【立場轉載】【2020 諾貝爾物理學獎】廣義相對論與宇宙最黑暗秘密

打風落雨留在家，為何不試試學習黑洞的理論呢？😹😹😹

／／諾貝爾獎有三個科學奬項，我們在學校也習慣以「物理、化學、生物」等不同科目去區分不同科學領域。這種分界當然能夠方便我們以不同角度去理解各種自然現象，但大自然其實是不分科目的。科學最有趣的是各種自然現象環環相扣，我們不可能只改變大自然的某一個現象而不影響其他。就好像蝴蝶效應，牽一髮而動全身。

廣義相對論間接推論暗物質存在的必要

廣義相對論是目前最先進的重力理論，它能夠解釋迄今為止所有實驗和觀測數據。然而，天文學家發現銀河系的轉速和可觀測宇宙的物質分佈，都顯示需要比觀測到的物質更加多的質量。這是物理學的其中一個未解之謎，有時會被稱為「消失的質量」問題。那些「應該在而卻看不到」的物質，就叫做暗物質 (dark matter) 。

有些物理學家猜測，會否根本沒有暗物質，而是廣義相對論需要被修改呢？他們研究「修正重力 (modified gravity) 」理論，希望藉由修正廣義相對論去解釋這些觀察結果，無需引入暗物質這個額外假設。可是從來沒有修正重力理論能媲美廣義相對論，完美地描述宇宙一切大尺度現象。

天文學研究向來難以得到諾貝爾獎，因為天文發現往往缺乏短期實際應用。然而過去十年之間，有關天文發現的研究卻得到了五個諾貝爾物理學獎。換言之，過去幾十年間改變人類對宇宙的基本認知的，有一半是來自於天文現象。其中有關廣義相對論的包括 2017 年的重力波觀測、 2019 年的宇宙學研究，以及 2020 年的黑洞研究。

不過很少人提及這三個關於廣義相對論的發現其實同時令暗物質的存在更加可信。因為這些發現測量得越精確，就代表廣義相對論的錯誤空間更小。換句話說，物理學家越來越難以靠修正重力去解釋「消失的質量」問題，所以暗物質的存在就越來越有其必要了。

換句話說，如果證明黑洞存在，其對科學的影響並不單止是為愛因斯坦的功績錦上添花，而是能夠加深人類對構成宇宙的物質的理解。

描述四維時空的圖

談黑洞之前，我們首先要理解一下，物理學家是如何研究時空的。研究時空的一種方法，就是利用所謂的時空圖 (spacetime diagram) 。一般描述幾何空間的圖，在直軸和橫軸分別表示長和闊，形成一個二維平面。有時更可按需要加多一條垂直於平面的軸，代表高度。長、闊、高，構成三維空間。但如果要再加上時間呢？那麼就再在垂直於長、闊、高的第四個方向畫一條軸吧。咦？

怎麼了，找不到第四個方向嗎？這是當然的，因為我們都是被囚禁在三維空間之中的生物。如果有生活在四維空間裡的生物，牠們會覺得我們很愚蠢，問我們：「為什麼不『抬頭』？第四個方向不就在這邊嗎？」就像我們看著平面國的居民一樣，在二維生物眼中，牠們的世界只有前後左右，沒有上下。到訪平面國的我們也會問：「為什麼不『抬頭』？第三個方向不就在這邊嗎？」但牠們無論如何也做不到。

宇宙是三維空間，另外加上時間。如果要加上時間軸這個「第四維」的話，我們就必須犧牲空間維度。物理學家使用的時空圖就是個三維空間，直軸代表時間（時間軸）、兩條水平的橫軸代表空間（空間軸）。當然，把本來的三維空間放在二維的平面上，我們需要一些想像力。在時空圖上，每個點都代表在某時某地發生的一件事件 (event) ，因此我們可以利用時空圖看出事件之間因果關係。一個人在時空中活動的軌跡，在時空圖上稱為世界線 (world line) 。

