圓周率已經達到10萬億位，超級電腦為何還在不停地計算圓周率？

【推舊文】由物理概念名稱談暗物質與暗能量

讀者朋友如果睇完上星期《真係好科學-暗黑宇宙》，可以睇埋呢篇文🥸

／／暗物質和暗能量相信是少數幾個理論物理中最前沿、而又深入大眾文化中的物理概念。

以我自己科普經驗為例，很多讀者朋友都對有關暗物質和暗能量的研究新聞感興趣。我的專業並非理論物理，對於這兩個高度理論性的題目並不太在行。不過，當我嘗試解答各種關於暗物質和暗能量的問題時，我發現導致概念錯誤的主因可能根本不是讀者的數學、物理背景或程度問題，而是這兩個物理概念的名稱問題。

物理學家與數學家都是人，在表達概念時少不免需要用到文字（這不是廢話嗎？！）。而原來有一個很重要的學術界習慣，很多時候我們做科普、數普時都會忽略：很多字詞在專門研究範疇內的定義，都與一般用法完全不同。

我發現這一點的原因，是我漸漸留意到很多時候我們面對非本身專業的概念時，都會嘗試理解概念名稱的含義。當面對理論物理這一種需要極高數學技巧的概念時，對非專業的讀者來說，能夠理解的大概只剩下概念的名稱。不幸地，從物理概念名稱含義入手分析問題，往往都只會是死胡同，因為支撐物理概念的根本不是語言學，而是實實在在的數學。

暗物質根本不是物質？

物理學家數學技巧可能不錯，但取名技巧就非常糟糕了。暗物質的「暗」與「物質」，有一半是不太正確的。

物理學家早於 1930 年代已經發現了暗物質，不過那時候並非稱為暗物質，而是「找不到的質量」[1]。宇宙間有上億個星系，包括我們居住的銀河系。天文觀測顯示，環繞星系核心公轉的速率太快了，恆星應該會像汽車高速入彎時摩擦力不足而被拋出軌道。換句話說，星系根本不應該存在！

這究竟是什麼回事呢？答案就在萬有引力。既然恆星沒有被拋出星系之外，那麼就必定是萬有引力把它們拉著。然而，即使把一個星系內所有恆星提供的萬有引力都加起來，結果仍然太弱，不足以拉住高速環繞星系公轉的恆星。

質量越多，萬有引力就越強。無論以愛因斯坦的廣義相對論抑或以牛頓的萬有引力定律計算，恆星都實在公轉得太快了。所以物理學家就把那些「多出來的引力」歸功於一些看不見的質量，即是我們現在稱呼的暗物質。所以，暗物質可能根本就不是物質，而是其他一些能夠造成星系恆星公轉速率如此快卻不會拋出星系外的物理效應也說不定。

所以，我們知道原來暗「物質」根本不是我們認識的那種物質。而且，那個「暗」字其實也有點誤導。暗字明顯比喻「找不到」的質量，不過它其實有著更深含義。

暗物質之所以稱為「暗」，當然是因為我們找不到它們。可是，即使它們當真是物質，其物理特性也必然與我們知道的一般物質不同。首先，一個成功的暗物質模型 [2]，必須要不參與電磁交互作用。換句話說，就是與光子沒有互動，兩者互不干涉。這才是它們被稱為「暗」物質的原因，是帶有明確物理定義的。

暗能量根本不是能量？

如果說暗物質是「找不到而會產生引力的東西」，那麼暗能量就是「找不到而會產生反抗引力的東西」。

解釋暗能量的來源，要回到愛因斯坦於 1915 年發表的廣義相對論。廣義相對論修正了牛頓的萬有引力定律，把引力（即重力）描述成時空曲率。愛因斯坦推導出的廣義相對論方程式除了能夠描述宇宙之外，亦得出一個推論：宇宙不是在膨脹就是在收縮。

