【新文章】一天真的剛好24小時嗎？

上一篇文章《為什麼一天有24小時？》引起了幾位讀者朋友對1秒的現代科學定義的討論，我覺得是非常好的現象，說明很多朋友都覺得科學是有趣的，會在讀完文章後繼續思考，而不是把我說的照單全收。其中余承翰和Milka Wong分別對埃及的講解和中國的情況作出補充，非常感謝。朋友Lezhi Lo更不吝分享了他製作的精美圖解，解釋了使用銫-133作為現代計時基準的物理學上的考慮。非常感謝Lezhi的補充，他的圖解比我的文章更直觀也更易明白。

不過除了物理學上的原因，還有最後一個非常重要的理由，就是銫-133的基態超精細結構躍遷頻率剛剛好等於以往天文學上測量到的曆書秒（ephemeris second），或即現代的原子時，即以天文考量而把一天切割成 24 x 60 x 60 = 86,400 等份。這個做法對日常生活影響最小，因此亦最能為社會所接受。

有見及此，我希望把這討論延伸，講講天文學上關於一天的長度的幾種不同定義。

試想像我們是活在古代的天文學家，我們可以如何定義一天的長度呢？最簡單的做法，就是每天晚上觀察天上的星星東升西落，然後計算在下一個晚上需要多少時間才能看見一模一樣的星空。這樣做的好處是換日期的時間在午夜，不會對日間活動的人類造成混淆。這樣定義的一天叫做恆星日或回歸日（sidereal day）。

然而，我們會發現一個問題：雖然星空和太陽一樣，每日都會東升西落一次，但星空的運轉速率比太陽快一點點，只需要23小時56分鐘4秒就完成一圈，而太陽卻需要24小時。這是因為地球在自轉的同時亦在環繞太陽公轉，因此如上圖所示地球需要比星空轉一圈再轉多一點點才能再次對準太陽。這樣就有麻煩了，半年後，午夜零時豈不是會發生在正午？

因此，我們就想出了另外一個方法定義一天的長度：太陽每天正午時分都必定位於南北指向的子午線之上（「子午」就是這個意思），因此只需要把連續兩個正午之間的時間間隔定義為一天就好了！這樣做的話能確保正午都發生在太陽穿越子午線的一刻，不會導致日夜顛倒。這樣定義的方法叫做太陽日（solar day），長度當然是剛剛好24小時，因為這根本就是定義24小時的方法啊。

然而，我們還有一個問題。如果地球環繞太陽的軌道是正圓形的話還可以，但是地球軌道其實是橢圓形的。這就出現了另一個問題：地球公轉的速率每天都不一樣，使得每個太陽日的長度都不一樣！如果硬要以太陽日為定義24小時的方法，難道1秒的長度要變得每天都不一樣嗎？

最後，我們想到了一個方法，就是把一天的長度與每天的實際太陽日長度脫鈎，轉移使用一年下來的每一天太陽日的平均長度：這叫做平太陽日（mean solar day）。我們更進一步直接定義一個平太陽日為86,400秒，再把換天的時刻定為日落後、日出前這段夜晚時間的正中間，這就解決了大部分日常生活所需的問題了。亦因為這樣的定義，正午都不會是發生在剛剛好12時正的，有時會比12時早、有時比12時遲。

然而，跟據現代科學使用銫-133定義出來的1秒，長度其實並不剛剛等於用平太陽日切割出來的1秒。這是因為潮汐作用使地球轉得越來越慢。現在一個平太陽日太約等於86,400.002個銫-133定出來的秒。所以我們可能會以為，一年下來會累積365 x 0.002 = 0.73秒，即差不多一秒！這樣的話豈非每隔年就必須加入潤秒嗎？可是我們知道加入潤秒其實並不常見，加入的時間亦絕非週期性。為什麼呢？

