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長方形、正方形與菱形是否為平行四邊形？正方形是長方形嗎？正方形是菱形的一種嗎？

九月中旬，學生拿著一分校外課輔的資料來問我，四邊形如何分類？「箏形」是什麼？這
份資料是一張各種四邊形性質的分類表，其實教師手冊上也有相同的資料。(93年五上翰
林版數學第一單元－四邊形)

如果要詳盡解釋平面圖形間的包含關係，可能超過學生理解能力範圍，混淆單元教學目標
，不利學生學習。可是數學邏輯推論能力可以從比較不同性質的條件，滿足特定條件的方
法上來學習包含的觀念。

A圖形具有的性質，B圖形也均具有時，我們可以說：「B圖形是A圖形(的一種)」。

例如
(1)長方形、正方形與菱形都具有「兩雙對邊平行」的性質，因此，長方形、正方形與菱
形都是平行四邊形。
(2)正方形具有「四角等大(直角)」、「兩雙對邊平行」、「對角線等長」、「對角線平
分」等性質，因此，正方形是長方形。
(3)正方形具有「四邊等長」、「兩雙對邊平行」、「對角線等長」、「對角線垂直」等
性質，因此，正方形是菱形。

另外，有關箏形是否應該一併介紹，老師們可能會有不同意見，「菱形」、「箏形」的區
別應該透過摺紙比較疊合的方法比較容易吧。

網路上有一位國中生(八年級)提問箏形、菱形的定義，網友(國中老師和社會人士)的答覆
非常專業，解說詳盡、補充完整，對任教數學課程的老師而言，您從中發現了什麼？

底下的資料與您分享。

李慎文
93.10.08

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(八年級學生)
誰能告訴我箏形、菱形的定義，以及面積怎麼算？

(國中老師)
菱形：鄰邊相等的平行四邊形，稱之。一般簡稱：四邊等長之四邊形。
箏形又名鳶形：兩雙鄰邊相等之四邊形。

任何四邊形凡對角線互相垂直者，其面積求法是，兩對角線長度相乘再除以2，基本上它
是利用四邊形面積等於任一對角線所切出的兩三角型面積和而得到的公式。

箏形與菱形他們的對角線是互相垂直的，你可用對稱軸摺疊紙張實驗發現，確是垂直的。

也有人將正方形視為一種箏形，似乎未必一定要上下兩個等腰三角形不同，如果上下兩個
等腰三角形可以相同，正方形也可以是箏形。

箏形定義：兩組鄰邊等長，但四邊不等長。
箏形判別：(1)一對角線被另一對角線垂直且平分。(2)一對角線平分頂角的四邊形。

由上定義及判別，可確定菱形必是箏形；箏形不一定是菱形。因此，正方形也是箏形。

橫對角線當對稱軸，上下兩等腰三角形上下可完全疊合則為菱形，也是平行四邊形；不能
疊合則為箏形，此時箏形之對邊就沒相等，則不為平行四邊形。

菱形是平行四邊形；箏形不一定是平行四邊形。

(家長)
定義補充：
正方形：四角等大，四邊等長。
長方形：四角等大。
菱形：四邊等長。
平行四邊形：對邊平行。
梯形：恰有一組對邊平行。
箏形：兩組鄰邊等長，但四邊不等長。
六種圖形之包含關係宜用文氏(Venn)圖解說明。

對於各四邊形間的包含關係(註1)
若定義：A圖形具有的性質(註2)，B圖形也均具有時，則稱A包含B(註3)。

以下以A>B表示A包含B，>是錯誤的符號，在此因打不出正確者，故暫代之。

梯形 > 平行四邊形 > 長方形 > 正方形
平行四邊形 > 菱形 > 正方形
箏形 > 菱形 > 正方形

註1：
稱個人是因現行台灣數學並不給予嚴格包含定義(再註)，又定義因人而異，不同的定義將
會有不同的分類。
註2：
這裡的性質，僅指對邊、鄰邊(含對角線)、鄰角、對角(含對角線夾角)，面積及對角線分
割後衍生的平面圖形。
註3：
意指B是A的其中一種[分支或特例]

再註：
梯形 > 平行四邊形 > 長方形 > 正方形正之後，那麼梯形之[恰有一組對邊平行]之定義
便矛盾了，取捨之間？取後不取前﹗原因避而不談。例如[平行與重合]，重合是平行嗎？
也得看編書教授是哪一學派，目前採用重合非平行一派。

全國教師會論壇 教學交流
http：//www，nta，org，tw/bbs/topic，asp?TOPIC_ID=2181&FORUM_ID=53&CAT_ID=7

: 以上敘述.都對
: 以下為維基百科的描述：
: 「
: 鷂形，在台灣稱作鳶形，在中國大陸稱為箏形。是一種四邊形，特點為：
: 是圓形的外接四邊形
: 其中兩對鄰邊相等
: ^^^^^^^^^^^^^^^^
: 對角線互相垂直
: 其中一條對角線平分另一條對角線
: 通常只有凸的形式稱為「鷂形」。
: 「鷂」為風箏（又稱「紙鷂」）之意，因為風箏的形狀通常是這樣。
: 鷂形的面積為對角線相乘除以二。
: 菱形是特殊的鷂形。
: ^^^^^^^^^^^^^^^^
: 」
: 話說.還真的跟我小時後學的不一樣
: 我小時後學的是鳶形是"兩組鄰邊分別相等".
: 而且老師還特別解釋"分別"就是A=A，B=B，且A=/=B這樣
: 嗯....不知道現在學校課本是教哪種???

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