愛因斯坦不喜歡這個推論，他認為宇宙必須是永恆存在，不會變化的。然而，由於重力只能是相吸的，宇宙必定在加速收縮或減速膨脹之中。因此，在不影響方程式正確性的前提下，他加入了一個常數項，稱之為宇宙常數，用來抵消互相吸引的重力，希望能夠得到一個靜態的宇宙。

可是，宇宙從不用看人臉色，即使你是愛因斯坦。哈勃透過測量星系的距離和後退速率，發現了宇宙正在膨脹，令愛因斯坦收回宇宙常數。

由於重力只會互相吸引，宇宙膨脹終有一天會逐漸減漫至停頓，然後開始收縮。然而，宇宙總愛捉弄人類。1998 年，兩隊天體物理學家團隊 [3] 獨立發現宇宙不單止正在膨脹，而且膨脹正在加速！

大概根本沒有任何人曾經想像過這個現象。只會互相吸引的重力，如何使互相遠離的星系以越來越快的速率後退？這就好像向上拋起一個網球，網球非但不掉下來，反而向天空越飛越快！

物理學家找不到任何已知物理概念去解釋這個現象，因此就把宇宙加速歸咎於「暗能量」。產生暗能量的可能是宇宙常數，但沒有人知道暗能量和宇宙常數究竟是什麼。

再一次，「暗」字表示它不會放出電磁輻射，而且我們對其成分毫無頭緒；「能量」則是比較技術性的描述，與概念「真空能量」有關。而與上述暗「物質」是否物質一樣，我們其實連暗「能量」是否真的是種能量也不知道。

宇宙是場暗物質與暗能量的較量

現在物理學界最流行的宇宙模型是所謂的 Λ-Cold Dark Matter (Λ-CDM) 模型，即 Λ-冷暗物質模型。其中， Λ 指的是宇宙常數產生出暗能量、「冷」代表暗物質的速度遠低於光速、「暗」指不參與電磁交互作用。

暗物質使星系互相吸引，暗能量則使星系互相遠離。因此，研究宇宙裡的星系分佈，就可獲得關於暗物質和暗能量的資訊。

最近，一項稱為暗能量普查 (Dark Energy Survey, DES) 的最新研究 [4] 測量了 2 千 6 百萬個星系的間距，計算出宇宙的成分有 74% 是暗能量、 21% 是暗物質，而剩下的 5% 才是一般物質和能量。換句話說，人類科學文明所知的一切物理和化學知識加起來，只是宇宙間所有東西的冰山一角。

這項也是唯一一個準確度能夠與普朗克衛星 [5] 的研究結果相提並論的研究。普朗克衛星亦是測量宇宙中有多少暗能量和暗物質的研究計劃，不過它用的方法不同。普朗克衛星直接拍攝宇宙嬰兒時期的照片——宇宙微波背景輻射，從而計算暗能量和暗物質的多寡。

兩項研究的計算結果雖然十分接近，但仍有著微小差別。這差別令很多物理學家感到興奮，因為如果屬實，我們就必須重新檢視各種宇宙模型。同時，這亦是科學精神的彰顯。

註：
[1] Neil deGrasse Tyson 談暗物質和暗引力等議題。
[2] 「模型」一詞在科學中亦有特別意義，指描述現實世界中的現象的數學結構。
[3] Supernova Cosmology Project 和 High-Z Supernova Search Team。
[4] 暗能量普查資料量龐大，研究團隊目前仍在不斷分析當中。
[5] 或稱普朗克巡天者。／／

【推舊文】方程是永恆：愛因斯坦

今日係圓周率日、白色情人節，同時亦係愛因斯坦生日。

注：感謝讀者Ka Wa Tsang 指正，狹義相對論可以用於非慣性參考系。我曾在另一文章談及這錯誤，但忘了修改此文。在非慣性參考系使用狹義相對論的結果，是會出現不存在的「偽力」，情況如同離心力一樣。

//1879年，愛因斯坦出生於德國南部小鎮烏姆（Ulm）。1880年，他隨家人搬到慕尼黑（München）。與一般印象相反，愛因斯坦小時候因為鮮少說出完整句子，父母曾以為他有學習障礙。