這是因為地球並非只有自轉、公轉、潮汐作用等會影響太陽日的長度。地殼活動、季候風、洋流等等都會影響地球的轉速，而且還未考慮歲差——自轉軸因太陽和其他行星重力造成的進動和章動等影響。因此每天的長度其實是混沌的，非常難以用理論準確預測，只能透過實際測量得知。總言之，上述各種貢獻相加，令我們並不需要隔年就添加潤秒。

討論了秒、分、時、天的定義，下次我們再討論有關定義月和年的問題。

延伸閱讀：

有關潤秒可參考NASA的講解：https://www.nasa.gov/feature/goddard/nasa-explains-why-june-30-will-get-extra-second

港大物理系課程Nature of the Universe網上講義：https://www.lcsd.gov.hk/CE/Museum/Space/archive/EducationResource/Universe/framed_e/index.html

封面圖片：NASA

『北門國小老講堂 保存屬於學校的回憶』
北門國小日治老講堂變身蒂芬尼藍小藝廊

將老講堂賦予新生命！新竹市北門國小「同心堂」建於1933年，「仿羅馬式」建築於日治時期是集會講堂，88年老空間漸不敷使用，2020年北門國小獲選「教育部校園美感設計實踐計畫」，由台灣設計研究院委託在地設計團隊「黑生起司」操刀，以日治半橢圓拱窗框的「蒂芬尼藍」為主軸，讓同心堂變身「校園小藝廊」，可做展覽、表演，甚至體育課程等多元使用，一掃原先的「陰森」印象，變成孩子喜歡親近的展演空間。

北門國小為新竹市的老學校，其中，同心堂原空間設備老舊，動線不佳，整個空間看起來非常陰暗冷清，去年「教育部校園美感設計實踐計畫」，由設計團隊黑生起司進駐，與學校討論設計，共投入205萬，希望一改同心堂「沒人想使用」的半閒置狀態，今天看到了設計完成的同心堂，令我眼睛為之一亮，將老講堂賦予新生命，歷史痕跡不能遺忘，用另一種方式將它保留下來。

賴雲鵬校長也跟我分享，以前的同心堂光線昏暗，舞台設計太高，學生使用上很不方便，反而常被租借當辦桌場地或做儲物空間，現在空間完全脫胎換骨，學生的藝能表演課程又多了一新去處，是學校的一大福音。

我想，翻轉教育不一定是從教學上、課本上，也可以就近瞭解學校的歷史，北門國小滿城桃李，矗立新竹百餘年，新竹市是一座古老城市，值得我們細細品味這其中歷史遺跡、建築故事，謝謝教育部、市府以及黑生起司的操刀，用嶄新概念「校園博物館」，將同心堂打造為符合新竹市意象的「兒童探索基地」，期待未來，新竹市能有更多學校參與改造計畫，新舊交織下，會設計成什麼模樣呢？真是讓人期待。

【立場轉載】【2020 諾貝爾物理學獎】廣義相對論與宇宙最黑暗秘密

打風落雨留在家，為何不試試學習黑洞的理論呢？😹😹😹

／／諾貝爾獎有三個科學奬項，我們在學校也習慣以「物理、化學、生物」等不同科目去區分不同科學領域。這種分界當然能夠方便我們以不同角度去理解各種自然現象，但大自然其實是不分科目的。科學最有趣的是各種自然現象環環相扣，我們不可能只改變大自然的某一個現象而不影響其他。就好像蝴蝶效應，牽一髮而動全身。

廣義相對論間接推論暗物質存在的必要

廣義相對論是目前最先進的重力理論，它能夠解釋迄今為止所有實驗和觀測數據。然而，天文學家發現銀河系的轉速和可觀測宇宙的物質分佈，都顯示需要比觀測到的物質更加多的質量。這是物理學的其中一個未解之謎，有時會被稱為「消失的質量」問題。那些「應該在而卻看不到」的物質，就叫做暗物質 (dark matter) 。

