統計問題 -假設檢定

1. 某米商認為其銷售量占台灣稻米的兩成。

今隨機抽取25戶人家，若有1至8戶是消費此廠

牌則接受H0: p= 0.2 ，否則接受H1: p=0.5，

是以常態近似值求取β值。

答案是0.1335，我算出來是0.0951，不知哪裡算錯。

我的計算方式如下：

H0: p＝ 0.2
H1: p≠ 0.2

先算出決策法則：

p hat ~N(p,pq/n) , q=1-p

臨界點p hat * 的範圍為 p ± Zα σ p hat

下界值 p hat * l = p - Zα σ p hat => 依題意為1/25=0.04

上界值 p hat * h = p + Zα σ p hat => 依題意為8/25=0.32

if p hat < 下界值 或 p hat > 上界值 ，則拒絕H0

∴ if p hat < 0.04 or p hat > 0.32 則拒絕H0


β= P(接受H0︱H1為真)

= P(0.04 ≦p hat≦ 0.32︱P=0.45)

σ p hat = (pq/n)^0.5 =(0.45*0.55/25)^0.5 = 0.099

β= P[(0.04-0.45)/0.099≦ p hat≦ (0.32-0.45)/0.099]

= P(-4.14≦Z≦-1.31) = P(1.31≦Z≦4.14)

=P(0≦Z≦4.14) - P(0≦Z≦1.31)

= 0.5 -0.4049 = 0.0951


2. 設環保署欲徵3%的空氣汙染稅，乃隨機抽取400名

機車族為樣本加以調查。若有220至260人贊成徵此空汙稅，

則謂有60%之機車族贊成徵此新稅。假設全體機車族中有60

%贊成此新稅收，試求犯型I錯誤之機率為何?答案是0.0414，

我的答案是0.0376，我的做法如下，不知哪裡出錯或想錯了。


根據題意，p hat 臨界值為220/400= 0.55 及 260/400=0.65

也就是說當 p hat <0.55 或 p hat >0.65時，拒絕H0

H0: P ＝ 0.6
H1: P ≠ 0.6

α = P(拒絕H0︱H0為真)

= P(p hat< 0.55 或 p hat > 0.65 ︱p =0.6 )

n>30為大樣本，可以常態近似

所以 p hat ~N(p, pq/n) q= 1-p ， σ p hat = (pq/n)^0.5

當p = 0.6 , σ p hat = (0.6*0.4/400)^0.5 = 0.024

∴ α =P[Z<(0.55-0.6)/0.024 或 Z>(0.65-0.6)/0.024]

=P(Z<- 2.08 或 P> 2.08)

=1- P(-2.08≦Z≦2.08)

=1- 2P(0≦Z≦2.08)

=1- 2*0.4812

=0.0376
H0:μ＝1000
3. 一般對H1:Θ≠Θ0採兩端檢定，試以H1:μ≠1000及σ2= 300^2

， n=100，在μ=925, 950, 975, 1025, 1050, 1075, α=5%下，

分別繪出當採左尾、右尾及兩尾檢定的檢定力曲線，並說明選擇兩尾

檢定較佳的理由。

答案
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︱ μ ︱925 ︱ 950 ︱ 975 ︱ 1025 ︱ 1050 ︱ 1075 ︱
-----------------------------------------------------------------
︱右尾檢定︱ 0 ︱ 0 ︱ 0.0068︱ 0.209 ︱ 0.5120︱ 0.8051︱
-----------------------------------------------------------------
︱左尾檢定︱0.8051 ︱ 0.512 ︱ 0.209 ︱ 0.0068︱ 0 ︱ 0 ︱
----------------------------------------------------------------
︱兩尾檢定︱0.7054 ︱ 0.3859︱ 0.1318︱ 0.1318︱ 0.3859︱ 0.7054︱
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(1)依此法去畫作業特性曲線與檢定力曲線

(2)因為單尾會出現1-β=0， β =1 的情況，

使型II誤差出線的機率到達百分百而雙尾不

會有這種情況，故雙尾檢定較單尾檢定佳。

我的疑問：

1-β= P(拒絕H0︱H1為真)

若依此實際代入μ值去求 1- β，

H0: μ≦1000
右尾檢定H1: μ＞1000

在 μ= 925, 950, 975下， H1不真，硬代入求檢定力曲線，

才出現β=1的情況，實際上，若要強烈規範H1為真，

μ= 925, 950, 975不會代進去，同時也不會發生1-β=0

, β=1的情況，型II誤差發生的機率不會到1。

H0: μ≧1000
同理，左尾檢定H1: μ＜1000

在 μ= 1025, 1050, 1075下， H1不真，硬代入求檢定力曲線，

才出現β=1的情況，實際上，若要強烈規範H1為真，

μ= 1025, 1050, 1075不會代進去，同時也不會發生1-β=0,

β=1的情況，型II誤差發生的機率不會到1。

如此一來，以β=1的情況來說明雙尾檢定優於單尾檢定，

好似有點牽強，感覺像是作者為了向我們說明，

特別造出特例(左右尾不符合H1為真的情況)來，但這特例事實

上並不存在(強烈規範H1為真下)，不知是否有其他說明的方法呢?

感謝答覆!







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