由於時間軸是垂直的，並且從時空圖的「下」向「上」流動。一個站在原地位置不變的人的世界線會是平行時間軸的直線。由於光線永遠以光速前進，光線的世界線會是一條斜線。而只要適當地選擇時間軸和空間軸的單位，光線的世界線就會是 45 度的斜線。因為沒有東西能跑得比光快，一個人未來可以發生的事件永遠被限制在「上」的那個由無數條 45 度的斜線構成的圓錐體之間，而從前發生可以影響現在的所有事件則永遠在「下」的圓錐體之間。這兩個「上」和「下」的圓錐體內的區域稱為那個人當刻的光錐 (light cone) ，而物理學家則習慣以「未來光錐 (future light cone) 」和「過去光錐 (past light cone) 」分別表示之。

所有東西的世界線都必定被位於未來和過去光錐之內。在沒有加速度的情況下，所有世界線都會是直線。如果涉及加速，世界線就會是曲線。而廣義相對論的核心概念，就是重力與加速度相等，兩者是同一種東西。因此我們就知道如果在時空圖上放一個質量很大的東西，例如黑洞，那麼附近的世界線就會被扭曲。不單是物質所經歷的事件，連時空也會被重力場扭曲，因此時空圖上的格網線和光錐都會被扭曲往黑洞的方向。換句話說，越接近黑洞，你的越大部分光錐就會指向黑洞內部。因為你的世界線必須在光錐之內，你會剩下越來越小的可能逃離黑洞的吸引。

2020 年的諾貝爾物理學獎一半頒給了彭羅斯 (Roger Penrose) ，以表揚他「發現黑洞形成是廣義相對論的嚴謹預測」。在彭羅斯之前的研究，大都對黑洞的特性作出了一些假設，例如球狀對稱。這是因為以往未有電腦能讓物理學家模擬黑洞，只能用人手推導方程。但廣義相對論是非線性偏微分方程，就算不是完全沒有可能也是極端難解開的，所以物理學家只能靠引入對稱和其他假設去簡化方程。因此許多廣義相對論的解都是帶有對稱假設的。這就使包括愛因斯坦在內的許多物理學家就疑惑，會不會是因為額外加入的對稱假設才使黑洞出現？在現實中並沒有完美的對稱，會不會就防止了黑洞的出現？

黑洞只是數學上的副產品嗎？

彭羅斯發現普通的高等數學並不足以解開廣義相對論的方程，因此他就轉向拓撲學 (topology) ，而且必須自己發明新的數學方法。拓撲學是數學其中一個比較抽象的分支，簡單來說就是研究各種形狀的特性的學問。 1963 年，他利用一種叫做共形變換或保角變換 (conformal transformation) 的技巧，把原本無限大的時空圖（因為空間和時間都是無限延伸的）化約成一幅有限大小的時空圖，稱為彭羅斯圖 (Penrose diagram) 。

彭羅斯圖的好處除了是把無限縮為有限，還有另一個更重要的原因：故名思義，經過保角變換後的角度都不會改變。其實在日常生活中，我們經常都會把圖變換為另一種表達方式，例如世界地圖。由於地球表面是彎曲的，如果要把地圖畫在平面的紙上，就必須利用類似的數學變換。例如我們常見的長方形或橢圓形世界地圖，就是利用不同的變換從球面變換成平面。有些變換並不會保持角度不變，例如在飛機裡看到的那種世界地圖，在球面上的「直線」會變成了平面上的「曲線」。

扯遠了。回來談彭羅斯圖，為什麼他想要保持角度不變？因為這樣的話，光錐的方向就會永遠不變，我們可以直接看出被重力影響的事件的過去與未來。彭羅斯也用數學證明，即使缺乏對稱性，黑洞也的確會形成。他更發現在黑洞裡，一個有著無限密度的點——奇點 (singularity) ——必然會形成。這其實就是彭羅斯-霍金奇點定理 (Penrose-Hawking singularity theorem) ，如果霍金仍然在世，他亦應該會共同獲得 2020 年諾貝爾物理學獎。

