為什麼這篇樣本變異數鄉民發文收入到精華區：因為在樣本變異數這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者nyannyannyan (三隻小熊的媽媽)看板Statistics標題[問題] 請問母體分配未...
樣本變異數 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Instagram 的最佳貼文
2021-07-06 05:58:15
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大家好，最近自學統計，有個問題實在太困惑
問了身邊的人都沒能完全解答，上來請教各位
我手邊的統計教科書寫說，在：
1.母體分配未知、或非服從常態分配
且2.簡單隨機抽樣，樣本規模大
且3.母體變異數未知
的時候，可以直接用樣本變異數取代母體變異數，去對母體平均數作Z檢定
課本裡寫的理由是，因為用樣本變異數去代入標準誤，
所得到的「( x bar - mu ) / ( s / sqrt (n) )」這個東西，服從自由度n-1的T分配
而因為此時n很大，這個T分配趨近於Z，為了查表方便，可以用Z alpha來代替T alpha
但是，我的疑惑是，據我所知，
上面引號那個東西服從T分配的前提，是母體分配服從常態分配
那麼在母體分配未知的情形，應該不能直接說上面那個東西服從T分配
而雖然中央極限定理確實指出，樣本規模大的此時，樣本平均數的抽樣分配服從常態
但中央極限定理所給出的樣本平均數的變異數
是1/n的母體變異數，而非1/n的樣本變異數
雖然樣本變異數是母體變異數的不偏估計式
但一次大規模抽樣得到的樣本變異數，畢竟不等於樣本變異數的期望值
不能只因為n很大，就直接在這裡以樣本變異數取代母體變異數吧？
若是可以直接在推導時使用大數法則
那麼「( x bar - mu ) / ( sigma / sqrt(n) )」這個式子的分子豈不也可化約成0
這麼一來，底下的sigma不管換成什麼數字，甚至代常數進去，反正出來都是0
還是說會變成，比如我現在要算mu的信賴區間
我還必須考慮樣本變異數的抽樣分配，去看樣本變異數等於母體變異數的機率
所以用樣本變異數代進去算mu的信賴區間，上下界各自又要用信賴區間來表達
總結一下，其實情感上我可以理解
因為中央極限定理，母體分配未知的大樣本可以用Z檢定
但我不能理解的是，此時可以放水用樣本變異數代入標準誤的數學上的理由
煩請版友們協助解惑> <，願以P幣回報，感恩，新年快樂
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推 bravo233295: 樣本標準差還是母體標準差的一致性估計量啊 01/01 17:51
推 s035280236: slusky theorem 01/01 19:04
大感謝！綜合兩位的指點，我的理解是這樣：
假設A1,A2,...An是 ( x bar - mu ) / ( sigma / sqrt(n) ) 隨n增加的序列
而B1,B2,...Bn是 sigma / s 隨n增加的序列
因為中央極限定理，所以An分配收斂到Z
又因為樣本標準差是母體標準差的一致性統計量，所以Bn機率收斂到1
所以根據Slutzky定理
An * Bn = ( x bar - mu ) / ( s / sqrt(n) ) 分配收斂到 Z * 1 = Z
應該是這樣吧，能解決疑惑真是太好了
※ 編輯: nyannyannyan (118.165.227.196 臺灣), 01/01/2020 20:03:49
→ andrew43: 書這樣寫確實不好。這一點沒有問題。 01/02 01:15
推 zks6699: 中央極限定理本身就足夠說明了，不需要slusky定理吧。一 01/02 08:51
→ zks6699: 組隨機抽像的樣本，把這些樣本做標準化，會分配收斂到Z。 01/02 08:51
→ zks6699: 標準化時，是直接用樣本平均數，跟樣本標準差。所以也不 01/02 08:51
→ zks6699: 需要母體分配，也不需要近似T分配這些條件 01/02 08:51
推 zks6699: 「( x bar - mu ) / ( sigma / sqrt(n) )」這個式子的分 01/02 08:57
→ zks6699: 子豈不也可化約成0。這裡也不對，是分子分母都趨近0，所 01/02 08:57
→ zks6699: 以才帶入極限的概念 01/02 08:57
推 zks6699: 然後一開頭講T分配也錯，一開始就說母體分配未知，就沒 01/02 09:03
→ zks6699: 有小樣本T分配，T分配是從常態母體抽樣的 01/02 09:03
→ nyannyannyan: 分子化約成0那個確實是我想錯，但隨機樣本標準化以 01/02 13:26
→ nyannyannyan: 後可以分配收斂到Z的前提，不是樣本分配服從常態嗎 01/02 13:26
→ nyannyannyan: ？我以為是，為了確保樣本分配服從常態，才會要求母 01/02 13:26
→ nyannyannyan: 體分配是常態；而中央極限定理只說明了抽樣分配，沒 01/02 13:26
→ nyannyannyan: 有說樣本分配會服從常態？ 01/02 13:26
→ youngsam: 還是可以用中央極限定理沒錯，但要符合一定條件。 01/02 13:46
推 yuyuyuai: 要Slusky定理才夠 01/02 19:53
→ yuyuyuai: 看不懂z大在說什麼 01/02 19:55
推 yuyuyuai: 感覺原PO理解的很快阿，看到Slutsky Thm和一致性統計量 01/02 20:03
→ yuyuyuai: 就能正確無誤地推出上面那些 01/02 20:03
→ nyannyannyan: 原來是真的 謝謝你的肯定>< 01/03 17:31