以上是我很久以前導的旋度定理


但有人說我錯很大


他說以下有式子不能無緣無故消去，我也覺得很奇怪，


我是哪裡推導錯誤了呢?



※ [本文轉錄自 Physics 看板]

作者: ntust661 (661) 看板: Physics
標題: Re: [問題] 請問梯度 散度 和旋度的最初定義
時間: Wed Dec 2 00:37:01 2009




來講旋度


純粹討論二維度的旋度


旋度，代表的是 (1)環流密度

(2)向量場的旋轉趨勢。


在向量場中，我要開始找他的"旋度"


那要如何判別渦漩的大小呢?


就是看他一整圈流量積分(Flow)的大小而定



Flow Integral


→ →
∫ F ‧ T ds = 流量大小
c


F 向量場

T 單位切線向量

ds 微小的曲線段

c 積分路徑



它的物理意義，


你想想看，水槽開始放水，你在水流中想像一個圓圈，


是不是大部分(幾乎)的水流都會與你的圓圈"相切"呢?


再想一個，水龍頭的水往下落，到水槽的時候，會往外散開


你想像一個圓圈，會發現水的流向與圓圈不相切(大部分是互相垂直)，


這時候是不是沒有看到水在"旋轉"呢?


這時候看看流量原始的定義，我既然是與曲線相切的方向才會保留下來


那保留下來的越多，代表順著曲線的流量越大，


現在把曲線封起來成一個封閉曲線。是不是發現，流量越大，轉的趨勢會越大。



現在，"旋度"這個東西我要從以上所描述的意義開始導出他的樣子。




目標 : 計算旋度 (Curl)




已知 (1) 左下角我設為原點(x,y)

(2) 微小單位的長度代表 Δx ，寬度代表 Δy

(3) 向量場 F = < P(x,y) i + Q(x,y) j >

(4) 逆時針為正



圖形

←
(x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy)
┌───┐
│ │Δy
↓ │ │ ↑
└───┘
(x,y) Δx (x+Δx,y)

→


很簡單，既然是個不平滑的曲線，就分段來做。


Flow 總流量 會等於以下的總和。
total

--------------------------


Flow 頂部的流量
top

+


Flow 底部的流量
bottom

+


Flow 左邊的流量
left

+

Flow 右邊的流量
right

---------------------------


先計算底部流量


定義

→ →
∫ F‧T ds
c

現在曲線 c 是條直線，然後因為 i 方向與底線平行，所以只留下 i 方向 P


則底部的流量 = P(x,y) Δx


其他依此類推


得到 底部流量 P(x,y) Δx

頂部流量 - P(x+Δx,y+Δy)Δx

右邊流量 Q(x+Δx,y) Δy

左邊流量 - Q(x,y+Δy)Δy



放一起，


- P(x+Δx,y+Δy) Δx + P(x,y) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y+Δy) Δy


這時候 加 P(x,y+Δy) 減 P(x,y+Δy) 加 Q(x+Δx,y+Δy) 減 Q(x+Δx,y+Δy)



會變成


d P d P d Q d Q
( - ─── Δx - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx - ─── Δy ) Δy
d x d y d x d y


Δx 逼近趨近於零變成 dx

Δy 逼近趨近於零變成 dy


dxdx dydy 的項 小到不能在小...所以消掉。


剩下的就會變成



d Q d P
( ─── - ─── ) dx dy
d x d y


這時候除以微小面積 dA = dx dy


就會變成你原本單純積分出來環流除面積 = 環流密度


環流密度也就是旋度，


所以你大概可以知道旋度的意義了吧?



PS

有很多我還沒有說，現階段知道這些就夠了吧@.@~

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