假設某人每月投資1000塊，投資標的長年下來，有9%的年化報酬率。那麼他投資20年，會累積多少錢呢?

我們先把9%的年報酬換算，得到0.7207%的月報酬率。然後以簡單的等比級數總合公式(財務上稱年金終值公式)，可算出這樣投資20年後會有638852的價值。

我們也可以算出，每月投資1000元，在年報酬6%、7%、8%、9%和10%的投資標的，經過15、20、25和30年後的累積價值。做成表格，如圖。

這個表很實用。譬如某人投資是每月3000塊，他想看年報酬7%，20年後的成果，那麼他就查看表中1000塊，在7%年報酬20年後的累積價值，是507536。將這個值乘以3，得1522608，就是他在這個狀況下的累積成果。假如投資是每月一萬，就把數值乘以10。

這個表也顯示了一個現象。假如某人每月投資1萬，在年報酬9%的標的，在25年後會有1057萬的價值。

但一樣的投資在年報酬8%的標的，25年後，累積價值約是909萬。兩者差了148萬，也就是報酬從9%掉1%，變成8%，累積價值就減損14%。

投資報酬率只要差一點點，在長時間之後，將對最終資產造成顯著的影響。

這個估算裡，最重要最核心的的問題在於，長期投資的預期報酬率到底是多少。

近五年來，許多市場、基金，常有二三十趴的年報酬率。許多投資人，特別是近幾年才進入市場的投資人，已經把這當作常態，把年報酬20%以上當長期目標。在這一片大好局面裡，我將引用一些長期的資料，一些無法讓人興奮，但能讓人認清現況的事實。

知道這些灰色事實後，長期的投資規劃才能立足於前人的經驗，而有合理的期待，而不是外插現在陡峭的上升線，換來日後深深的失落。

1999年，加州大學的Jorin和耶魯大學的Goetzmann先生，在Journal of Finance發表了一篇Global Stock Market in the Twentieth Century 的文章。內容詳細分析了從1921到1996年間，全球股票市場的報酬率。

這75年間，美國股市(US index)，全球股市(Global index)和非美國股市(Non-US index)的平均年報酬率。我們可以看到，無論是算數平均數(Arithmetic Return)還是幾何平均數(Geometric Return)的報酬率，全都是落在7到8%附近。而且還有兩個問題。

在表中，可以看到存活的市場(Survived markets)和全部的市場(All markets)。而存活的市場的報酬率比全部市場的報酬率都還要高。因為，無法存活的市場，通常是出問題了。

在一次世界大戰前，俄羅斯、日本、德國、法國和阿根廷都有活絡的市場，但這些市場因大戰、共產制度、或是超級通膨(Hyperinflation)，而趨於沒落。可以想見，涉足這些市場的投資人，報酬不會太好，而把全部家當放在這些市場中的投資人，他們的哭喊只能在遙遠的時光走廊裡迴響著。存活下來的市場，是現在投資人看得到的市場，所以投資人往往會高估了投資的報酬。

另一個問題是，這些數字尚未計入通膨，它只是名目報酬。假如你計入每年2%的通膨，那麼這些股票投資，每年只能讓你的資本增值約5到6%。

現在的投資世界有變得比較不一樣嗎?放眼未來30年，你可以寫下20%這個數字嗎?恐怕很難。

我知道你在想什麼。你想，這沒關係。我可以選到好股票，我可以在空頭時退出市場，我可以獲得比市場平均還要高的報酬。

你的確可以這麼想，試圖去這麼做，但成功的機會，微乎其微。

你除了可以看"適時進出的行與不行"與"投資人的遊戲"這兩篇文章，我再多提供一個例子，希望可以打消你這個念頭。

一般美國投資人的股市投資報酬率。在1986到2005年這20年間，未計通膨前，一般股票投資人(Average euiqty investor)得到了3.9%的年報酬率(橘黃色bar)，而標普500指數的報酬率(灰色bar)是11.93%。