有些物理學家猜測，會否根本沒有暗物質，而是廣義相對論需要被修改呢？他們研究「修正重力 (modified gravity) 」理論，希望藉由修正廣義相對論去解釋這些觀察結果，無需引入暗物質這個額外假設。可是從來沒有修正重力理論能媲美廣義相對論，完美地描述宇宙一切大尺度現象。

天文學研究向來難以得到諾貝爾獎，因為天文發現往往缺乏短期實際應用。然而過去十年之間，有關天文發現的研究卻得到了五個諾貝爾物理學獎。換言之，過去幾十年間改變人類對宇宙的基本認知的，有一半是來自於天文現象。其中有關廣義相對論的包括 2017 年的重力波觀測、 2019 年的宇宙學研究，以及 2020 年的黑洞研究。

不過很少人提及這三個關於廣義相對論的發現其實同時令暗物質的存在更加可信。因為這些發現測量得越精確，就代表廣義相對論的錯誤空間更小。換句話說，物理學家越來越難以靠修正重力去解釋「消失的質量」問題，所以暗物質的存在就越來越有其必要了。

換句話說，如果證明黑洞存在，其對科學的影響並不單止是為愛因斯坦的功績錦上添花，而是能夠加深人類對構成宇宙的物質的理解。

描述四維時空的圖

談黑洞之前，我們首先要理解一下，物理學家是如何研究時空的。研究時空的一種方法，就是利用所謂的時空圖 (spacetime diagram) 。一般描述幾何空間的圖，在直軸和橫軸分別表示長和闊，形成一個二維平面。有時更可按需要加多一條垂直於平面的軸，代表高度。長、闊、高，構成三維空間。但如果要再加上時間呢？那麼就再在垂直於長、闊、高的第四個方向畫一條軸吧。咦？

怎麼了，找不到第四個方向嗎？這是當然的，因為我們都是被囚禁在三維空間之中的生物。如果有生活在四維空間裡的生物，牠們會覺得我們很愚蠢，問我們：「為什麼不『抬頭』？第四個方向不就在這邊嗎？」就像我們看著平面國的居民一樣，在二維生物眼中，牠們的世界只有前後左右，沒有上下。到訪平面國的我們也會問：「為什麼不『抬頭』？第三個方向不就在這邊嗎？」但牠們無論如何也做不到。

宇宙是三維空間，另外加上時間。如果要加上時間軸這個「第四維」的話，我們就必須犧牲空間維度。物理學家使用的時空圖就是個三維空間，直軸代表時間（時間軸）、兩條水平的橫軸代表空間（空間軸）。當然，把本來的三維空間放在二維的平面上，我們需要一些想像力。在時空圖上，每個點都代表在某時某地發生的一件事件 (event) ，因此我們可以利用時空圖看出事件之間因果關係。一個人在時空中活動的軌跡，在時空圖上稱為世界線 (world line) 。

由於時間軸是垂直的，並且從時空圖的「下」向「上」流動。一個站在原地位置不變的人的世界線會是平行時間軸的直線。由於光線永遠以光速前進，光線的世界線會是一條斜線。而只要適當地選擇時間軸和空間軸的單位，光線的世界線就會是 45 度的斜線。因為沒有東西能跑得比光快，一個人未來可以發生的事件永遠被限制在「上」的那個由無數條 45 度的斜線構成的圓錐體之間，而從前發生可以影響現在的所有事件則永遠在「下」的圓錐體之間。這兩個「上」和「下」的圓錐體內的區域稱為那個人當刻的光錐 (light cone) ，而物理學家則習慣以「未來光錐 (future light cone) 」和「過去光錐 (past light cone) 」分別表示之。

所有東西的世界線都必定被位於未來和過去光錐之內。在沒有加速度的情況下，所有世界線都會是直線。如果涉及加速，世界線就會是曲線。而廣義相對論的核心概念，就是重力與加速度相等，兩者是同一種東西。因此我們就知道如果在時空圖上放一個質量很大的東西，例如黑洞，那麼附近的世界線就會被扭曲。不單是物質所經歷的事件，連時空也會被重力場扭曲，因此時空圖上的格網線和光錐都會被扭曲往黑洞的方向。換句話說，越接近黑洞，你的越大部分光錐就會指向黑洞內部。因為你的世界線必須在光錐之內，你會剩下越來越小的可能逃離黑洞的吸引。

