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為什麼要用幾何平均數 在 綠角財經筆記 Facebook 的最佳貼文
假設某人每月投資1000塊,投資標的長年下來,有9%的年化報酬率。那麼他投資20年,會累積多少錢呢?
我們先把9%的年報酬換算,得到0.7207%的月報酬率。然後以簡單的等比級數總合公式(財務上稱年金終值公式),可算出這樣投資20年後會有638852的價值。
我們也可以算出,每月投資1000元,在年報酬6%、7%、8%、9%和10%的投資標的,經過15、20、25和30年後的累積價值。做成表格,如圖。
這個表很實用。譬如某人投資是每月3000塊,他想看年報酬7%,20年後的成果,那麼他就查看表中1000塊,在7%年報酬20年後的累積價值,是507536。將這個值乘以3,得1522608,就是他在這個狀況下的累積成果。假如投資是每月一萬,就把數值乘以10。
這個表也顯示了一個現象。假如某人每月投資1萬,在年報酬9%的標的,在25年後會有1057萬的價值。
但一樣的投資在年報酬8%的標的,25年後,累積價值約是909萬。兩者差了148萬,也就是報酬從9%掉1%,變成8%,累積價值就減損14%。
投資報酬率只要差一點點,在長時間之後,將對最終資產造成顯著的影響。
這個估算裡,最重要最核心的的問題在於,長期投資的預期報酬率到底是多少。
近五年來,許多市場、基金,常有二三十趴的年報酬率。許多投資人,特別是近幾年才進入市場的投資人,已經把這當作常態,把年報酬20%以上當長期目標。在這一片大好局面裡,我將引用一些長期的資料,一些無法讓人興奮,但能讓人認清現況的事實。
知道這些灰色事實後,長期的投資規劃才能立足於前人的經驗,而有合理的期待,而不是外插現在陡峭的上升線,換來日後深深的失落。
1999年,加州大學的Jorin和耶魯大學的Goetzmann先生,在Journal of Finance發表了一篇Global Stock Market in the Twentieth Century 的文章。內容詳細分析了從1921到1996年間,全球股票市場的報酬率。
這75年間,美國股市(US index),全球股市(Global index)和非美國股市(Non-US index)的平均年報酬率。我們可以看到,無論是算數平均數(Arithmetic Return)還是幾何平均數(Geometric Return)的報酬率,全都是落在7到8%附近。而且還有兩個問題。
在表中,可以看到存活的市場(Survived markets)和全部的市場(All markets)。而存活的市場的報酬率比全部市場的報酬率都還要高。因為,無法存活的市場,通常是出問題了。
在一次世界大戰前,俄羅斯、日本、德國、法國和阿根廷都有活絡的市場,但這些市場因大戰、共產制度、或是超級通膨(Hyperinflation),而趨於沒落。可以想見,涉足這些市場的投資人,報酬不會太好,而把全部家當放在這些市場中的投資人,他們的哭喊只能在遙遠的時光走廊裡迴響著。存活下來的市場,是現在投資人看得到的市場,所以投資人往往會高估了投資的報酬。
另一個問題是,這些數字尚未計入通膨,它只是名目報酬。假如你計入每年2%的通膨,那麼這些股票投資,每年只能讓你的資本增值約5到6%。
現在的投資世界有變得比較不一樣嗎?放眼未來30年,你可以寫下20%這個數字嗎?恐怕很難。
我知道你在想什麼。你想,這沒關係。我可以選到好股票,我可以在空頭時退出市場,我可以獲得比市場平均還要高的報酬。
你的確可以這麼想,試圖去這麼做,但成功的機會,微乎其微。
你除了可以看"適時進出的行與不行"與"投資人的遊戲"這兩篇文章,我再多提供一個例子,希望可以打消你這個念頭。