全球各地的主動投資人想的事情沒有因國籍不同而有差異，他們全都在想買進好股票，在下跌前出場，好好研究市場，替自己多賺一點錢。結果，想打敗市場，卻是被市場打敗，積極的進出，比不上單純的指數。這個結果，恐怕也不會因國籍的不同而有不同。這種投資界的現象可說得上是世界大同，到那裡都一樣。

有沒有人長期投資達到20%以上的報酬，有! 巴菲特。不過他不全然是個投資人，他其實有點像個企業家。而且放眼100年股市歷史，僅此一人。比每月開獎的大樂透得主人數還要少。

寄望自己成為下一個巴菲特，或是只比他”遜一點”，拿到每年20% 的報酬而投資致富，機會渺茫。

投資不能致富。"投資致富"和"世界和平"一樣是口號，不是事實。

投資只能讓你的資本，以緩慢的速度增值。所以諾貝爾經濟獎得主Paul Samuelson在1999年說道:

”我告訴人們，投資應該是無趣的，它不應該是刺激的。投資過程應該就像看漆變乾或草生長一樣。”

而我要說的灰色事實不僅於此，不只是股市長期報酬只是個位數。另一個灰色事實，由金融服務業所帶來。

假如我們對未來全球股市長期報酬的估計值是7.5%。我們來算算看投資人到底可以拿到多少。

首先，計入通貨膨脹，算1.5%好了，7.5扣掉1.5變6。(假如你比較保守，可以用2%或更高的數字)。沒有投資人拿得到6%的報酬，因為投資要成本。

假如你用基金投資，假設你買的每一筆股票型基金，都被收1.5%的手續費。這1.5%的手續費，要依你的投資時間長短來攤提，假如你投資20年，那麼1.5%分在20年當中，相當於每年損失0.075%的報酬率。那麼請把6再扣0.075%，剩5.925%。

成本不只這樣。股票型基金每年收1.5%經理費，5.925%減1.5%，剩4.425%。其它基金的運作成本，包括基金付給券商的手續費、基金買進賣出的市場衝擊損失，保守估計每年0.9%的成本。報酬率更進一步跌到3.525%。

光這些投資的成本，就可以把投資人的實質長期報酬從6%打到3.5%附近。

我們來做些運算。

下表是每月投資1000元，在3%、4%、5%、6%和7%的報酬率下，累積一段時間的報酬。

假如你用6%估算，你想要25年後退休，存到1000萬。我們看到6%，25年那一格是676289。將1000萬除以676289，等於14.78。所以每個月投資14780元，在6%的報酬率下，25年過後可以累積到1000萬。

假如你用3%估算，你想要25年後退休，存到1000萬。一樣的計算，得到每個月要投資22500元。報酬率從6%降到3%，每月投資金額要從14780拉高到22500，增加52%。

假如你用6%的報酬率估算，每月投資2萬元，看多久可以累積到1000萬。計算需21年又兩個月。假如你改用3%的報酬率估算，每月投資2萬元，看多久可以累積到1000萬。答案是27年又兩個月。

從6%到3%，一樣的投資目標，是每月投資金額52%的差別，是晚六年退休的差別。

所以金融界的收費，不僅讓達到相同目標的時間延長，讓必需投資金額變大，也讓同樣金額下可以過的退休生活品質變差。

所以，為什麼綠角那麼愛算成本，那麼斤斤計較1%、0.5%的差別，因為只要差一點點，就是晚幾年達成目標的差別，就是退休後可用金額的巨大差別。

因為，成本，真的很重要。

假如你無視於過去七八十年的歷史，直接用最近幾年的報酬率推估未來的報酬，那麼等著你的，一定是失望的心情。

假如你無視於金融界的收費，以為自己可以賺到100%的市場報酬，等著你的是延遲退休、更高的必需投資金額和更低品質的退休生活。

台灣金融界收費便宜嗎?