2020 年的諾貝爾物理學獎一半頒給了彭羅斯 (Roger Penrose) ，以表揚他「發現黑洞形成是廣義相對論的嚴謹預測」。在彭羅斯之前的研究，大都對黑洞的特性作出了一些假設，例如球狀對稱。這是因為以往未有電腦能讓物理學家模擬黑洞，只能用人手推導方程。但廣義相對論是非線性偏微分方程，就算不是完全沒有可能也是極端難解開的，所以物理學家只能靠引入對稱和其他假設去簡化方程。因此許多廣義相對論的解都是帶有對稱假設的。這就使包括愛因斯坦在內的許多物理學家就疑惑，會不會是因為額外加入的對稱假設才使黑洞出現？在現實中並沒有完美的對稱，會不會就防止了黑洞的出現？

黑洞只是數學上的副產品嗎？

彭羅斯發現普通的高等數學並不足以解開廣義相對論的方程，因此他就轉向拓撲學 (topology) ，而且必須自己發明新的數學方法。拓撲學是數學其中一個比較抽象的分支，簡單來說就是研究各種形狀的特性的學問。 1963 年，他利用一種叫做共形變換或保角變換 (conformal transformation) 的技巧，把原本無限大的時空圖（因為空間和時間都是無限延伸的）化約成一幅有限大小的時空圖，稱為彭羅斯圖 (Penrose diagram) 。

彭羅斯圖的好處除了是把無限縮為有限，還有另一個更重要的原因：故名思義，經過保角變換後的角度都不會改變。其實在日常生活中，我們經常都會把圖變換為另一種表達方式，例如世界地圖。由於地球表面是彎曲的，如果要把地圖畫在平面的紙上，就必須利用類似的數學變換。例如我們常見的長方形或橢圓形世界地圖，就是利用不同的變換從球面變換成平面。有些變換並不會保持角度不變，例如在飛機裡看到的那種世界地圖，在球面上的「直線」會變成了平面上的「曲線」。

扯遠了。回來談彭羅斯圖，為什麼他想要保持角度不變？因為這樣的話，光錐的方向就會永遠不變，我們可以直接看出被重力影響的事件的過去與未來。彭羅斯也用數學證明，即使缺乏對稱性，黑洞也的確會形成。他更發現在黑洞裡，一個有著無限密度的點——奇點 (singularity) ——必然會形成。這其實就是彭羅斯-霍金奇點定理 (Penrose-Hawking singularity theorem) ，如果霍金仍然在世，他亦應該會共同獲得 2020 年諾貝爾物理學獎。

在奇點處，所有已知物理學定律都會崩潰。因此，很多物理學家都認為奇點是不可能存在宇宙中的，但彭羅斯的計算卻表明奇點不但可以存在，而且還必定存在，只是在黑洞的內部罷了。如果黑洞會旋轉的話（絕大部分都會），裡面存在的更不會是奇點，而是一個圈——奇異圈 (singularity ring) 。

黑洞的表面拯救了懼怕奇點的物理學家。黑洞的表面稱為事件視界 (event horizon) ，在事件視界之內，你必須跑得比光線更快才能回到事件視界之外。因此沒有任何物質能夠回到黑洞外面，所以黑洞裡面發生什麼事，我們都無從得知。就是這個原因給予了科幻電影如《星際啟示錄 (Interstellar) 》創作的空間——在黑洞裡面，編劇、導演和演員都可以天馬行空。只要奇點永遠被事件視界包圍，大部分科學家就無需費心去擔心物理學可能會分崩離析了。甚至有些科學家主張，研究黑洞的內部並不是科學。