愛因斯坦在慕尼讀中學。他非常討厭德國學校著重背誦的教育方式，課堂上總自己思考問題，不專注聽課，所以經常被老師趕出班房。1894年，愛因斯坦15歲，他父親赫爾曼・愛因斯坦（Hermann Einstein，1847-1902）在慕尼黑的工廠破產，迫使舉家遷往意大利帕維亞（Pavia），留下愛因斯坦在慕尼黑完成中學課程。同年12月，愛因斯坦以精神健康理由讓學校準許他離開，前往帕維亞會合家人。

這次出走改變了愛因斯坦的一生，甚至可說改變了人類文明的科學發展。

愛因斯坦不懂意大利語，不能在帕維亞上學。他早有準備，前往瑞士德語區蘇黎世（Zürich）投考蘇黎世聯邦理工學院（Eidgenössische Technische Hochschule Zürich，通常簡稱ETH Zürich）。結果愛因斯坦數學和物理學都考得優異成績，但其他科目如文學、動物學、政治和法語等等卻全部不合格。

蘇黎世聯邦理工學院給予愛因斯坦一次機會，著他到附近小鎮阿勞（Aarau）去完成中學課程，明年再考。在這段期間，愛因斯坦暫住在斯特・溫特勒教授（Jost Winteler，1846-1929）家中。愛因斯坦很喜歡開明、自由的溫特勒教授一家，利用這一年溫習各科目，更與溫特勒的女兒瑪麗・溫特勒（Marie Winteler，1877-不詳）相戀。

瑞士的教育方式與德國的不相同，並不強調背誦。瑞士學校老師非常鼓勵學生發表意見，不會以權威自居，這一點與討厭權威的愛因斯坦非常合得來。愛因斯坦曾於寄給溫特勒的信中寫道：「對權威不經思索的尊重，是真理的最大敵人。」[1]他稱自己為世界主義者，不喜歡德國日漸升溫的國家主義。溫特勒教授就幫助愛因斯坦放棄德國國籍，愛因斯坦因而成為了無國籍人士，他很喜歡這個「世界公民」身份。

一年後，愛因斯坦再次投考蘇黎世理工學院。物理、數學當然成績優異，其他科目亦合格，愛因斯坦順利被取錄入讀物理學系。然而，他父親卻期望他進入工程學系，將來繼續家族工廠，因此他們大吵了一場。

愛因斯坦大學時繼續他我行我素的性格，經常逃課去上其他科目的課堂，所以都要他的同學們幫他抄筆記，他才知道考試範圍。加上愛因斯坦以刺激權威為樂，教授們都不喜歡這個又煩又懶的學生，不願意幫他寫好的推薦信，所以他畢業後一直找不到工作。

在學時，愛因斯坦與物理系唯一一個女同學米列娃・馬利奇（Mileva Marić，1875-1948）相戀。根據膠囊資料顯示，愛因斯坦與米列娃的書信中曾提到他們有個女兒叫麗瑟爾。不過後來他們就再沒提到她，歷史學家估計麗瑟爾出生不久就死於猩紅熱。愛因斯坦與米列娃在1903年結婚，之後他們生了兩個兒子——大子漢斯和二子愛德華。他們最終在1914年分居，1919年離婚。

愛因斯坦於1900年畢業，取得了教學文憑。可是，由於教授們都不喜歡愛因斯坦，他申請大學職位的申請信全都石沉大海。愛因斯坦非常沮喪，以致他父親於1901年寫信給威廉・奧斯特瓦爾德教授（Wilhelm Ostwald，1853-1932，1909年諾貝爾化學獎得主）請求他聘請愛因斯坦當助手，或者至少寫給愛因斯坦鼓勵說話。當愛因斯坦快要連奶粉錢也不夠的時候，他大學時的舊同學格羅斯曼・馬塞爾（Grossmann Marcell，1878-1936）[2]的岳父以人事關係幫他在瑞士專利局找到了一份二級專利員的工作，愛因斯坦才度過難關。