一般美國投資人的股市投資報酬率。在1986到2005年這20年間,未計通膨前,一般股票投資人(Average euiqty investor)得到了3.9%的年報酬率(橘黃色bar),而標普500指數的報酬率(灰色bar)是11.93%。
全球各地的主動投資人想的事情沒有因國籍不同而有差異,他們全都在想買進好股票,在下跌前出場,好好研究市場,替自己多賺一點錢。結果,想打敗市場,卻是被市場打敗,積極的進出,比不上單純的指數。這個結果,恐怕也不會因國籍的不同而有不同。這種投資界的現象可說得上是世界大同,到那裡都一樣。
有沒有人長期投資達到20%以上的報酬,有! 巴菲特。不過他不全然是個投資人,他其實有點像個企業家。而且放眼100年股市歷史,僅此一人。比每月開獎的大樂透得主人數還要少。
寄望自己成為下一個巴菲特,或是只比他”遜一點”,拿到每年20% 的報酬而投資致富,機會渺茫。
投資不能致富。"投資致富"和"世界和平"一樣是口號,不是事實。
投資只能讓你的資本,以緩慢的速度增值。所以諾貝爾經濟獎得主Paul Samuelson在1999年說道:
”我告訴人們,投資應該是無趣的,它不應該是刺激的。投資過程應該就像看漆變乾或草生長一樣。”
而我要說的灰色事實不僅於此,不只是股市長期報酬只是個位數。另一個灰色事實,由金融服務業所帶來。
假如我們對未來全球股市長期報酬的估計值是7.5%。我們來算算看投資人到底可以拿到多少。
首先,計入通貨膨脹,算1.5%好了,7.5扣掉1.5變6。(假如你比較保守,可以用2%或更高的數字)。沒有投資人拿得到6%的報酬,因為投資要成本。
假如你用基金投資,假設你買的每一筆股票型基金,都被收1.5%的手續費。這1.5%的手續費,要依你的投資時間長短來攤提,假如你投資20年,那麼1.5%分在20年當中,相當於每年損失0.075%的報酬率。那麼請把6再扣0.075%,剩5.925%。
成本不只這樣。股票型基金每年收1.5%經理費,5.925%減1.5%,剩4.425%。其它基金的運作成本,包括基金付給券商的手續費、基金買進賣出的市場衝擊損失,保守估計每年0.9%的成本。報酬率更進一步跌到3.525%。
光這些投資的成本,就可以把投資人的實質長期報酬從6%打到3.5%附近。
我們來做些運算。
下表是每月投資1000元,在3%、4%、5%、6%和7%的報酬率下,累積一段時間的報酬。
假如你用6%估算,你想要25年後退休,存到1000萬。我們看到6%,25年那一格是676289。將1000萬除以676289,等於14.78。所以每個月投資14780元,在6%的報酬率下,25年過後可以累積到1000萬。
假如你用3%估算,你想要25年後退休,存到1000萬。一樣的計算,得到每個月要投資22500元。報酬率從6%降到3%,每月投資金額要從14780拉高到22500,增加52%。
假如你用6%的報酬率估算,每月投資2萬元,看多久可以累積到1000萬。計算需21年又兩個月。假如你改用3%的報酬率估算,每月投資2萬元,看多久可以累積到1000萬。答案是27年又兩個月。
從6%到3%,一樣的投資目標,是每月投資金額52%的差別,是晚六年退休的差別。
所以金融界的收費,不僅讓達到相同目標的時間延長,讓必需投資金額變大,也讓同樣金額下可以過的退休生活品質變差。
所以,為什麼綠角那麼愛算成本,那麼斤斤計較1%、0.5%的差別,因為只要差一點點,就是晚幾年達成目標的差別,就是退休後可用金額的巨大差別。
因為,成本,真的很重要。
假如你無視於過去七八十年的歷史,直接用最近幾年的報酬率推估未來的報酬,那麼等著你的,一定是失望的心情。
假如你無視於金融界的收費,以為自己可以賺到100%的市場報酬,等著你的是延遲退休、更高的必需投資金額和更低品質的退休生活。
台灣金融界收費便宜嗎?
