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在 根號近似值產品中有5篇Facebook貼文,粉絲數超過2萬的網紅余海峯 David . 物理喵 phycat,也在其Facebook貼文中提到, 世上有無字的情批,也有無字的數學證明。光靠這張圖就可以證明的事情是:【根號二是無理數】 原解釋影片 by @Mathologer youtu.be/f1yDExNAEMg 以下導讀 😃: 我們想像北韓大閱兵,兩個一樣大的步兵方陣向彼此靠近,交錯穿過(像之前回顧的動畫),然後迅速的重新整...
同時也有1部Youtube影片,追蹤數超過4萬的網紅呂冠緯 / 冠緯學長陪你學,也在其Youtube影片中提到,...
根號近似值 在 余海峯 David . 物理喵 phycat Facebook 的最佳解答
世上有無字的情批,也有無字的數學證明。光靠這張圖就可以證明的事情是:【根號二是無理數】 原解釋影片 by @Mathologer youtu.be/f1yDExNAEMg
以下導讀 😃:
我們想像北韓大閱兵,兩個一樣大的步兵方陣向彼此靠近,交錯穿過(像之前回顧的動畫),然後迅速的重新整隊,變成一個有兩倍軍人的方陣......啊,此情此景多賞心悅目,金正妹大喜。
呃,什麼,數學很好的參謀表示,很抱歉那是不可能做到的!如果小方陣邊長是 N,大方陣邊長是 M,因為士兵守恆
N² + N² = M²
→ 2 N² = M²
→ (M/N) = √2
但 M 和 N 都是正整數。就表示根號二忽然變有理數了,即使在已經頗無理的北韓都做不到那種事。
但怎麼證明?數一數,圖中有兩個淺色邊長為 12 的正方形,彼此在中央重疊 7 格深色正方形,12 - 7 = 5 是角落兩個白色正方形,整個大正方形邊長是 12 + 5 = 17。
注意到 12×12 = 144, 144 + 144 = 288 ≠ 289 = 17×17 只差 1 就可以完成北韓方陣,很好很好,只需要多複製出一個人(誤)。
能否更好,不需要偷加減一個人呢。依照前文,假設能完成 2 N² = M² 的最小正整數 M 與 N 存在,容易檢查
( 2N - M )² = 2 (M - N)² 也成立。
上式可以用代數乘開,或者注意到原圖中的正方形的面積關係。若兩個淺色正方形面積相加等於大正方形,則中央重疊正方形面積,會等於兩個角落的白色小正方形。(我想像它們是蛋糕模子裡的麵糊,抹平推開。)
揪抖嗎跌~發現貓溺。我們剛剛不是才假設 M,N 是最小的能滿足方程式的正整數解嗎。但透過代數 or 幾何推理,忽然又冒出一組「更小的正整數」 2N-M 和 M-N 也是解。
按照一樣的運算可以一再不停「找出」嚴格更小的正整數組.......
但正整數不可能一直減小再減小,最小只有到 1 而已。所以這一連串「無窮遞降」的荒謬劇的罪魁禍首,只有可能是我們一開始假設錯誤!並不存在任何這樣的 M,N。
這招「無窮遞降歸謬法」是由業餘數學家之王,律師先生費馬發揚光大的。→ Proof by infinite decent
值得一提的是,只要加減一個人就能完成北韓方陣。這個數學結論來自經典的 Pell 方程式:y² - 2 x² = ±1,這個 Pell 方程式的解可以輕易的得到越來越好的「√2 的有理近似」
例如
17/12 = 1.41666...
41/29 = 1.41379...
99/70 = 1.41428...
239/169 = 1.41420... (規律:p/q 的下一個是 (p+2q)/(p+q))
而 √2 = 1.41421...
欸欸欸為什麼?因為丟番圖 Diophantus 和婆羅摩笈多 Brahmagupta 強者威能,歐幾里得也有貢獻。詳盡展開字多略。
根號近似值 在 財經主播/主持人 朱楚文 Facebook 的最佳解答
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【#採訪筆記:Google不到怎麼辦?費米推論的邏輯思考三招讓你聰明過人!】
身為記者,常常都需要寫報導,印象中每一次寫財經相關新聞或專題,都要上網查好多資料,即便是現在做節目當主持人或寫作,也都是常常需要靠谷歌大神找調查數據,才能讓內容有憑有據。
🧐不過,如果有一天谷歌不可靠呢?
這周廣播節目《創意領航家》專訪 #資策會MIC產業顧問學院 #萬岳憲 總監,他就跟我聊一個例子,有一回看到媒體報導:
「台灣的珍珠奶茶市場年產值是500億元」
這看起來普通的財經報導,其實仔細思考就發現有邏輯問題。
🤔什麼問題?