愛因斯坦喜歡在早上就把所有工作做完，利用整個下午在辦公桌上思考物理問題。一個從學生時代就已令他著迷的問題就是：如果他能夠跑得和光一樣快，會看到什麼？

詹士・馬克士威（James Clerk Maxwell，1831-1879）的電磁學方程組說明光線就是電磁場的波動，而電磁波亦已被亨里希・赫茲（Heinrich Hertz, 1857-1894）的無線電實驗證明存在。科學家認為，既然光是波動，就跟所有其他波動一樣需要傳播媒介：聲波需要粒子、水波需要水份子，而光需要「以太」才能在宇宙直空中傳播。

愛因斯坦於1905年發表狹義相對論。在這之前牛頓的絕對時空觀早已令科學界困擾多年。著名的邁克遜—莫雷實驗結果與牛頓力學速度相加法則相違背[3]。無論地球公轉到軌道的哪個位置，無論實驗儀器轉向哪個方向，光線都相對以太以同樣秒速30萬公里前進，分毫不差。這就好像下雨時無論向哪個方向跑，雨點總是垂直落在我們的頭頂。難道雨點知道我們跑步方向，故意調整落下角度嗎？

光速不變概念非常革命性。因為光速不變，在我們眼中同時發生的兩件事，其他人看起來卻不一定同時。時間與空間有微妙關係，兩者結合在一起成為時空。當年大部分科學家都認為問題必然出在馬克士威電磁方程式，但愛因斯坦卻不這麼想。他認為，我們常識中對「同時」的理解根本有誤。不過，愛因斯坦並非以力學切入這個問題，而是思考一個著名的電磁現象：法拉第電磁感生效應。

法拉第電磁感應定律指出，移動的帶電粒子會同時產生電場與磁場，靜止的帶電粒子則只會產生電場，沒有磁場。但相對論說宇宙並沒有絕對空間，速度只有相對才有意義。而物理現象必須是唯一的，所以我們就有個問題：究竟有沒有磁場存在？把電磁鐵穿過線圈，我們可以做以下三個實驗：

（一）固定電磁鐵，移動線圈；
（二）固定線圈，移動電磁鐵；
（三）固定線圈及電磁鐵，改變磁場強度。

實驗結果：三個實驗之中都有電流通過線圈，而且數值完全一樣！

我們可以從實驗結果得出甚麼結論？基於完全不同的物理過程，實驗（一）與實驗（二）和（三）得到相同的電流。實驗（一）產生電流的是磁場，而實驗（二）和（三）產生電流的卻是改變的磁場所感生的電場。嚴格來說，實驗（一）的結果並非法拉第定律，因為法拉第定律所指的是磁場感生電場。正是這區別令愛因斯坦得到靈感，他在論文中說這個現象顯示無論是電動力學與力學，根本不存在絕對靜止這回事。

愛因斯坦預期相對論會在科學界引起廣泛討論，結果卻是異常安靜。愛因斯坦突然拋棄了物理「常識」，此舉令科學界摸不著頭腦。馬克斯・普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858-1947，1918 年諾貝爾物理奬得主）可能是唯一一個明白相對論重要性的人，他讀到論文後寫過信去問愛因斯坦解釋清楚一些理論細節，更派馬克斯・馮勞厄（Max von Laue，1879-1960，1914 年諾貝爾物理奬得主）去拜訪愛因斯坦。馮勞厄發現愛因斯坦竟然不是大學教授，而是瑞士專利局裡的小職員。回家路上，愛因斯坦送給馮勞厄一支雪茄，馮勞厄嫌品質太差，趁愛因斯坦不為意從橋上把雪茄丟了下去。

愛因斯坦導出那舉世聞名的質能關係方程式E=mc2，解釋了放射性同位素輻射能量來源和太陽能量來源。不過愛因斯坦後來在1921年獲頒的諾貝爾物理學獎並非因為相對論，而是因為他應用普朗克的量子論解釋了光電效應。