在基金方面，在還沒有免佣基金，也就是不用手續費的基金，和沒有年度總開銷0.5%以下、投資各種資產類別的指數基金出現前，都仍算貴。

我們看指數型基金投資人可以如何掌握到扣除通膨後的6%報酬。

首先，指數型基金是免佣基金，不用扣3%打某某折後的手續費。年管理費加上基金付給券商的手續費、市場衝擊等成本，大約是每年0.4%，讓投資人可以掌握到5.6%的報酬。這個數字，不論怎麼看都比3.5%好看多了。這兩個數字間的差別，相信之前的例子，已經解釋的夠清楚了。

服務本來就要收費。天經地義。就算是美國總統，他投資也要付出成本。但是，投資人付出的成本愈少，留在自己手上的愈多，他就可以愈早達成目標。對敵人仁慈，就是對自己殘忍。

金融服務業，是投資人的敵人也是朋友。朋友，因為透過它我們才有方便的投資管道。敵人，因為它把我們投資的成果，錢，從我們手中收走。

面對這個亦敵亦友的角色，投資人要做的是，找尋必較像朋友而比較不像敵人的金融服務，簡言之，收費低廉的服務。但這個最基本的要點，卻被許許多多投資人忽略了。

一個重要的原因，就是近年的高報酬。當每年報酬有二十幾趴，那百分之一到三的差別，是那麼的微不足道。更有許多金融產品銷售人員說，會賺錢的話，何必在意那一兩趴的手續費。格局要大，不要那麼小家子氣。不客氣的說，這是聽起來很對的蠢話。

一個成功的企業經營者，成本一定是他念茲在茲的事。因為他知道，付出的成本愈少，能賺的就愈多。假如你是Wal Mart的供貨商，你會知道Wal Mart的採購員，以殺價凶狠出名，讓你日子很不好過。成功的企業裡，一定有雙盯著成本的眼睛。

投資，也是一樣。你付出的成本愈低，留在自己手上的愈多，也就是賺愈多。沒有必要多付出1%、0.5%或是0.1%的投資成本。因為當你同意提高成本時，你也同意了延後退休、較低品質的退休生活和增加投資金額來達到相同的目標。

高成本會帶來什麼?

一個會告訴你如何適時進出的老師? Impossible。

一個逢年過節會送點小禮物的金融界朋友? Maybe。

較低的報酬率? Definitely!

身為投資人，不能有近視，只看過去幾年的報酬率，就以為一切都將如此美好。

大方，從來不是股市的個性。身為投資人，不能不注意成本。那些叫你不要在意幾趴費用的人，往往就是靠這些錢在過活的人。

心中有合理的報酬期望，眼睛盯著投資成本，長期下來，才最有可能成為成功的投資人。

【數感生活——成長率、幾何平均數，偶爾還有算術平均數】

最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」

之後，該教授又貼了一則文章，解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的，所以方便起見他用算術平均數，並附上了數據與程式碼。

當然程式驗證是沒問題的，不過比起程式，數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出，若是要講究嚴謹，使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具，來證明在面對成長率這種議題時，當成長率不大，算術平均數的確是幾何平均數的近似值。

在這邊，我們提供一個更簡單的，必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。

首先，
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小，以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009，小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)

同樣的道理，推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?)，成長率分別是a、b、c、d，可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)

假設這四年的(幾何)平均成長率是g，同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g

整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果，近似符號右邊是算術平均數，左邊的g則是幾何平均數。

以上，就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下，答案會差不多的原因。不過我們要強調，兩者的根本意義完全不同，不能只因為「在某些狀況」答案很接近，就覺得選哪個都無所謂，不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子，倘若某年成長100%，隔年衰退50%。

則算術平均數是(100-50)/2=25，平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1，根本沒有成長，幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀，但回到數學本身，正確答案只有一個。

PS: 感謝 張宏彬 （Hung-Bin Chang）博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~

PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思，基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似，是有失嚴謹的，儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度，讓大家理解為什麼，以及在什麼情況下，算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。

聯超(4752)研究報告
首先，感謝算利教官楊禮軒在部落格和臉書上無私地分享，我是看到楊教官「興櫃股票挖寶術--以4752聯超為例」一文，而開始研究這檔股票。站在巨人肩膀上做事真好！所以，楊教官分析過的，我也不再贅述。
好公司、好價錢就值得我們買進長抱，不管它是興櫃還是上市。只要管理階層誠信經營--尤其能對外部股東的我們誠信；公司能夠持續穩定獲利--產品具有競爭力能抵禦外部的競爭與景氣的興衰。這樣公司的股票就值得我們買進長抱。尤其興櫃沒漲跌幅限制（跟美股一樣），更有機會趁大跌加碼。但是，若不具以上兩樣條件：管理人誠信、公司穩定獲利，那買這樣的股票就有風險，尤其興櫃股票的風險更大。