在奇點處，所有已知物理學定律都會崩潰。因此，很多物理學家都認為奇點是不可能存在宇宙中的，但彭羅斯的計算卻表明奇點不但可以存在，而且還必定存在，只是在黑洞的內部罷了。如果黑洞會旋轉的話（絕大部分都會），裡面存在的更不會是奇點，而是一個圈——奇異圈 (singularity ring) 。

黑洞的表面拯救了懼怕奇點的物理學家。黑洞的表面稱為事件視界 (event horizon) ，在事件視界之內，你必須跑得比光線更快才能回到事件視界之外。因此沒有任何物質能夠回到黑洞外面，所以黑洞裡面發生什麼事，我們都無從得知。就是這個原因給予了科幻電影如《星際啟示錄 (Interstellar) 》創作的空間——在黑洞裡面，編劇、導演和演員都可以天馬行空。只要奇點永遠被事件視界包圍，大部分科學家就無需費心去擔心物理學可能會分崩離析了。甚至有些科學家主張，研究黑洞的內部並不是科學。

雖然如此，卻沒有阻礙彭羅斯、霍金等當代理論天體物理學家，利用與當年愛因斯坦所用一樣的工具——紙和筆——去研究黑裡面發生的事情。雖然或許我們永遠無法證實，但他們的研究結果絕非無中生有，而是根據當代已知物理定律的猜測，即英文中所謂 educated guess 。利用彭羅斯圖，我們發現不單奇點必定存在，而且在黑洞裡面，時間和空間會互相角色。

但這是什麼意思？數學上，時間和空間好像沒有分別，但在物理上兩者分別明顯：在空間中我們可以自由穿梭，但在時間裡我們卻只能順流前進。彭羅斯發現，帶領掉入黑洞的可憐蟲撞上奇點的並非空間，而是時間，因此我們也說奇點是時間的終點。亦因為在黑洞裡面掉落的方向是時間，向後回頭是不可能的，所以一旦落入黑洞，就只能走向時空的終結。

看見黑洞旁的恆星亂舞

另一半諾貝爾獎由 Reinhard Genzel 和 Andreas Ghez 平分，以表揚他們「發現銀河系中心的超大質量緻密天體」。銀河系中心的確有一個超大質量的物體，而且每個星系中心都有一個。這些質量極大的物體，就是所謂的超大質量黑洞 (supermassive blackholes) 。

上世紀 50 年代開始，天文學家陸續發現了許多會釋放出無線電輻射的天體，稱為類星體 (quasars) 。之後其中一個類星體 3C273 被觀測確認是銀河系外的星系中心。根據計算， 3C273 釋放出的無線電能量是銀河系中所有恆星的 100 倍。起初，天文學家認為這些能夠釋放巨大能量的類星體，必然是些比太陽重百萬倍的恆星。但是理論計算結果卻表明，這麼重的恆星會是極不穩定的，而且壽命會非常短，因此類星體不可能是恆星。

為什麼這些類星體不可能是恆星？因為恆星的發光度是有極限的，而且正比於恆星的質量。這個極限稱為愛丁頓極限 (Eddington limit) 。如果恆星的發光度超出愛丁頓極限，光壓（radiation pressure ，即光子對物質所施的壓力）就會超過恆星自身的重力，恆星就會變得不穩定。因此，天文學家逐漸改而相信類星體是位於星系中心的超大質量黑洞。這也令類星體多了一個名字：活躍星系核（active galactic nucleus）。