雖然如此，卻沒有阻礙彭羅斯、霍金等當代理論天體物理學家，利用與當年愛因斯坦所用一樣的工具——紙和筆——去研究黑裡面發生的事情。雖然或許我們永遠無法證實，但他們的研究結果絕非無中生有，而是根據當代已知物理定律的猜測，即英文中所謂 educated guess 。利用彭羅斯圖，我們發現不單奇點必定存在，而且在黑洞裡面，時間和空間會互相角色。

但這是什麼意思？數學上，時間和空間好像沒有分別，但在物理上兩者分別明顯：在空間中我們可以自由穿梭，但在時間裡我們卻只能順流前進。彭羅斯發現，帶領掉入黑洞的可憐蟲撞上奇點的並非空間，而是時間，因此我們也說奇點是時間的終點。亦因為在黑洞裡面掉落的方向是時間，向後回頭是不可能的，所以一旦落入黑洞，就只能走向時空的終結。

看見黑洞旁的恆星亂舞

另一半諾貝爾獎由 Reinhard Genzel 和 Andreas Ghez 平分，以表揚他們「發現銀河系中心的超大質量緻密天體」。銀河系中心的確有一個超大質量的物體，而且每個星系中心都有一個。這些質量極大的物體，就是所謂的超大質量黑洞 (supermassive blackholes) 。

上世紀 50 年代開始，天文學家陸續發現了許多會釋放出無線電輻射的天體，稱為類星體 (quasars) 。之後其中一個類星體 3C273 被觀測確認是銀河系外的星系中心。根據計算， 3C273 釋放出的無線電能量是銀河系中所有恆星的 100 倍。起初，天文學家認為這些能夠釋放巨大能量的類星體，必然是些比太陽重百萬倍的恆星。但是理論計算結果卻表明，這麼重的恆星會是極不穩定的，而且壽命會非常短，因此類星體不可能是恆星。

為什麼這些類星體不可能是恆星？因為恆星的發光度是有極限的，而且正比於恆星的質量。這個極限稱為愛丁頓極限 (Eddington limit) 。如果恆星的發光度超出愛丁頓極限，光壓（radiation pressure ，即光子對物質所施的壓力）就會超過恆星自身的重力，恆星就會變得不穩定。因此，天文學家逐漸改而相信類星體是位於星系中心的超大質量黑洞。這也令類星體多了一個名字：活躍星系核（active galactic nucleus）。

每個黑洞旁邊都有一個最內穩定圓形軌道 (innermost stable circular orbit) ，依據黑洞會否旋轉而定，大概是黑洞半徑的 3–4.5 倍。比最內穩定圓形軌道更接近黑洞的範圍，環繞黑洞運行的物質都會因不穩定的軌道而墜落黑洞之中，並在墜落的過程中釋放出 6–42% 的能量，因此可以解釋活躍星系核的強大發光度。

另一方面，彭羅斯在 1969 年亦發現一個旋轉的黑洞能夠把能量轉給物質，並且把物質拋出去，這個過程稱為彭羅斯過程 (Penrose process) 。換言之，從黑洞「偷取」能量是有可能的。科學家估計，科技非常先進的外星文明有可能居住於黑洞附近，並利用彭羅斯過程從黑洞提取免費的能源。這個過程亦進一步支持超大質量黑洞能夠釋放巨大能量的理論。

由於 E=mc2 ，能量即是質量，因此被偷取能量的黑洞的質量就會減少。霍金在 1972 年發現一個不會旋轉的黑洞的表面積不可能減少。黑洞質量越大，其表面積就越大，因此不會旋轉的黑洞不會有彭羅斯過程。他亦發現，如果是個會旋轉的黑洞，其表面積是有可能減少的。因此霍金的結論支持了彭羅斯的理論。

