or A~Z 則稱 A is a countable set
我的問題是
1. 什麼叫做「這個集合有無限個元素，但卻可數」？？？
（比方說 Z 整數這個集合，有無限多個元素但卻可數）
+ -
2. 有理數Q，整數Z，正整數Z ，負整數Z ，分別有有限個元素還是無限個呢？
又分別是可數還是不可數集合呢？
+ -
3. 無限大有包含在Q，Z，Z，Z 中嗎？
+ +
4. 如果定義無限大不屬於 Z 這個集合，那 Z 的元素個數就是有限個了吧？
+ +
因為之前好像聽到無限大並不屬於Z ，因此 Z 個數有限個的時候
腦子就有點昏昏的...
因為一直以來都是以為正整數有無限多個阿=口=
麻煩高手協助我釐清觀念了
謝謝 ><~
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◆ From: 114.45.166.178
※ 編輯: hungyastyle 來自: 114.45.166.178 (04/14 09:48)
→ zxm20243 :countable: 有一bijection可使該集合和正整數對應 04/14 09:58
書上定義也是這個
但感覺就是很不直觀
想不透為什麼有無限個元素，卻仍然「可數」？？
→ zxm20243 :2.全部都是無限多個，四個都是可數集合 04/14 09:59
→ zxm20243 :3跟4的問法有點奇怪，我不太曉得你想問什麼XD 04/14 10:02
印象中老師說正整數是有限個元素的原因，是因為無限大沒有被包含在裡面
所以我在想那有理數，負整數，整數，有沒有包含無限大？
如果都沒有的話，那它們不就全都是有限個元素了...
（至於實數有沒有包含無限大應該不重要？因為反正連(0,1)都有無限個元素了...）
推 zxm20243 :其實第一行不太對，應該是集合中的每個元素都能找到 04/14 10:09
→ zxm20243 :唯一的正整數與其對應，這樣講好像比較OK？ 04/14 10:09
※ 編輯: hungyastyle 來自: 114.45.166.178 (04/14 10:16)推 jklkj :不知道這樣想對不對，提供一個比較直觀的想法，也請 04/14 10:20
→ jklkj :高手指正，所謂可數，是你可以定義出下一個，像正整 04/14 10:21
→ jklkj :數1的下一個就是2，可數但數不完，就是無限可數 04/14 10:22
推 suhorng :No, 實數 整數 有理數全部沒有無限大 04/14 10:26
→ suhorng :(有的書會定義extended real number system,∞不過那 04/14 10:26
→ suhorng :不太重要) 04/14 10:27
→ suhorng :所謂的可數定義成 "跟N有個bijection" 的直觀如jklkj 04/14 10:27
→ suhorng :所述, 你可以*一個一個數下去* 04/14 10:27
→ suhorng :假如是無限多個元素,雖然數不完,但是 **給定任何一個 04/14 10:28
→ suhorng :元素,我們可以保證"有限時間內"(不知多久)一定數到 04/14 10:28
→ suhorng :而且一定恰巧數到一次 04/14 10:29
→ orangecoco :整術阿 04/14 13:27
→ Vulpix :「沒有無限大」跟「不是無限大的」完全不一樣喔。 04/14 13:35
→ Vulpix :前者說的是沒有無限大這個「元素」，而後者的無限大 04/14 13:35
→ Vulpix :是用來描述這個集合的形容詞，說明集合內的元素不只 04/14 13:37
→ Vulpix :一個、不只有兩個、不只有三個…… 04/14 13:38
推 jetzake :"有限個"一定"數得完"這應該很直觀不用解釋 04/14 16:34
→ jetzake :"無限個且可數"是說"任何一個元素都可以排序" 04/14 16:35
→ jetzake :當然 這種"排序"方式不是唯一的 04/14 16:35
→ jetzake :在離散數學的討論中 定義成"和自然數可以1-1對應" 04/14 16:36
→ jetzake :算是一種比較方便通俗的作法 04/14 16:37
→ jetzake :...回題 所謂"可數的無限多個" 可以想像成"任意指定 04/14 16:38
→ jetzake :一個元素 我們都能定義它是第幾個" 04/14 16:38
→ jetzake :但"無限大"本身不能說是"第幾個" 所以不在"可數"範圍 04/14 16:39
推 znmkhxrw :不過有個不值觀的地方在於 能排"第幾個" 卻不一定能 04/14 16:39
→ znmkhxrw :由小排到大 , ex:有理數 04/14 16:40
→ jetzake :而這件事和集合本身的元素數量無關 就這樣 04/14 16:40
→ jetzake :不能從小排到大不用到有理數 整數集就可以了 04/14 16:41
→ jetzake :不過 這部份應該還是要注重在排序本身的用處才對 04/14 16:42
→ jetzake :離散延伸出去的編碼學和程式語言等等 排序都很有用 04/14 16:44
→ suhorng :(Well-ordering Principle套 R 身上也很不直觀..XD) 04/14 16:51
推 recorriendo :"排第幾個"是序數觀念 跟這裡討論的基數不一樣 04/14 16:59
→ recorriendo :"可數"就是一個名詞而已 它的定義就是和自然數可以 04/14 17:02
→ recorriendo :一一對應 原PO不需要執著於字面上的意思 04/14 17:03