愛因斯坦並沒有滿足於狹義相對論。狹義相對論只適用於慣性坐標系，可是宇宙裡絕大部份坐標系都是非慣性的，例如地球就是個加速中的坐標系。愛因斯坦知道必須找出一個新理論去解釋加速坐標系中的運動定律。他幾乎是獨力地與新發展的數學分支「張量分析」在黑暗之中搏鬥了十年之久，最後才於1915年11月完成廣義相對論。我們已經觀賞過的宇宙大爆炸，都遵守廣義相對論的方程式。

愛因斯坦尋找正確的廣義相對論公式期間，米列娃與愛因斯坦的關已經變得非常惡劣，而且愛因斯坦的母親非常不喜歡他倆的婚姻，米列娃她就在1914年帶著兩個孩子離開他們的家柏林，到瑞士去了。與孩子分離使愛因斯坦非常傷心，因為他堅持留在德國做研究。不過，他與後來第二任妻子、表妹愛爾莎・愛因斯坦（Elsa Einstein，1876-1936）[4]的曖昧關係已經一發不可收拾。

我們穿越時間來到了1915年11月底，愛因斯坦就快發現能夠描述整個宇宙的新理論了。狹義相對論裡時空是平的，並且所有慣性坐標系都是等價的。廣義相對論描述的是更廣泛的彎曲時空，它能描述所有坐標系。只要指定一套時空度規、給定能量與物質密度分佈，就能夠計算出時空曲率如何隨時間改變。相對論大師約翰・惠勒（John Archibald Wheeler，1911-2008）曾說：「時空告訴物質如何運動；物質告訴時空如何彎曲。」[5]

狹義相對論改正了以往區分時間與空間的常識，而廣義相對論則把萬有引力描述成時空曲率，連光線也會被重力場彎曲，再次顛覆了常識。我們只需要把一組十式的愛因斯坦場方程式配合相應時空度規，任何宇宙的過去與未來都能夠計算出來。

當然很多人質疑廣義相對論的正確性，因為科學理論必須接受實驗驗證。終於在1919年，英國天文學家亞瑟・愛丁頓（Sir Arthur Stanley Eddington, 1882-1944）來到西非畿內亞灣普林要比島（Principe）以日全食觀測結果驗證了廣義相對論。1919年5月29日早晨，下著傾盆大雨。幸好到了下午1時30分雨停了，不過還有雲。愛丁頓努力拍攝了許多照片，希望能夠拍到太陽附近的星光偏折。最後結果出來了：在拍得的照片中，有一張與愛因斯坦的預測數值吻合。其實在科學裡，一個證據並不足以支持一個理論，但愛丁頓是個廣義相對論狂熱擁護者，他立即對外公佈廣義相對論已經被證實了。

廣義相對論場方程式顯示，宇宙若不是正在收縮就是正在膨脹。我們已經知道，當年愛因斯坦認為宇宙永遠存在，因此他在場方程式裡加入了宇宙常數，用來抵消重力，使宇宙變得平衡，不會擴張也不會收縮。但這樣的宇宙極不穩定，只要非常細微的擾動，宇宙就會膨脹或收縮。就好像把一個保齡球放在筆尖上，理論上保齡球可以停在筆尖上，但只要一點點風就能使保齡球滾下來。

不過，這個常被人說成是愛因斯坦一生最大錯誤的宇宙常數，其實的確存在。錯有錯著，歷史再次證明愛因斯坦正確，儘管這並非愛因斯坦的原意。1929年，愛德溫・哈勃（Edwin Hubble，1889-1953）發現星系正在遠離地球，而且越遙遠的星系後退的速度就越快。這只能有兩個解釋：要麼地球是宇宙的中心、要麼宇宙正在膨脹。當愛因斯坦知道哈勃的發現後，他後悔在廣義相對論方程式裡加入了人為的宇宙常數[6]。

今天，科學家已經發現宇宙不單正在膨脹，而且膨脹正在加速。暗能量、或者宇宙常數，因而在上世紀末重新復活。一個正在加速膨脹的宇宙，比一個靜止的宇宙需要更巨大的宇宙常數。而且事實上，即使有宇宙常數，宇宙亦不可能靜止。