Genzel 和 Ghez 兩人的研究團隊已經分別利用位於智利的歐洲南方天文台 (European Southern Observatory) 的望遠鏡和位於夏威夷的凱克望遠鏡 (Keck Telescope) 監察了距離地球約 25,000 光年的銀河系中心區域將近 30 年之久。他們發現有很多移動速度非常快的恆星，正在環繞一個不發光的物體轉動。這個不發光的物體被稱為人馬座 A* (Sagittarius A*, 縮寫為 Sgr A*) 。 Sgr A* 會放出強大的無線電波，這點與活躍星系核的情況相似。

他們不單確認了這些恆星的公轉速率與 Sgr A* 的距離的開方成反比， Genzel 的團隊更成功追蹤了一顆記號為 S2 的恆星的完整軌跡。這兩個結果都表明， Sgr A* 必然是一個非常細小但質量達 400 萬倍太陽質量的緻密天體。這樣極端的天體只有一種可能性：超大質量黑洞。

霍金輻射　黑洞的未解之謎

諾貝爾物理學委員會在解釋科學背景的文件中亦特別提及霍金的黑洞蒸發理論以及霍金輻射 (Hawking radiation) 。現時仍然未能探測到霍金輻射的存在，未來若成功的話除了將再一次驗證廣義相對論以外，更會對建立量子重力理論 (quantum gravity theory) 大有幫助。就讓我們拭目以待吧！

重力波研究、宇宙學研究、黑洞研究，都是直接檢驗廣義相對論預言的方法。加上 2019 年 4 月 10 日公布的黑洞照片，大自然每一次都偏心愛因斯坦。相信愛因斯坦在天上又會伸出舌頭，調皮地說：「我早就知道了！」／／

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　　★ 輸入的距離不一定是正確的距離，有打@的都是兩倍長
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　　★ 距離會往兩邊長
● 楔形體WEDGE：
　◆ 使用方式同矩形體
● 圓柱體CYLINDER：
　◆ 點取中心點
　◆ 給半徑或是直徑（D）
　◆ 給高度
　◆ 二點（2P）
　◆ 三點（3P）
　◆ 橢圓形（E）
　　★ 軸端點
　　　▲ 先點一點軸端點，再點同一軸另一個端點（可給距離）
　　　▲ 點另一軸端點（可給距離）
　　　▲ 給高度
　　★ 中心點
　　　▲ 點中心點
　　　▲ 給長短半徑
　　　▲ 給高度
● 圓錐體CONE：
　◆ 使用方式同圓柱體
● 圓球體SPHERE：
　◆ 點取中心點
　◆ 給半徑或是直徑（D）
● 圓環體TORUS：
　◆ 先輸入圓環半徑或直徑（D）
　◆ 再輸入圓管半徑或直徑（D）
　◆ 注意事項
　◆ 圓環半徑小於圓管半徑：有中心開孔
　◆ 圓環半徑等於圓管半徑：沒有中心開孔，正好收成一點
　◆ 圓環半徑大於圓管半徑：沒有中心開孔
● 聚合實體POLYSOLID
　◆ 使用方式同PLINE，繪製具有厚度及高度的實體物件
　◆ 使用極座標與正交會有問題
　◆ 物件（O）：選取物件轉聚合實體
　◆ 高度（H）：設定聚合實體高度
　◆ 寬度（W）：設定聚合實體寬度
　◆ 對正（J）：設定聚合實體對正方式
● 角錐體PYRAMID
　◆ 多邊形加高度
　◆ 外切（C）：外切於圓
　◆ 內接（I）：內接於圓
　◆ 邊緣（E）：設定邊長
　◆ 邊（S）：設定編數
● 螺旋線HELIX
　◆ 繪製2D、3D螺旋線
　◆ 使用方式同圓柱體
　◆ 點取中心點
　◆ 基準半徑或 [直徑(D)]
　◆ 頂部半徑或 [直徑(D)]
　◆ 給高度
　◆ 旋轉數（T）：螺旋線旋轉數
　◆ 旋轉高度（C）：螺旋線間距高度
　◆ 扭轉（W）：螺旋線旋轉方向

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