在基金方面,在還沒有免佣基金,也就是不用手續費的基金,和沒有年度總開銷0.5%以下、投資各種資產類別的指數基金出現前,都仍算貴。
我們看指數型基金投資人可以如何掌握到扣除通膨後的6%報酬。
首先,指數型基金是免佣基金,不用扣3%打某某折後的手續費。年管理費加上基金付給券商的手續費、市場衝擊等成本,大約是每年0.4%,讓投資人可以掌握到5.6%的報酬。這個數字,不論怎麼看都比3.5%好看多了。這兩個數字間的差別,相信之前的例子,已經解釋的夠清楚了。
服務本來就要收費。天經地義。就算是美國總統,他投資也要付出成本。但是,投資人付出的成本愈少,留在自己手上的愈多,他就可以愈早達成目標。對敵人仁慈,就是對自己殘忍。
金融服務業,是投資人的敵人也是朋友。朋友,因為透過它我們才有方便的投資管道。敵人,因為它把我們投資的成果,錢,從我們手中收走。
面對這個亦敵亦友的角色,投資人要做的是,找尋必較像朋友而比較不像敵人的金融服務,簡言之,收費低廉的服務。但這個最基本的要點,卻被許許多多投資人忽略了。
一個重要的原因,就是近年的高報酬。當每年報酬有二十幾趴,那百分之一到三的差別,是那麼的微不足道。更有許多金融產品銷售人員說,會賺錢的話,何必在意那一兩趴的手續費。格局要大,不要那麼小家子氣。不客氣的說,這是聽起來很對的蠢話。
一個成功的企業經營者,成本一定是他念茲在茲的事。因為他知道,付出的成本愈少,能賺的就愈多。假如你是Wal Mart的供貨商,你會知道Wal Mart的採購員,以殺價凶狠出名,讓你日子很不好過。成功的企業裡,一定有雙盯著成本的眼睛。
投資,也是一樣。你付出的成本愈低,留在自己手上的愈多,也就是賺愈多。沒有必要多付出1%、0.5%或是0.1%的投資成本。因為當你同意提高成本時,你也同意了延後退休、較低品質的退休生活和增加投資金額來達到相同的目標。
高成本會帶來什麼?
一個會告訴你如何適時進出的老師? Impossible。
一個逢年過節會送點小禮物的金融界朋友? Maybe。
較低的報酬率? Definitely!
身為投資人,不能有近視,只看過去幾年的報酬率,就以為一切都將如此美好。
大方,從來不是股市的個性。身為投資人,不能不注意成本。那些叫你不要在意幾趴費用的人,往往就是靠這些錢在過活的人。
心中有合理的報酬期望,眼睛盯著投資成本,長期下來,才最有可能成為成功的投資人。
為什麼要用幾何平均數 在 C.C.M Math Facebook 的最佳貼文
【數感生活——成長率、幾何平均數,偶爾還有算術平均數】
最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數,得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率,成長率是類似複利的概念,要用相乘再開根號的幾何平均數才對」
之後,該教授又貼了一則文章,解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的,所以方便起見他用算術平均數,並附上了數據與程式碼。
當然程式驗證是沒問題的,不過比起程式,數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出,若是要講究嚴謹,使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具,來證明在面對成長率這種議題時,當成長率不大,算術平均數的確是幾何平均數的近似值。
在這邊,我們提供一個更簡單的,必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。
首先,
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小,以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009,小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)
同樣的道理,推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?),成長率分別是a、b、c、d,可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)
假設這四年的(幾何)平均成長率是g,同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g
整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果,近似符號右邊是算術平均數,左邊的g則是幾何平均數。
以上,就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下,答案會差不多的原因。不過我們要強調,兩者的根本意義完全不同,不能只因為「在某些狀況」答案很接近,就覺得選哪個都無所謂,不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子,倘若某年成長100%,隔年衰退50%。
則算術平均數是(100-50)/2=25,平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1,根本沒有成長,幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀,但回到數學本身,正確答案只有一個。
PS: 感謝 張宏彬 (Hung-Bin Chang)博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~
PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思,基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似,是有失嚴謹的,儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度,讓大家理解為什麼,以及在什麼情況下,算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。
為什麼要用幾何平均數 在 擁抱巴菲特(邱涵能) Facebook 的最讚貼文
聯超(4752)研究報告
首先,感謝算利教官楊禮軒在部落格和臉書上無私地分享,我是看到楊教官「興櫃股票挖寶術--以4752聯超為例」一文,而開始研究這檔股票。站在巨人肩膀上做事真好!所以,楊教官分析過的,我也不再贅述。
好公司、好價錢就值得我們買進長抱,不管它是興櫃還是上市。只要管理階層誠信經營--尤其能對外部股東的我們誠信;公司能夠持續穩定獲利--產品具有競爭力能抵禦外部的競爭與景氣的興衰。這樣公司的股票就值得我們買進長抱。尤其興櫃沒漲跌幅限制(跟美股一樣),更有機會趁大跌加碼。但是,若不具以上兩樣條件:管理人誠信、公司穩定獲利,那買這樣的股票就有風險,尤其興櫃股票的風險更大。
基於這樣的思維,我們先來探討:到底聯超(4752) 管理階層是否誠信經營?