🥤🥤如果珍珠奶茶年產值是500億元,那以一杯珍珠奶茶約50元計算,等於一年要賣掉1億杯珍珠奶茶!
而若再除以全台灣2300萬人口,相當於每個人每年要喝掉44杯珍珠奶茶 = 一星期要喝約一杯珍珠奶茶。
雖然許多人都喜歡喝珍珠奶茶,但每個人每周都喝一杯,這看起來就不符合常理...
從這個角度去質疑,才發現!!!喔!原來報導寫錯了~
是「手搖飲」年產值500億元,每人每周平均都會喝一杯手搖飲,而非只限於珍珠奶茶。
萬總監運用的就是在分析師界很夯的「#費米推論」,是由一位得到諾貝爾獎的教授所提出,核心價值是在極短時間內,以相關數字計算乍看之下摸不著頭緒的物理量,
►►►後來延伸:只要透過推論的邏輯,就可在短時間內算出正確答案的近似值。
簡單來說,就是用 #邏輯思考,幫助你速算出八九不離十的數字,舉凡台灣有幾間便利商店?台灣有多少女人?這類大哉問的難題,都可以用推論就能概略得到答案。
萬總監提到的費米推論,其實我也很熟悉,因為之前念企管系,去應徵過麥肯錫顧問的學長姐就曾回來分享面試考題,就是類似的題目。
那時候我們都覺得這些題目很怪,可是也知道能進麥肯錫都是聰明人,因此僅單獨理解成這些題目是要考你聰不聰明,而直到這回廣播採訪,我才明白,原來聰明是有理論基礎,可以訓練出來。
費米推論不依靠蒐集大量數據,而是依靠一般常識與工作經驗,對有限的資料進行合理的假設推論,以最簡單的基本數學運算公式,來快速推算、找到有科學推論過程的數據。
💡那到底該如何運用呢?
萬總監提出三招:
① #不拘泥複雜的定義,改將重心放在淺顯易懂、能馬上開始的具體實踐方法上:可以自我練習去估算各種推論值,自己考自己,或是上網查詢也有很多相關題目可以練習。
② #透過較貼近日常生活的經驗推論:日常生活中的 一些基本數據比較好掌握,例如推論全台便利商店有幾間?可以透過估算走幾步能遇到一間便利商店,再從距離去估算每一城市有幾間來進行加總,重點就是訓練邏輯思考。
③ 可以運用最大值與最小值「#相乘開根號」的數學算式推估。這最神了!原來很多難以估算的數據,已有科學家證明可以用這樣的數學算式推算出來,超級好用,快學起來!👍
簡單來說,費米推論就是運用某些清楚可見的數值,去進行邏輯推演,藉由數學的力量,讓原本難以估算的數據可以有憑有據,也可以幫助我們在谷歌找資料時,能夠有辨別能力,學起來就能變聰明。
特別適合需要簡報分析產業、顧問、分析師,或是做研究,甚至是希望說服別人的職場工作者使用。
你也想變聰明嗎?快來認識這分析師界都在用的費米推論吧!
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根號近似值 在 C.C.M Math Facebook 的最佳貼文
【數感生活——成長率、幾何平均數,偶爾還有算術平均數】
最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數,得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率,成長率是類似複利的概念,要用相乘再開根號的幾何平均數才對」
之後,該教授又貼了一則文章,解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的,所以方便起見他用算術平均數,並附上了數據與程式碼。
當然程式驗證是沒問題的,不過比起程式,數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出,若是要講究嚴謹,使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具,來證明在面對成長率這種議題時,當成長率不大,算術平均數的確是幾何平均數的近似值。
在這邊,我們提供一個更簡單的,必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。
首先,
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小,以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009,小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)
同樣的道理,推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?),成長率分別是a、b、c、d,可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)
假設這四年的(幾何)平均成長率是g,同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g
整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果,近似符號右邊是算術平均數,左邊的g則是幾何平均數。
以上,就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下,答案會差不多的原因。不過我們要強調,兩者的根本意義完全不同,不能只因為「在某些狀況」答案很接近,就覺得選哪個都無所謂,不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子,倘若某年成長100%,隔年衰退50%。
則算術平均數是(100-50)/2=25,平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1,根本沒有成長,幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀,但回到數學本身,正確答案只有一個。
PS: 感謝 張宏彬 (Hung-Bin Chang)博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~
PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思,基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似,是有失嚴謹的,儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度,讓大家理解為什麼,以及在什麼情況下,算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。