※ 引述《cyt719 (大Ｃ)》之銘言：
: 看到大家這麼開心地在討論著學校
: 我還是快點加快腳步把數學救起來
: 數學一旦什麼標都沒有
: 就算其他有頂前標還都是屁阿ˊˇˋ
: 最近很努力跟上了矩陣
: 也拿下有史以來在高中的第一次100分
: 我對數學有希望了!
: 但是最近發現矩陣到後來都跟三角有關係,
: 可是我都不會阿><
: 背也背不起來...
: 完全想不到方法和口訣,
: 誰能教我如何學好基本的三角呢(跪求)
: 指考逆轉勝的夥伴們要加油喔!
: 也希望大家都申請上好大學(我準備要閃瞎)
學好三角函數最重要的就是每個公式自己都要導過一次...

不能單靠記憶，要知道每個公式怎麼來的...

其實讀好高中數學的要點就在於要知道每個公式怎麼來的...

我以前讀國編本的時候...我都是課本讀完才做參考書...

課本裡面有很詳盡的說明他是怎麼來的...

好比說...內積的定義其實是從餘弦定理來的...

而和角公式原則上也是從餘弦公式來的...

所以只要記住了根本(以這個例子是餘弦公式)..

你就會記住所有的...

打個比方...

在單位圓上面任取兩個點P(cos a, sin a), Q(cos b, sin b)

而角POQ應該為a-b或b-a(取逆時鐘方向決定)...

餘弦定理告訴我們

cos(b-a) = 1^2 + 1^2 - {(cos a-cos b)^2 + (sina -sin b)^2}/ 2*1*1

=> cos(b-a) = cos acos b + sina sin b

或者是如果已經學到了內積的概念，可以從這個角度去複習

(因為內積本來就是從餘弦公式出發)
→ →
cos(b-a) = OP˙OQ = cos acos b + sina sin b

而其他的公式可以由正餘弦的性質去導...

例如

sin(b-a)=cos(π/2 + a - b) =cos(π/2 + a) cos b + sin(π/2 + a)sin b
=-sin a cos b + cos a sin b
=sinb cos a -cos b sin a
其他推導類似，你們自己回家當練習。

而積化和差，和差化積也是從這幾個公式導出來的...

例如：

sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b

sin(a-b) = sin a cos b - cos a sin b

兩式相加=>

sin(a+b)+sin(a-b) = 2 sin a cos b

兩式相減=>

sin(a+b)-sin(a-b)=2cos a sin b

別小看這寫簡單的推導，數學功力就是在於簡單推導的熟練...

數學的思維就在於如何去解決一個問題...

我認為高中課程中最可以讓學生學習代數思考訓練 就是在三角函數...

其實只要有心，要去思考...就不難發現問題的所在...

解三角形的問題，你只需要記得幾個重點：

正弦定理，餘弦定理，內切圓半徑，外接圓半徑，彼此之間的關係，海龍公式。

其實講了很多公式，事出同源：

就是底乘高除2，小學生都會的東西。

因此三角形面積就可以變化出各種不同的公式...

學數學就好像是學武功一般...

最基本的心法是什麼是最重要的...心法就是問題解決方法的起源...

不同的解法只是花招罷了...

就以內積來講...內積是什麼？其實就是餘弦定理...

海龍公式是什麼？其實就是底乘高除與2再加上餘弦定理...

什麼叫做和角公式？其實就是餘弦定理...

重點是你對於餘弦定理瞭解的透徹與否，就自然可以變化出其他的公式..

所以餘弦定理就是心法...

所謂的基本功，並不是一定要做花俏的題目...

許多高中老師不認為公式推導是很重要的...

如果有老師跟你這麼說...表示他一定不懂數學...他的數學應該很差...

推導公式是學數學最重要的一個過程...

特別是思考公式是怎麼來的...記憶是必要的...

但那是在於你推導公式熟練之後自然就會記住的...

打個比方：

sin2a = 2sin acos a = 2 cos^2a tan a = 2tan a/sec^2 a = 2tan a/(1+tan^2 a)

以這個例子來講...武功心法就是 sec^2 a = 1 +tan^2 a與 sin2a = 2cos a sin a

而武功的技巧，就在於能不能做連結...

好比說你能不能把sec^2 a = 1 +tan^2 a與 sin2a = 2cos a sin a得到

sin2a = 2tan a/(1+tan^2 a)？或者是

從 Δ = absin C/2與 cosC = a^2+b^2-c^2/2ab得到

Δ = (s(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2)其中 s=(a+b+c)/2。

請記住，數學的花招都是從最基本的心法變出來的...

要學好數學，基礎一定要穩固...

我們來看個不等式的例子：

在三角形ABC中，證明：

cot(A/2)+ cot(B/2) + cot(C/2)≧ 3 √3.

這時候如果你硬幹一定得不到好處...你必須仔細想什麼時候會得到半角...

內切圓！對，你必須聯想到內切圓的圓心就是角平分線的交點...

似乎cot(A/2)=x/r, cot(B/2)=y/r, cot(C/2)=z/r

其中x,y,z非別是頂點到切點的距離...

原不等式就變成

(x+y+z)/r≧ 3 √3.

又如果你很清楚海龍公式可以知道

三角形面積是 √xyz(x+y+z) =(x+y+z)r/2.

所以原不等式變成

(x+y+z)^(3/2)/√xyz≧ 3 √3.

等價於

(x+y+z)^3≧27 xyz

也就是算幾不等式了...

所以各位同學要記得...武功心法一定要磨練...

三角函數是很值得學的一個基本知識...

從前三角函數是為了度量邊長與角度的關係才產生的學問..

直到了富利葉在解熱傳導方程的時候，發現了三角函數的重要性。

因為因為熱在傳遞的過程中與三角函數有著很大的關係。

其實在現實的世界中，熱，聲，電磁等很多都是用波動的方式傳遞能量。

仔細的想一想，正餘弦函數的函數圖形不就是長的很像波的形狀嗎？

是的。因此，所有的波動現象其背後都是與三角函數息息相關...

即使不是三角函數，其他類型的函數也是從三角函數的概念...

更正確的來說就是富利葉級數的觀念而來的...

富利葉級數他就是一些三角函數的和...如cos x -sin x -2cos 2x +sin 3x

不過，我想，寫這段最主要的是想要告訴要往理工學院的學生說...

你們注定要陪伴在三角函數身邊很久很久...

用心，用力的把他學好，肯定對於你將來在學習大學的課程有很大的幫助...

以後你將會發現...能看到三角函數...是一件讓人覺得很美好的事...

因為其他的特殊函數比三角函數難算太多了...

(謎之聲：我的碩士論文就是用三角函數解決的唷～)

不過，不想嚇到高中生，所以就寫點我個人的感想...

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