每個黑洞旁邊都有一個最內穩定圓形軌道 (innermost stable circular orbit) ，依據黑洞會否旋轉而定，大概是黑洞半徑的 3–4.5 倍。比最內穩定圓形軌道更接近黑洞的範圍，環繞黑洞運行的物質都會因不穩定的軌道而墜落黑洞之中，並在墜落的過程中釋放出 6–42% 的能量，因此可以解釋活躍星系核的強大發光度。

另一方面，彭羅斯在 1969 年亦發現一個旋轉的黑洞能夠把能量轉給物質，並且把物質拋出去，這個過程稱為彭羅斯過程 (Penrose process) 。換言之，從黑洞「偷取」能量是有可能的。科學家估計，科技非常先進的外星文明有可能居住於黑洞附近，並利用彭羅斯過程從黑洞提取免費的能源。這個過程亦進一步支持超大質量黑洞能夠釋放巨大能量的理論。

由於 E=mc2 ，能量即是質量，因此被偷取能量的黑洞的質量就會減少。霍金在 1972 年發現一個不會旋轉的黑洞的表面積不可能減少。黑洞質量越大，其表面積就越大，因此不會旋轉的黑洞不會有彭羅斯過程。他亦發現，如果是個會旋轉的黑洞，其表面積是有可能減少的。因此霍金的結論支持了彭羅斯的理論。

Genzel 和 Ghez 兩人的研究團隊已經分別利用位於智利的歐洲南方天文台 (European Southern Observatory) 的望遠鏡和位於夏威夷的凱克望遠鏡 (Keck Telescope) 監察了距離地球約 25,000 光年的銀河系中心區域將近 30 年之久。他們發現有很多移動速度非常快的恆星，正在環繞一個不發光的物體轉動。這個不發光的物體被稱為人馬座 A* (Sagittarius A*, 縮寫為 Sgr A*) 。 Sgr A* 會放出強大的無線電波，這點與活躍星系核的情況相似。

他們不單確認了這些恆星的公轉速率與 Sgr A* 的距離的開方成反比， Genzel 的團隊更成功追蹤了一顆記號為 S2 的恆星的完整軌跡。這兩個結果都表明， Sgr A* 必然是一個非常細小但質量達 400 萬倍太陽質量的緻密天體。這樣極端的天體只有一種可能性：超大質量黑洞。

霍金輻射　黑洞的未解之謎

諾貝爾物理學委員會在解釋科學背景的文件中亦特別提及霍金的黑洞蒸發理論以及霍金輻射 (Hawking radiation) 。現時仍然未能探測到霍金輻射的存在，未來若成功的話除了將再一次驗證廣義相對論以外，更會對建立量子重力理論 (quantum gravity theory) 大有幫助。就讓我們拭目以待吧！

重力波研究、宇宙學研究、黑洞研究，都是直接檢驗廣義相對論預言的方法。加上 2019 年 4 月 10 日公布的黑洞照片，大自然每一次都偏心愛因斯坦。相信愛因斯坦在天上又會伸出舌頭，調皮地說：「我早就知道了！」／／

#發文 http://foodchainunme.blogspot.com/2020/06/pizza-ian-spampatti.html#more
#全野酵Pizza做法
#Ian_Spampatti義大利年輕得獎烘焙師傅食譜實作
#私房番茄醬料製作食譜
#小山進1人でステイホーム企画IG連結
一樣在這裡節錄內文. 因為製作的過程搭配圖片比較清楚...

IG 上有很多在自己國家非常有名的一些烘焙人士. 也有可能是因為刷IG 比在FB 方便且快. 這些大人物還蠻常在IG 上流連的.
例如. 小山進大師. 這個我一直都很感謝的甜點烘焙師. 為什麼人家可以得好多次電視冠軍? 因為相同食材在他的手上可以更好吃更好看. 怎麼做? 藏在細節裡.
我的很多做甜點的觀念都是在跟著他的食譜時建立起來的. 所以之後遇到一些別人食譜中的步驟就會想為什麼不一樣? 怎麼改進?
一個疫情讓大家有時間家裡蹲. 小山大師也不例外. 所以他在IG 上錄製了好多的食譜. 主題叫 🏠小山進1人でステイホーム企画 各個都是詳細作法, 好奇的朋友不妨以 #小山進レシピ 在IG 上看.
或是就直接跟著他的IG 帳號: https://www.instagram.com/es_koyama/
日文~ 我也聽不太懂. 但是他錄製的角度及作法都非常仔細清楚. 尤其是看他流暢地擀酥皮. 煮榛果奶油實在很療癒~

