【搬運計畫：極限篇｜重點四：極限運算定理 (四則運算篇)｜習題 4-10｜張旭微積分】
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最近決定開始把 YouTube 頻道上教學影片都搬到臉書來
以後大概會每天搬一部
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本習題比較特別
主要證明若一個函數的極限存在
則其函數開根號以後的極限也會存在 (假設該函數的極限值為非負)
反之亦然
看起來已經有合成函數的味道
但合成函數的極限運算定理是下一個主題才會講到的重點
要怎麼避開合成函數的運算來證明這個題目呢
讓丈哥講給你聽
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【#採訪筆記：Google不到怎麼辦？費米推論的邏輯思考三招讓你聰明過人！】　　
　　
身為記者，常常都需要寫報導，印象中每一次寫財經相關新聞或專題，都要上網查好多資料，即便是現在做節目當主持人或寫作，也都是常常需要靠谷歌大神找調查數據，才能讓內容有憑有據。　　
　　
🧐不過，如果有一天谷歌不可靠呢？　　
　　
這周廣播節目《創意領航家》專訪 #資策會MIC產業顧問學院 #萬岳憲 總監，他就跟我聊一個例子，有一回看到媒體報導：

「台灣的珍珠奶茶市場年產值是500億元」　　

這看起來普通的財經報導，其實仔細思考就發現有邏輯問題。　　
　　
🤔什麼問題？　　
　　
🥤🥤如果珍珠奶茶年產值是500億元，那以一杯珍珠奶茶約50元計算，等於一年要賣掉1億杯珍珠奶茶！　　
　　
而若再除以全台灣2300萬人口，相當於每個人每年要喝掉44杯珍珠奶茶 = 一星期要喝約一杯珍珠奶茶。　　
　　
雖然許多人都喜歡喝珍珠奶茶，但每個人每周都喝一杯，這看起來就不符合常理...　　
　　
從這個角度去質疑，才發現！！！喔！原來報導寫錯了～　　

是「手搖飲」年產值500億元，每人每周平均都會喝一杯手搖飲，而非只限於珍珠奶茶。　　
　　
萬總監運用的就是在分析師界很夯的「#費米推論」，是由一位得到諾貝爾獎的教授所提出，核心價值是在極短時間內，以相關數字計算乍看之下摸不著頭緒的物理量，　　
　　
►►►後來延伸：只要透過推論的邏輯，就可在短時間內算出正確答案的近似值。　　
　　
簡單來說，就是用 #邏輯思考，幫助你速算出八九不離十的數字，舉凡台灣有幾間便利商店？台灣有多少女人？這類大哉問的難題，都可以用推論就能概略得到答案。　　
　　
萬總監提到的費米推論，其實我也很熟悉，因為之前念企管系，去應徵過麥肯錫顧問的學長姐就曾回來分享面試考題，就是類似的題目。　　
　　
那時候我們都覺得這些題目很怪，可是也知道能進麥肯錫都是聰明人，因此僅單獨理解成這些題目是要考你聰不聰明，而直到這回廣播採訪，我才明白，原來聰明是有理論基礎，可以訓練出來。　　
　　
費米推論不依靠蒐集大量數據，而是依靠一般常識與工作經驗，對有限的資料進行合理的假設推論，以最簡單的基本數學運算公式，來快速推算、找到有科學推論過程的數據。　　
　　
💡那到底該如何運用呢？　　
　　
萬總監提出三招：　　
　　
① #不拘泥複雜的定義，改將重心放在淺顯易懂、能馬上開始的具體實踐方法上：可以自我練習去估算各種推論值，自己考自己，或是上網查詢也有很多相關題目可以練習。　　
　　
② #透過較貼近日常生活的經驗推論：日常生活中的 一些基本數據比較好掌握，例如推論全台便利商店有幾間？可以透過估算走幾步能遇到一間便利商店，再從距離去估算每一城市有幾間來進行加總，重點就是訓練邏輯思考。　　
　　
③ 可以運用最大值與最小值「#相乘開根號」的數學算式推估。這最神了！原來很多難以估算的數據，已有科學家證明可以用這樣的數學算式推算出來，超級好用，快學起來！👍　　
　　
簡單來說，費米推論就是運用某些清楚可見的數值，去進行邏輯推演，藉由數學的力量，讓原本難以估算的數據可以有憑有據，也可以幫助我們在谷歌找資料時，能夠有辨別能力，學起來就能變聰明。　　
　　
特別適合需要簡報分析產業、顧問、分析師，或是做研究，甚至是希望說服別人的職場工作者使用。　　
　　
你也想變聰明嗎？快來認識這分析師界都在用的費米推論吧！　　
　　
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Wow! 滿滿滿的會考數學重點吔😍

來來來，紙筆趕快準備好！
數學科會考精華重點，
帶你一手掌握致勝關鍵！

數學科會考30天衝刺重點

考前最後30天，
建議同學，調整好生理時鐘，
讓自己的大腦習慣
在10:30到11:50這段時間算數學。
切記每次考試前都花10分鐘的時間快速總複習，
把公式、重要性質、常忘常錯的地方，
用這個關鍵10分鐘掃過一遍。
考前最後30天以算新題
培養對沒看過的題目的臨場反應為主，
有錯的題目訂正完，
把關鍵寫在考前10分鐘的快速總複習筆記上，
下次考前再複習一次！

以下是會考精華重點，
這些重點不只會在選擇出現，
還可能出現在非選！
好好把握下列重點，
拿到數學滿分的成績單時別太意外！😂

1.正負數與數線：
「絕對值」代表「到原點的距離」、
「相減取絕對值」代表「兩點距離」
這種代數轉幾何的考法總是考不膩；
科學記號的應用問題通常都會搭配四則運算；
新舊數線轉換切記「差成比例」！