我們先看聯超(4752)的董監事會,發現它的控制股東是和益(1709),占發行股權的78.16%,和益(1709)是它的母公司。和益(1709)創立於62年,是42年的化工老公司。聯超(4752) 創立於84年,20年,年報中看不到它的創立與和益(1709)是否有關;但在101年8月,分割受讓來自和益(1709)的氫化樹脂事業部門,受讓增資了1/3的股本,形成今日7.66億的股本(發行股數0.766億股)。
聯超(4752)的董事長、副董事長,甚至經理人都來自和益(1709),103年度年報顯示,來自和益(1709) 78.16%持股比和董監事個人3.14%持股比,合計占發行股份的81.3%,而且董監事沒有質借,非常集中!表示聯超(4752)的損益與母公司和益(1709)緊緊綁在一起。另外,表示只有18.7%的股份流通在外。雖然公司年報稱21.84 %的股份被大眾持有,但董監事不會任意出售持股,所以以18.7%股份流通在外來看比較實際。流通在外股數少,公司稍有利多,股價容易飆漲。但股價也容易被操控,以103年全年和104年第一季平均股價14元來算,流通在外的股票市值:14元×0.766億股×18.7%=2億新台幣。若掌握1/2就掌握股價絕對控制權的話,只要新台幣1億元,就能絕對拉升或壓低聯超(4752)股價。
既然,聯超(4752)的控制權緊緊被母公司和益(1709)掌握,那我們要看的反而是和益(1709)的管理階層經營是否誠信的問題?
從和益(1709) 103年度年報來看它的董監事會,持股比21%。董監事多由法人持股,會由法人持股,可能是真正的控制股東想避稅,或者想逃避監管單位的監管。前者可以理解,但是後者的理由就不宜投資這家公司了。和益(1709) 董監事由7家法人持股,法人主要股東一共有11家。董監事可能是由家族、親友交叉持股,透明度不高。特別的是台塑集團是主要法人股東,除了上下游的關係外,也是家族持股外另一股穩定的力量。
和益(1709)的董監事會我真的看不懂,也分析不出來彼此的關係,太複雜了!大概他們也不願意讓外部股東了解他們,透明度真的不高,誠信問題待考驗。但是,既然持有聯超(4752) 78.16%的股權,實際上也是它眾多子公司中獲利額度最大的一家,只要和益(1709)完全不出脫聯超(4752) 78.16%持股比任何一股的股權,我認為,可以安心持股。所以,盯緊和益(1709)對聯超(4752) 78.16%的持股比,是安全持有聯超(4752)股票的觀察點。
再來探討:公司穩定獲利嗎?具有夠寬廣的護城河抵禦外部競爭與景氣的興衰嗎?
