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[爆卦]有理函數定義是什麼？優點缺點精華區懶人包

雖然這篇有理函數定義鄉民發文沒有被收入到精華區：在有理函數定義這個話題中，我們另外找到其它相關的精選爆讚文章

在 有理函數定義產品中有14篇Facebook貼文，粉絲數超過4,514的網紅數學老師張旭，也在其Facebook貼文中提到， 【處處極限不存在的函數】 . 我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個...

　同時也有6部Youtube影片，追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭，也在其Youtube影片中提到，【摘要】 本影片介紹了四大積分基本方法之四：部分分式法；這個方法主要對付所有多項式相除的函數，也就是有理函數；這個方法的步驟比較繁雜一點，容易計算錯誤，同學除了了解作法以外，應該也要多刷題目練習 【勘誤】 無，若有發現任何錯誤，歡迎留言告知 【講義】 請到張旭老師臉書粉專評論區留下你的評論 然後...

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  • 數學老師張旭

    有理函數定義 在 數學老師張旭 Facebook 的精選貼文

    2021-08-03 04:07:07
    有 41 人按讚

    【處處極限不存在的函數】
    .
    　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
    .
    　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
    .
    　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
    .
    　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
    .
    　　那麼，該怎麼辦呢？
    .
    　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
    .
    　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
    .
    　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
    .
    　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
    .
    　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
    .
    　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
    .
    　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
    .
    　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
    .
    　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
    .
    　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
    .
    　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
    .
    　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
    .
    　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
    .
    　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
    .
    　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
    .
    　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！

  • 李傑老師

    有理函數定義 在 李傑老師 Facebook 的精選貼文

    2021-01-12 16:53:01
    有 115 人按讚

    110學測數學重點來嘍!!!

    1.數與式
    有理數與無理數/絕對值的數線意義/算幾不等式。

    2.多項式
    二次函數(極值，恆正，係數的正負判別)/牛頓定理/勘根/虛根成雙/插值多項式。

    3.指對數
    圖形/對數的定義題(星等，分貝，地震，ph值)/不等式/首尾數(複利，成長率，內插法)與應用。

    4.數列級數
    等差等比的混合題型/sigma求和應用/複利求和。

    ５.排列組合
    同物排列/排容原理/選排問題/分組分堆/幾何計數(直線數，三角形數，矩形數…)/二項式定理。

    6.機率
    古典機率(骰子，銅板，數字問題)/條件機率/貝式定理/獨立事件。

    ７.數據分析
    標準差S/相關係數r/迴歸直線/資料的伸縮平移。

    8.三角
    定義(廣義角)/正餘弦與應用(面積，中線，分角線，偏線，R,r)/二倍角公式/簡易三角測量。

    ９.直線與圓
    斜率/直線的位置關係與分割/線性規劃/圓與線的位置關係/切線的求法。

    10.平面向量
    加減法概念/共線理論/內積的性質與應用(長度，夾角，正射影)/兩線求夾角(距離)。

    11.空間向量
    坐標系的設定/外積與面積體積。

    12.空間中的平面直線
    平面方程式的處理/兩平面求夾角距離/直線與平面的位置關係(交於一點，平行...)。

    13.矩陣
    乘法與性質/轉移矩陣的判讀/馬可夫鏈/反矩陣(乘法反元素)

    14.二次曲線
    定義的應用(尤其是兩種曲線的混合命題，共焦點或共頂點…)/求方程式。

    請按照上述重點逐一複習，並找試題演練，必可考得佳績！

    Go go go & good luck♥
    (本文歡迎轉載或分享 請註明出處 謝謝)