基於這樣的思維，我們先來探討：到底聯超(4752) 管理階層是否誠信經營？
我們先看聯超(4752)的董監事會，發現它的控制股東是和益(1709)，占發行股權的78.16%，和益(1709)是它的母公司。和益(1709)創立於62年，是42年的化工老公司。聯超(4752) 創立於84年，20年，年報中看不到它的創立與和益(1709)是否有關；但在101年8月，分割受讓來自和益(1709)的氫化樹脂事業部門，受讓增資了1/3的股本，形成今日7.66億的股本（發行股數0.766億股）。
聯超(4752)的董事長、副董事長，甚至經理人都來自和益(1709)，103年度年報顯示，來自和益(1709) 78.16%持股比和董監事個人3.14%持股比，合計占發行股份的81.3%，而且董監事沒有質借，非常集中！表示聯超(4752)的損益與母公司和益(1709)緊緊綁在一起。另外，表示只有18.7%的股份流通在外。雖然公司年報稱21.84 %的股份被大眾持有，但董監事不會任意出售持股，所以以18.7%股份流通在外來看比較實際。流通在外股數少，公司稍有利多，股價容易飆漲。但股價也容易被操控，以103年全年和104年第一季平均股價14元來算，流通在外的股票市值：14元×0.766億股×18.7%＝2億新台幣。若掌握1/2就掌握股價絕對控制權的話，只要新台幣1億元，就能絕對拉升或壓低聯超(4752)股價。
既然，聯超(4752)的控制權緊緊被母公司和益(1709)掌握，那我們要看的反而是和益(1709)的管理階層經營是否誠信的問題？
從和益(1709) 103年度年報來看它的董監事會，持股比21%。董監事多由法人持股，會由法人持股，可能是真正的控制股東想避稅，或者想逃避監管單位的監管。前者可以理解，但是後者的理由就不宜投資這家公司了。和益(1709) 董監事由7家法人持股，法人主要股東一共有11家。董監事可能是由家族、親友交叉持股，透明度不高。特別的是台塑集團是主要法人股東，除了上下游的關係外，也是家族持股外另一股穩定的力量。
和益(1709)的董監事會我真的看不懂，也分析不出來彼此的關係，太複雜了！大概他們也不願意讓外部股東了解他們，透明度真的不高，誠信問題待考驗。但是，既然持有聯超(4752) 78.16%的股權，實際上也是它眾多子公司中獲利額度最大的一家，只要和益(1709)完全不出脫聯超(4752) 78.16%持股比任何一股的股權，我認為，可以安心持股。所以，盯緊和益(1709)對聯超(4752) 78.16%的持股比，是安全持有聯超(4752)股票的觀察點。