另外就要來介紹我今天這個pizza的學習來源.
Ian Spampatti
他是一個非常非常年輕的義大利烘焙師傅. 1998年生@@ 也就是說今年才22歲. 但他十幾歲就已經開始拿獎了. 我覺得Pizza 是義大利的經典食物. 他的父母在他15歲那年開了一間pizza 店在那樣的環境長大. 但對於麵糰的敏感度. 應該是天才級才有的. 只是在他的網站及IG還有FB 都是義大利文. 連他公布的食譜也沒有詳細到可以用 google translate 完整拿到. 不過. 整個過程還是可以猜測的.
他在youtube 上有一些很清楚的影片. Ian Spampatti Youtube頻道
應該是非常不藏私的年輕人.
因為~ 很多話.
但是....
我完全聽不懂!!!
你如果仔細看一下底下的留言. 清一色都是義大利文. 沒甚麼英文. 所以用Chrome 線上翻譯很輕鬆. 但或許是因為他在片子裡的解釋太清楚. 所以沒甚麼人問關於處理的問題.
我比較好奇的其實是他的一些麵糰休息時間.
今天的這個食譜比例是他的.
#我完全沒用到商酵 他食譜中用商酵的Poolish 都是以新鮮餵養的野酵液種取代
但我真的不會義大利文. 所以. 我只好照著麵糰狀態走!

他給的食譜是這樣:

Per il poolish: poolish液種( 100%水量)

200g farina di tipo 1 (300w/12-13g proteine) 200 g Tipo 1 蛋白質含量 12-13 的麵粉
200g acqua 200 g 水
1g lievito di birra 1 g 商業酵母* 乾酵

Per il giorno seguente: 主麵糰
130g farina di tipo 1 (300w/12-13g proteine) 130 g Tipo 1 蛋白質含量 12-13 的麵粉
2g malto (oppure 5g miele) 2 g 麥芽精或是 5 g 蜂蜜
65g acqua 65 g 水
8g sale 8 g 鹽

然後你就得自己看視頻發揮想像力了!
https://www.youtube.com/watch?v=y7pp8ZVUXiU&t=550s

以下是我看過視頻以後自我發揮的作法. 步驟有沒有一樣我也不知道. 但成品真的非常好吃.

首先, 這個食譜對我是當天完成的. 他的poolish 應該製少也要有室溫8-12小時才能有那種長相
酸種準備:
野酵液種. 47 g: 水 188 g : 中筋麵粉Weizenmehl405 或 T55 , Tipo 00 ( 10 %蛋白質) 188 g 餵養.
放在27 度的發酵箱中.
約五小時兩倍以上高度
主麵糰:
將Weizenmehl 1050( 約 Tipo 1 或是T 80 範疇的粉) 130 g
粉狀麥芽精 5 g
與上述野酵( 我使用408 g ) 混合

我沒有桌上攪拌機. 所以這是我通常在另加水量時的做法.
65 g 水與 12 g 鹽混合
在麵糰成團後分次加入
德國最近很冷. 室溫約21 度. 我在放入麵糰後的40 分鐘進行了一次翻摺. 之後大約放了2 小時.
你要記住的是. 這個麵團應該要比你原來的麵糰大上至少一倍. 但是麵糰的摺疊的縫還是存在. 也就是說筋度沒有消失. Pizza麵糰要輕盈. 鹽的份量也得加夠. 好的餅皮通常不會酸.
整成長橢圓形後做最後發酵.
等待後發時就可以開始預熱石板及烤箱了. 烤箱我以270 度預熱