  • 數學老師張旭

    有理函數定義 在 數學老師張旭 Facebook 的最讚貼文

    2020-06-26 05:33:18
    有 39 人按讚

    【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
    　
    各位晚安
    今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
    只是一直遲遲沒有動筆
    　
    「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
    　
    這個主題一定有其他老師寫過
    但一樣地
    我從來都不會因為別人做過了自己就不做
    因為每個老師的歷練不同
    所以講出來的就算有些地方是一樣的
    但還是多多少少會有差異之處
    　
    1⃣
    　
    首先，絕對會被提到的
    就是高中微積分只教多項式函數的微積分
    　
    也就是說
    高中三年級數甲就算認真學完以後
    還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
    (以上是指普遍的應屆畢業生)
    　
    當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
    所以我上面故意不提三角函數😅
    　
    所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
    大學微積分就會躺著過的話
    那可能就想的太美好了
    　
    因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
    所以要補足所有基本函數的微積分
    還是需要花時間努力一下
    　
    而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
    想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
    　
    2⃣
    　
    上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
    這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
    還有一個重點
    那就是高中微積分並沒有分部積分
    　
    大學微積分中的積分技巧有很多種
    變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
    　
    以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
    但其實多項式的積分也用不太到
    所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
    普遍都是逐項積分
    因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
    　
    而關於各種積分技巧
    剛好我們丈哥有整理
    有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
    　
    如果你是高三應屆畢業生
    建議先看過所有基本函數的微分
    然後了解微積分基本定理
    再來看這個影片
    不然可能會看得有些吃力
    　
    3⃣
    　
    高中教過許多關於基本函數的公式
    　
    對了，忘記說明什麼是基本函數
    基本函數就是形如常數函數、多項式函數
    指對數函數、三角函數、反三角函數
    以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
    　
    對於這些基本函數的公式
    到了大學，其實很多都用不到
    　
    當然現在因為教改的關係
    用不到的公式已經越來越少了
    　
    但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
    我這邊簡單條列幾個
    　
    例如：
    x^n ± y^n 的因式分解公式
    x = a^(log_a (x))
    log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
    log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
    三角函數的和角公式
    cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
    sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
    　
    以上這些都是在學習大學微積分時必備的
    當然還有其他的
    以後有機會在專門拍一部影片來統整
    　
    至於其他如同 sin(x/2) 的公式
    或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
    其實在大學微積分裡面都用不太到
    所以大概都可以忘掉沒有關係
    　
    4⃣
    　
    提到函數的公式
    就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
    　
    首先，高斯函數 [x]
    這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
    但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
    　
    另外是反三角函數
    這個在以前台灣的高中數學是有講的
    (大概民國 100 年以前都有講)
    但現在已經刪掉了
    所以這對現在的台灣高中生來說
    無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
    　
    最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
    (所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
    這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
    常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
    　
    當然可能還有一些函數
    但我目前最有印象的就是這三個
    　
    5⃣
    　
    上面提到超越函數
    那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
    　
    在台灣的高中數學裡面
    早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
    但到了大學
    大概會有一半的學校重來一次
    　
    在大學微積分裡面
    會先透過極限定義 e 這個數字
    然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
    嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
    最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
    　
    講到這邊，不得不強調一點
    高中的 log(x) 是以 10 為底數
    而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
    並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
    　
    所以在定義上的不同
    這也是在初學大學微積分時一定要注意的
    　
    如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
    可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
    　
    6⃣
    　
    以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
    和高中微積分不同之處
    　
    最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
    那就是「極限的嚴格定義」
    　
    高中微積分在教極限的時候
    通常只教直觀的極限
    也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
    　
    但到了大學微積分
    特別是理工學院的學生
    就絕對逃不掉極限的嚴格定義
    　
    這邊列一下定義內容：
    　
    「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
    「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
    　
    噁心吧？
    　
    這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
    而且會出現在第一次小考或期中考裡面
    然後很多學生就送分了
    送還給教授分數
    　
    雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
    但如果大學微積分一開始就考差
    那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
    　
    很多人都講反正十年後也用不到微積分
    現在這麼努力幹嘛
    　
    其實我從來都沒有要所有人都要努力
    我只要求想跟我學微積分的學生要努力
    　
    但說真的
    就算十年以後用不到
    但如果在學微積分時不努力
    導致隔一年又要在重來一次
    那不是把自己的人生拖延住了嗎？
    　
    學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
    而是為了當下
    為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
    證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
    然後透過這一次又一次的證明
    去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
    如此而已
    　
    至於講未來會不會用到的那些人
    我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
    　
    不然我也可以這樣想
    反正我總有一天會死
    我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
    那我幹嘛拍？
    　
    有時做一件事情或是學習
    真的只是為了解決當下的其他問題而已
    　
    不用為每一件事情都去思考他的未來
    特別是在學生時期
    既然到了這間學校這個科系
    就好好學習，累積漂亮的 GPA
    　
    當然不只學業要顧
    如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
    不過這都是在大三大四以後才要思考的事
    　
    在面對「極限的嚴格定義」的當下
    我強烈建議學生就是一個想法
    不要想太多
    試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
    能把這個學的多透澈就多透澈
    　
    當然也要考量目前手上所有科目的重量
    不能顧此失彼
    但就盡最大努力
    顧好所有科目
    　
    以後如果有機會
    我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
    　
    嗯... 我又離題了
    　
    總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
    絕對是大學生涯第一次試煉
    　
    如果想趁著開學前先偷念一點的同學
    可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
    　
    ///
    　
    好啦，講了這麼多
    不知道認真看完的有幾個
    　
    但就如同我上面講的一樣
    很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
    當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
    　
    這次大概就分享到這邊
    如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
    所以如果有認真看完的朋友們
    覺得認同的話幫我按個讚或分享
    覺得有話想對我說的話就在下面留言
    有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
    可以在下面留言「我有看完！」
    　
    其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
    也佩服有在看我頻道的同學們
    因為我的貼文大多都很長
    影片也都是超硬核教學影片
    　
    感謝支持我們的人們
    因為有這些支持
    我們才能繼續走下去😀
    　
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