再來探討：公司穩定獲利嗎？具有夠寬廣的護城河抵禦外部競爭與景氣的興衰嗎？
先看獲利狀況，聯超(4752)年報所能顯示的財務數據，自101年度到103年度，EPS分別為1.0元、0.62元、1.28元。可是104年第二季為止，EPS已經有2.14元（稀釋）。如果依楊教官根據和益(1709) 第三季季報認列聯超(4752)的獲利，聯超(4752) 第三季的EPS應該有1.93元，前三季EPS總和應該有4.05元。獲利大暴發！這樣的獲利大暴發是業外一次性收益還是本業呢？楊教官考究過說是本業，我後面再分析其成因。
我們看它的毛利率和淨利率，聯超(4752) 101年度到103年度的毛利率分別是7.0%、6.9%、8.3%，104年第二季為止17.8%。淨利率101年度到103年度分別是2.2%、1.6%、3.1%，104年第二季為止10.4%。同EPS一樣，前3年非常難堪的毛淨利，為什麼到了104年度差那麼多？這樣暴發性的獲利還能持續下去嗎？依聯超(4752)年報所分析，是美國頁岩油氣革命造成油價低迷，形成公司降低成本、提高獲利的機會。因為，聯超(4752)的原料成本非常高，壓低了以往的毛利。
再來拆解資產負債表和現金流量表，分析投資聯超(4752)的安全性。先看負債比，101年度到103年度分別是56.9%、54.4%、53.9%，104年第二季為止42.7%，大為改善！104年第二季長短期金融負債比只有22.6%。在聯超(4752) 104年度獲利大暴發後，它先降低自己的負債比到比較安全的水位，是非常好的管理方式。再看流動比，流動比＝流動資產÷流動負債，102年度和103年度分別為138%、142%，104年第二季為止167%，很好！流動資產可以隨時支付流動負債的償還。後看獲利含金量，獲利含金量＝營業現金流入÷稅後淨利，102年度和103年度分別為404%、316%，104年第二季為止243%，都是非常好的水準！獲利都有現金真正流進公司來。這也是聯超(4752)為何被和益(1709)大比率持股的原因--眾多子公司中獲利額度最大的一家。
從數據看聯超(4752)的獲利與投資安全性，到了104年第二季都相當好。到底它是否具備夠寬廣的護城河，抵禦外部的競爭與景氣的興衰？
我們看到年報中它的主要供應商，中油已從102年的第三大，到103年起的第一大了，占44.39%。為此，我特地打電話問在中油的同學，他也算高階經理人了。他不知道聯超(4752)，但一說到和益(1709)就熟悉了。他說到化工類的公司，或許有一些Know how，但沒有很高的跨入門檻，別的公司也可以大步追上。這類公司容易受景氣影響，算是標準的景氣循環股。適逢美國頁岩油氣革命，石油產量大增，造成油價自103年第三季起大跌。依據華爾街日報(WSJ)的報導，超級油輪運費暴跌，說明了石油庫存容量趨近飽和，油價仍有下跌的壓力。聯超(4752)年報說明，104年它之所以獲利大暴發，正是因為美國頁岩油氣革命：「頁岩氣生產乙烯，裂解C5/C9石油樹脂原材料出現較大的減產，原材料短缺給歐美市場帶來了巨大的樹脂缺口，全球C9 石油樹脂供應將集中於亞洲地區。」因此，美國頁岩油氣革命造成油價低迷還會持續一段時間，幾年的時間吧！所以，聯超(4752)高獲利的情況還會持續一段時間。但是，高獲利會引來競爭者，聯超(4752)年報中也提到中國大陸C9 石油樹脂工廠陸續建廠，供給競爭越來越激烈。我認為，聯超(4752)高獲利的情況只能持續一段時間。所以，它不能算是可以長抱的股票，只能算是見好就收的「持有停利股」。

最後探討：它的合理股價。
先看聯超(4752)的每股淨值，這是比較確切的數字！104年第二季為14.11元，若扣除104年發放的現金股利0.7元（104年8月31日除息），再加上楊教官算的第三季的EPS 1.93元。104年第三季的每股淨值應是15.34元。
再預估它的EPS應是多少。若以101年度到103年度EPS 1.0元、0.62元、1.28元來算，平均值約1.0元--這太低估了它未來的獲利能力。104年前三季EPS總和約4.05元，今年EPS可能超過5元接近6元，明年應該也可能會在這區間浮動--可是這樣太樂觀的預估會忽視了風險。該如何取......這是一個數學問題。我想用幾何平均數取一個相對合理的平均數！取前3年平均1元和今年可能5元的幾何平均數：√1×5 ＝2.24。所以我給聯超(4752)的合理EPS為2.24元。
最後估算聯超(4752)的合理價格。我用本淨比與本益比的乘積--我的書《買進巴菲特，穩賺18%》之49-50頁有詳述。保守採取PBR×PER=10 → √15.34×2.24×10 ＝18.5元。我估算聯超(4752)的合理價格是18.5元--這個價比較保守，也比較具有安全邊際。

最後，政策宣導：本文並非鼓勵投資人買進該檔股票，筆者也不負任何盈虧之責；投資自有風險，投資人應自行獨立判斷。