這次的pizza 烤法我用不同的方式. 因為我們家小孩昨天晚上比較晚回家. 我不想把所有的餡料都填上. ( 不過我準備烤的時候可以吃最多的人~~我兒子回家了. 所以有變化一下)
烤箱關上加熱功能只開燈這是9分鐘後拉出來
把煮好的番茄醬料及Mozzarella 起司放上(這是 pizza margherita 版本) 但因為我兒回家了~ 所以部分補上臘腸片及一點Gouda 的版本( Pizza Salami) 改成只用上火250 度. 烤約4~5分鐘就會變成以下的樣子.
出爐後, 有淋上一點點橄欖油
你如果去義大利走一遭. 他們的所謂的好的Pizza 真的很厲害. 光是看我之前去San Remo 所買的麵包就可以知道. 雖然是商酵. 但通常麵皮處理都非常好.

心得:
1. 很多pizza 麵糰都是會加2-5% 的橄欖油的. 那也是為了保溼. 但是, 這個麵團用的是中種法的方式. Poolish 的量比主粉還多. 整體非常軟潤.你明顯可以看到這個麵糰的濕軟程度
在他的食譜裡是全部都放Tipo 1 的! 一定很脆口 我主粉的Weizenmehl1050 讓這個餅皮有脆脆的口感. 千萬不要看邊邊沒有料. 但其實那個有沾到橄欖油的邊是最好吃的. 我發現這個師父的鹽量都下2.5% 但好吃夠味道真的得2.5% 也就是說.pizza 其實是很高鈉的食物( 包括番茄醬) 所以吃pizza 真的得配一點飲料😅😅😅

2. 本來. 一直很害怕會長不好. 因為沒一次用過這麼多野酵液種在一個麵糰裡. 但是在處理的過程上. 卻看到這麼活躍的麵糰實在很開心.

3. 他在其他的影片中有提到他對於麵糰量的計算方式. 我覺得還蠻實用的. 他的方式就是把整個模的面積算出來. 例如: 30 x 40 cm 的盤. 他用1260 g 的麵團.

4. 我很喜歡他處理麵糰的方式. 整個" 泡" 在麵粉中的麵糰好療癒~ 應該會跟著做一些高水量麵糰. 用他的方式處理. 因為我還沒看過這種做法.
最後,
這是我看過最年輕最厲害的師傅. 剛開始我是因為看IG 上的手法. 能夠把pizza 短時間整圓整得非常好非常驚豔. 然後再看到他的臉. 一般來說. 做麵包的手通常很嫩. 但也不至於這麼嫩😅😅😅👀👀👀推老花眼. 然後發現他根本是可以當我兒子的年紀. 實在是不容小覷啊! 這個師父的商業行銷也很厲害. 仔細看過他做的Panettone 還真的是我目前看到除了 This is Roy 以外. 最平均也大的氣孔. https://www.instagram.com/p/B6H791QIuRy/?utm_source=ig_web_copy_link
真的是一個前途不可限量的年輕人. 我想我跟定他了! 😂😂😂

