※ 引述《snow3804 (snow3804)》之銘言：
: 標題: [中學] 無窮級數的收斂範圍
: 時間: Fri Feb 21 22:12:58 2014
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: http://i.imgur.com/BqhbfzZ.gif
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: 2x
: 答案要討論----=0的情況,得到x=0
: 3x+1
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: 但x=0最後還是在公比不為0的範圍內
: 就算不討論公比為0的情況也不影響答案
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: 請問有沒有題目是公比為0時的x
: 卻在公比不為0時的範圍之外
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: ◆ From: 1.164.221.4
: → bibo9901 :平移此 x 直到 0 不在區間內即可 02/21 22:19
: → snow3804 :不知道有沒有網友能提供實例,好像感覺不需要驗證=0 02/22 09:59


我先說我的結論：書上的解法是錯的。

答案是對，可是處理數學問題脫褲子放屁，不需要驗證的去驗證，要驗證的不驗證，

就是邏輯錯誤。



你先看看解法的第二部分，他解 -1<那個分數<1

你解這個分式不等式的時候，要先確實認知分數不等式的本質是什麼。

分數不等式的本質，就是找出所有代入不等式能成立的x，把他們全部找出來。


例如： 3-2x < 9 ，解這個不等式，就是找出所有的x，能使它代入3-2x之後<9


1/(x-2)^2 < 4 ，解這個不等式，就是找出所有的x，能使它代入之後<4


第二個不等式你不妨解一下，是 x<1.5 or x>2.5，

按照我上面的說法，這些x代表什麼？代表這些x代入1/(x-2)^2 後，會小於4。



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注意我剛才所說的邏輯，解不等式的真諦，是：

「找出所有的x，找出那些帶入 1/(x-2)^2 會小於 4 的 x」


但是不要以為解出來的x，代入1/(x-2)^2的時候，有機會每個<4的實數都能"等"到


譬如你解出來的那群x, 不管是誰代入 1/(x-2)^2 一定都會 <4

但你不能保證有個x能使「1/(x-2)^2 等於 0」

因為1/(x-2)^2 的分子永遠不是0，你造不出=0的可能


那你會說，阿那要不要解不等式 1/(x-2)^2 <4 解出了x之後，

再保險起見特別去解個方程式 1/(x-2)^2 =0，討論看看x是不是有機會能解出來？


完全不用

因為當你解 1/(x-2)^2<4的時候，你所有的動作都是嚴謹的，解出來，解是誰就是誰

不會多也不會少。換句話說當這 1/(x-2)^2 有可能等於 0 的時候，如果有解，

則這個x一定會被你在解不等式的時候給解到，不會漏掉。你不需要去特別討論

什麼分子分母=0會不會發生特殊情況的問題，不用。



你開始覺得奇怪，因為你可能有點解題經驗，覺得常常在解不等式的時候，

好像要先討論分母等於0的狀況，例如在解 1/(x-2)^2 <4 之前，

是不是要先把x-2=0,即x=2的情形先寫在旁邊？

邏輯上，之所以要討論，是因為你 "為了解不等式" 把(x-2)^2

往右乘的動作可能有"瑕疵"(邏輯上的不嚴謹)，但你不乘過去，

你又解不動，所以才需要特別討論。



譬如： 0/(x-2)=3，假如今天上帝告訴你，他的解是誰誰誰，那就沒問題。

可是如果要靠你自己解，你會把(x-2)乘過去(這個動作是有瑕疵的)

得到0=3(x-2)，得出x=2(wrong sol)


但是0/(x-2)<3 => 0<3(x-2) or 0>3(x-2) ，解出x!= 2，又是合情合理。

到底差在哪裡？這有點超過高中範圍了，要用集合論才能講得清楚。

我故意不說得很清楚，如果你有興趣慢慢想，不懂再提問。

只簡單告訴你， -1< 你那題的那個分數<1

寫這樣就夠了，不需要多寫一步，寫討論0什麼的。

至於在解的step中有沒有需要額外討論一下什麼分母分子問題，

沒有一定，要看你打算做什麼動作

(哪些動作要討論、哪些不用，超過高中生數學工具跟腦力所能思考範圍，不提)。


然後，一開始本文開宗明義說他寫錯了，純粹是為了讓你理解方便而說得一個謊，

事實上他寫的是對的，理由超簡單，因為

一個數列 後項/前項 是0的時候，不能稱為等比數列。

換句話說，一個等比數列沒有公比是0的可能。


<3,0,0,0,0,...> 這不是等比數列

因此 3+0+0+0+.... 也就不能稱為等比級數。(只能單純稱為無窮級數)



課本上常說：等比級數 -1<r<1 時收斂，這是對的，因為講到等比級數，就蘊含r!=0


他不需要囉囉嗦嗦的寫：等比級數在-1<r<0且0<r<1時收斂。因為後/前=0不稱為等比數列



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