愛因斯坦在第二次世界大戰時，因為擔心納粹德國會製造出原子彈，所以他曾寫信致羅斯福總統要求美國搶先研究製造原子彈。到戰後才發現，當時的德國根本無法造出原子彈，因為大多數的科學家已經被希特拉趕走了。那天早上，當愛因斯坦聽到原子彈已經把日本廣島夷為平地，他就呆坐在家，久久未能平復心情。從此以後，愛因斯坦極力主張廢除核武，導致他被50年代著名的FBI胡佛探長（John Edgar Hoover，1895-1972）認為他是共產黨間諜。理所當然，胡佛始終無法找到任何證據捉拿愛因斯坦。

愛因斯坦因以普朗克的光量子概念解釋了光電效應而獲得1921年諾貝爾物理獎。光電效應論文證明了光同時是波動和粒子，稱為光的波粒二象性，是量子力學的基本原理。不過，儘管量子力學和廣義相對論的所有預測都未曾出錯，兩者卻互不相容。現在的科學家十分清楚：要不是量子力學是錯的、或廣義相對論是錯的、或兩者都是錯的。

愛因斯坦於1923年7月11號在瑞典哥德堡舉行的Nordic Assembly of Naturalists會講上講了他的諾貝爾獎講座。雖然他得到的是1921年諾貝爾獎，可是因為諾貝爾奬委員會認為在1921年的提名名單中沒有人能夠得獎，跟據規則該年度之獎項順延至下一年頒發，所以愛因斯坦實際於1922年得到1921年的諾貝爾獎。而由於在1922年諾貝爾獎頒獎典禮舉行時愛因斯坦正在遠東旅行，直到1923年愛因斯坦才在哥德堡講出他的諾貝爾奬講座。順帶一提，愛因斯坦獲頒諾貝爾獎不久之前，他正在香港。

愛因斯坦雖然有份為量子力學打下基礎，後來卻變得不相信量子力學，例如他與兩個物理學家共同提出的愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論[7]就是為了推翻量子力學的。可是，科學家後來發現愛因斯坦—波多爾斯基—羅森悖論的假設「局域性」是錯的。廣義相對論認為宇宙是「局域」的，只有無限接近的兩個點才能有因果關係，因此推翻了牛頓重力理論中的「超距作用」。但量子力學卻說，兩個相距非常遠的粒子也能夠互相影響，因此量子力學與廣義相對論的假設是不相容的。

愛因斯坦一生都在尋找量子力學的錯處，結果是一個都找不到。他晚年一直在研究統一場論，希望統一電磁力和重力。不過，在他死前，人類並不知道除電磁力和重力以外還有強核力和弱核力。所以愛因斯坦根本沒有足夠的資訊去進行統一場論的研究，歷史注定要他失敗。

愛因斯坦一生對金錢、物質、名譽等不感興趣，他喜愛的東西大概可說只有物理和女人。他希望找出大自然的終極奧秘，並以優美、永恆不變的數學方程式表達出來。愛因斯坦覺得「政治只是一時，方程式卻是永恆。」[8]愛因斯坦聲稱自己並不擅長政治，但他在一生中卻經常對種族平等、世界和平等政治大議題作公開演講。因此他也引來許多人對他的政治立場表達不滿。

當以色列的第一任總統哈伊姆・魏茲曼（Chaim Azriel Weizmann，1874-1952）於1952年逝世時，以色列官方曾邀請愛因斯坦擔任第二任總統。最後，愛因斯坦寫了一封回信感謝並婉拒。

1955年4月18號，愛因斯坦在撰寫祝賀以色列建國七週年的講稿中途逝世。他生前堅拒以人工方法勉強延長生命，他說：「當我想要離去的時候請讓我離去，一味地延長生命是毫無意義的。我已經完成了我該做的。現在是該離去的時候了，我要優雅地離去。」//