#德疫誌

成功高中畢業學長游舜凱，原本念台大生科，但不放棄行醫的抱負，花了1000多天的努力，終於考取心中理想：醫科。
舜凱學長之前分享了數學科重點和準備方法心態，現在分享物理囉！
快tag身邊的學測、指考戰士👍🏼
————————————
高二
▶️直線運動（自己念 不會可以回去國中再學）
▶️平拋 斜拋很重要（二維獨立性：水平方向 鉛直方向）
▶️靜力分析：
先全體，再個別
二維獨立性（水平鉛直 切線法線）
平衡＝合力為零 合力矩為零
移動平衡是看合力
轉動平衡是看合力矩
不平行的三力平衡延長線要共點且形成封閉三角形
▶️牛頓定理有三個
常用手法：
東西會動是因為有速度不是因為力（慣性）
靜摩擦力沒有公式 只有最大靜摩擦力有公式
合力（大減小）＝選定系統質量 X 加速度
▶️簡諧運動：
等速率圓周運動投影為簡諧運動
討論位移 速度 加速度 絕對不要背公式 用畫圖的 減少記憶負擔
端點：加速度最大 速度為零
平衡點：加速度為零 速度最大
彈簧只會考水平 鉛直彈簧如果不會可以略之
▶️動量守恆的前提系統不受外力（注意是鉛直方向守恆還是水平方向守恆）
角動量守恆的前提是不生力矩
力是動量的時變率 力矩是角動量的時變率
力學能守恆的前提：僅保守力（重力 彈力 電力）做功
▶️天體能量搭配克普勒行星運動定律命題（注意橢圓軌道 or 圓形軌道）
▶️衝量動量定理：F(力）x T(經過時間）＝M(系統質量）x 速度變化
功能定理：合力做功＝動能變化（注意：做功有正有負 變化量必為末減初）
FT圖面積表示衝量（動量變化） FX圖表示做功
AT圖面積表示速度變化
▶️看到題目有提力有時間基本上考衝動定理
看到題目有提及力和作用的距離通常考功能原理
▶️碰撞只有三種：完全彈性碰撞 非彈性碰撞 完全非彈性碰撞（碰撞合體）
碰撞一定動量守恆 但是力學能不一定守恆
可以把系統動能分成質心動能和內動能（內動能公式強烈建議背）
質心動能永不變 通常都是內動能做能量轉換（轉成彈力位能 或是熱能散失等等）
完全彈碰的速度公式要背（106指考單選有命題）
▶️等速率圓周運動公式要背
會衍生考天體圓周 或是 電子繞原子核做圓周
列式都從：庫侖力或是萬有引力當作向心力 開始想
建議天體圓周的速度公式和週期公式要背
氣體動力論推導一次背結論
氣體混合不外乎利用莫耳數守恆和能量守恆（化學考氣體混合可能會反應）
注意題目是問總能 一個分子平均動能 還是 一莫耳平均動能
▶️波動通常考圖型
看題目一定先看是給 Y-X圖（波形圖） 還是 Y-T圖（波上某點的位移圖）
固定端 自由端圖片判讀
駐波很重要：兩端固定 or 一端固定一端開放
駐波頻率公式直接背（搭配諧音 泛音）
▶️光學偏重考物理光學 幾何光學的部分通常命題點是全反射（考古題很多不贅述）
全反射的臨界角公式一定要背 只有密介質到疏介質才可能全反射
全反射計算可能搭配三角的公式代換 角度大膽假設一定可以消或是代換
幾何光學一定要會斯司奈爾公式
透鏡的題目命題率太低（時間不夠就略看） 但是透鏡公式要會背會用
視深實深問題不常考但106指考單選有命題 稍微注意！！
————————————
❤️其他重點放在留言區哦！

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● 碰點：計算由指定點定義的區域的面積和周長。
● 物件(O)：選取物件，如圓、橢圓、雲形線、聚合線、多邊形、面域和 3D 實體。
● 加上面積(A)：點選點並選取物件(O)以取得加總計算。
● 減去面積(S)：從總面積減去面積和周長。您可以點選點或選取物件(O)以取得計算。
● 技巧：淨面積要先加後減

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● 碰點：計算由指定點定義的區域的面積和周長。
● 物件(O)：選取物件，如圓、橢圓、雲形線、聚合線、多邊形、面域和 3D 實體。
● 加上面積(A)：點選點並選取物件(O)以取得加總計算。
● 減去面積(S)：從總面積減去面積和周長。可以點選點或選取物件(O)以取得計算。
● 技巧：淨面積要先加後減
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