先看獲利狀況,聯超(4752)年報所能顯示的財務數據,自101年度到103年度,EPS分別為1.0元、0.62元、1.28元。可是104年第二季為止,EPS已經有2.14元(稀釋)。如果依楊教官根據和益(1709) 第三季季報認列聯超(4752)的獲利,聯超(4752) 第三季的EPS應該有1.93元,前三季EPS總和應該有4.05元。獲利大暴發!這樣的獲利大暴發是業外一次性收益還是本業呢?楊教官考究過說是本業,我後面再分析其成因。
我們看它的毛利率和淨利率,聯超(4752) 101年度到103年度的毛利率分別是7.0%、6.9%、8.3%,104年第二季為止17.8%。淨利率101年度到103年度分別是2.2%、1.6%、3.1%,104年第二季為止10.4%。同EPS一樣,前3年非常難堪的毛淨利,為什麼到了104年度差那麼多?這樣暴發性的獲利還能持續下去嗎?依聯超(4752)年報所分析,是美國頁岩油氣革命造成油價低迷,形成公司降低成本、提高獲利的機會。因為,聯超(4752)的原料成本非常高,壓低了以往的毛利。
再來拆解資產負債表和現金流量表,分析投資聯超(4752)的安全性。先看負債比,101年度到103年度分別是56.9%、54.4%、53.9%,104年第二季為止42.7%,大為改善!104年第二季長短期金融負債比只有22.6%。在聯超(4752) 104年度獲利大暴發後,它先降低自己的負債比到比較安全的水位,是非常好的管理方式。再看流動比,流動比=流動資產÷流動負債,102年度和103年度分別為138%、142%,104年第二季為止167%,很好!流動資產可以隨時支付流動負債的償還。後看獲利含金量,獲利含金量=營業現金流入÷稅後淨利,102年度和103年度分別為404%、316%,104年第二季為止243%,都是非常好的水準!獲利都有現金真正流進公司來。這也是聯超(4752)為何被和益(1709)大比率持股的原因--眾多子公司中獲利額度最大的一家。
從數據看聯超(4752)的獲利與投資安全性,到了104年第二季都相當好。到底它是否具備夠寬廣的護城河,抵禦外部的競爭與景氣的興衰?
我們看到年報中它的主要供應商,中油已從102年的第三大,到103年起的第一大了,占44.39%。為此,我特地打電話問在中油的同學,他也算高階經理人了。他不知道聯超(4752),但一說到和益(1709)就熟悉了。他說到化工類的公司,或許有一些Know how,但沒有很高的跨入門檻,別的公司也可以大步追上。這類公司容易受景氣影響,算是標準的景氣循環股。適逢美國頁岩油氣革命,石油產量大增,造成油價自103年第三季起大跌。依據華爾街日報(WSJ)的報導,超級油輪運費暴跌,說明了石油庫存容量趨近飽和,油價仍有下跌的壓力。聯超(4752)年報說明,104年它之所以獲利大暴發,正是因為美國頁岩油氣革命:「頁岩氣生產乙烯,裂解C5/C9石油樹脂原材料出現較大的減產,原材料短缺給歐美市場帶來了巨大的樹脂缺口,全球C9 石油樹脂供應將集中於亞洲地區。」因此,美國頁岩油氣革命造成油價低迷還會持續一段時間,幾年的時間吧!所以,聯超(4752)高獲利的情況還會持續一段時間。但是,高獲利會引來競爭者,聯超(4752)年報中也提到中國大陸C9 石油樹脂工廠陸續建廠,供給競爭越來越激烈。我認為,聯超(4752)高獲利的情況只能持續一段時間。所以,它不能算是可以長抱的股票,只能算是見好就收的「持有停利股」。
最後探討:它的合理股價。
先看聯超(4752)的每股淨值,這是比較確切的數字!104年第二季為14.11元,若扣除104年發放的現金股利0.7元(104年8月31日除息),再加上楊教官算的第三季的EPS 1.93元。104年第三季的每股淨值應是15.34元。
再預估它的EPS應是多少。若以101年度到103年度EPS 1.0元、0.62元、1.28元來算,平均值約1.0元--這太低估了它未來的獲利能力。104年前三季EPS總和約4.05元,今年EPS可能超過5元接近6元,明年應該也可能會在這區間浮動--可是這樣太樂觀的預估會忽視了風險。該如何取......這是一個數學問題。我想用幾何平均數取一個相對合理的平均數!取前3年平均1元和今年可能5元的幾何平均數:√1×5 =2.24。所以我給聯超(4752)的合理EPS為2.24元。
最後估算聯超(4752)的合理價格。我用本淨比與本益比的乘積--我的書《買進巴菲特,穩賺18%》之49-50頁有詳述。保守採取PBR×PER=10 → √15.34×2.24×10 =18.5元。我估算聯超(4752)的合理價格是18.5元--這個價比較保守,也比較具有安全邊際。
最後,政策宣導:本文並非鼓勵投資人買進該檔股票,筆者也不負任何盈虧之責;投資自有風險,投資人應自行獨立判斷。