2.因倍數與公因倍數：
質數的判定、互質的判定還有短除法請熟練；
難題用標準分解式處理！

3.分數：
四則運算切記「先乘除，後加減，但次方優先！」，
還有括號的處理務必「由小到大」且小心變號！

4.一元一次方程式：
一元一次式的「化簡」切記「只能通分，不能同乘」；
應用題考列式也很常見。

5.二元一次方程式：
基本的分式解聯立請小心隱形的括號；
近年來也常考三格漫畫的應用問題，命中不用太訝異！

6.坐標平面：
基本的象限考正負；點的移動x右加左減，y上加下減；
「點到x軸的距離」=「y坐標取絕對值」，
「點到y軸的距離」=「x坐標取絕對值」；
水平線y相同，鉛直線x相同；
還有最常考的二元一次直線方程式畫圖！

7.比與比例：
雙比例問題考到爛，務必調整到符合題意。

8.函數：
線型函數應用問題可以利用「差成比例」處理！

9.一元一次不等式：
有基本的一元一次不等式求x範圍；
進階有天平問題和水量的應用問題。

10.乘法公式與多項式：
利用乘法公式求值請用力觀察數字之間的關聯性；
多項式長除法也很愛考；因式倍式關係要會看。

11.二次方根與勾股定理：
基本的化成最簡根式、有理化、四則運算要熟；
進階的根號估計也是大熱門；
勾股定理近年來都搭配後面幾何一起考。

12.因式分解：
通常喜歡考提公因式因式分解，再搭配次方的運算請小心。

13.一元二次方程式：
基本的十字交乘、配方法解x；
給兩根求方程式用倒帶；
觀念題小心消去未知數可能會減根。

14.等差數列：
基本的循環用除法看餘數、
等差數列換首項公差處理、
等差數列求和都是基本款；
近幾年等差數列喜歡搭配不等式請小心！

15.平面幾何：
對稱圖形不難；
外角定理在角度的計算超常用；
中垂線性質到兩端點等距、
角平分線性質到兩夾邊等距考到爛！
30度 - 60度 - 90度 邊長比「1：根號3：2」必考！
多邊形內角和、正多邊形內角和外角
要算到不小心背起來；
正六邊形、正八邊形、正12邊形
都是近年來考試重點。

16.三角形：
三角形兩邊之和大於第三邊、
大角對大邊小角對小邊偶爾會出；
三角形的全等證明要有考非選的心理準備。

17.平行與四邊形：
遇平行線延長會比較容易看；
平行時，同位角、內錯角相等，
同側內角互補超常用；
遇梯形常做的幾種輔助線要複習。

18.相似形：
常見的相似三角形組合要複習；
解題利用相似形的
「對應角相等」、「對應長成比例」、
「面積比等於對應長度平方比」這些性質；
要宣告三角形相似用相似性質，
要宣告非三角形的多邊形相似
則要一一檢查每一個對應角都相等，
每一個對應邊都成比例！

19.圓形：
考扇形、弧長、弓形算是基本款；
考相切要想到(1)垂直(2)切線段等長；
圓周角、圓內角、圓外角、弦切角也都很常考；
兩圓相切要連接兩圓圓心和切點；難題想到對稱性！

20.三角形的三心：
(1)外心：
到三頂點等距；
直角三角形外心在斜邊中點；
等腰三角形的R要會求；
角度可以利用圓周角和圓心角關係，
或是等腰三角形處理。
(2)內心：
到三邊等距；
r 的兩種求法請複習；
長度還可考求切線段長；
角度可利用角平分令x、x、y、y；
面積的兩種考法請複習。
(3)重心：
長度想到2比1，
面積想到六塊小三角形面積相等

21.二次函數拋物線：
開口的方向和大小要會看；
配方法求頂點求最大最小值必考！
考平移要想到
(1)看頂點的移動(2)開口不變a不變；
難題想到對稱性！

22.立體圖形：
近年來喜歡考空間觀念中的展開圖；
考角柱算是中規中矩；
靈活考題可能會搭配水量甚至考不等式！

23.統計：
給原始資料、給表、給直方圖、給圓餅圖，
中位數都要會求！
盒狀圖和圓餅圖也很常考，
特別是盒狀圖常會問四分位距的相關問題！
進階喜歡考圖形的轉換；
還有對稱圖形的平均數和中位數會相等！

24.機率：
列表討論、畫表格、畫樹狀圖必可解！

【摘要】
本習題比較特別，主要證明若一個函數的極限存在，則其函數開根號以後的極限也會存在 (假設該函數的極限值為非負)，反之亦然，看起來已經有合成函數的味道，但合成函數的極限運算定理是下一個主題才會講到的重點，要怎麼避開合成函數的運算來證明這個題目呢？讓丈哥講給你聽

【勘誤】
無，有任何錯誤歡迎留言告知

【習題】
檔案：https://drive.google.com/file/d/1S91OWZBh2OCpc8fdCJR0g99LpDP7fXJ2/view
簡答：可在張旭的生存用微積分社團下載
社團： https://www.facebook.com/groups/changhsumath666.calculus

【講義】
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【附註】
無

【丈哥的話】
嗨！大家好，我是丈哥
這是張旭老師的微積分的習題講解
目前由我來負責
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【極限篇重點四習題】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXjNO4nC3eIEcq0F4SNAL7hR)
習題 4-2 (https://youtu.be/_2vKEcnH808)
習題 4-4 (https://youtu.be/Pu58KCsFZ0Y)
習題 4-6 (https://youtu.be/mzg3spaQ9lo)
習題 4-8 (https://youtu.be/YttCeNF2osE)
習題 4-10 👈 目前在這裡

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#張旭微積分 #極限篇習題 #丈哥講解