child：為什麼依照『數學歸納法』的程序，可以拿來證明數學？

yonex：孩子，不管你開不開心，好歹你學了好幾年的數學，

應該能夠體會....一件對的事情（定理），才能拿來證明其他事情（定理），
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
換句話說，定理W是正確的，必須由定理V推導而得，而定裡U又要由先前的定理導得...

......←定理W ←定理V ←定理U ←....←定理A ←....

這樣下去肯定沒完沒了，總是要有一個『不用被證明的開端』！
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
那個『開端』不能稱為『定理』！

因為他不用被證明（不證自明），是一個『不能問為什麼』的東西....

我們稱這個『開端』叫做『公設』，而下面程序就稱為『公設演繹法』

『公設』→定理A →....→定理U →定理V →定理W →.....

『乘法交換律』就是一條公設，

同一個矩型面積，『長乘寬 等於 寬乘長』...你不能問為什麼！

那我現在跟你講....『數學歸納法原理』，就是一個『公設』（Peano第五公設）
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
對於『公設』，你不能問為什麼，但是稍後我會跟你解釋！
（需要解釋是因為...這個公設『長得有點複雜』，到時候...我肯定可以讓你接受）

現在我只能要你『先』接受...否則我們就無法繼續討論下去

好！...既然我們一起共識了數學歸納法原理（公設）是不證自明的，

那麼在這個『先設條件』為前提下
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
就可以用『他』來證明....其他事情（定理）也是『先設條件』下的『真理』
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
這就是『公設演繹法』的精神，事實上也是『數學的基本精神』....

我們現在可以開始探討，使用數學歸納法原理的程序...來證明定理了


kh749：我先再次說明一下數學歸納法原理：
-------------------------------------------
令P（n）為一個『敘述』（敘述就是集合）
驗證兩件事情：
a. P（1）成立
b. 由P（k）成立前提下，導出下一個P（k+1）也成立 （當然k只能是自然數）

則，P（n）這個敘述對所有自然數都成立。
-------------------------------------------

假設n＝k時成立,（切記，目前還是假設）此時,若能推出n＝k+1也成立（需論證）
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
那麼b.這個步驟就算完畢了

但是你不要忘了...

你只是得到...『若』n＝k,該敘述成立的話,n=k+1也成立
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
並沒有找到一個自然數 k 啊!!...

『你要找到ㄧ個對敘述成立的自然數k』,才能使得n＝k+1也是成立的
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
然後才可以經由你已經論證過的b.步驟.......一個推一個
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
由k得到k+1,由k+1推到k+2,由k+2推到k+3 （就像骨牌推倒一樣）

為什麼可以一個推一個？...因為你已經論證了步驟b.了


問題目前在於...那個成立的自然數k要怎麼找？

所以我們要驗證 n＝1 對於敘述是成立的...

如果n＝1成立,根據步驟b.（骨牌推倒）則n＝2也成立

n＝2成立,則n＝3也成立....

因此對於n屬於自然數，敘述都可以全部成立了....


yonex：kh749老師講得非常好....

我再提醒與補充幾點...

1.第 n+1 個『骨牌』被推倒，只能用第 n 個骨牌去推，不能使用『外力』
^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^

2.只有第一個骨牌（也就是步驟a.）你可以使用外力去推倒（導）
（當然...一個敘述不一定從第一個就為真，你也可以從第三個開始）

3.有時候...P(n)這個敘述的設定，要一點點訓練，這不難，但很重要！


4.骨牌的世界就是自然數的世界，骨牌跟骨牌中間，不會有其它的東西，
只考慮自然數為探討對象，那麼自然數跟自然數中間，不會有其他的數。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
所以數學歸納法只能用來證明：一個敘述之於自然數的定理
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
任何定理若牽扯到有理數或是實數等等....不可使用數學歸納法
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

5.有些定理比較『難纏』，只在步驟a.中推倒一個骨牌，不足以讓第n+1個倒下
那麼我們可能要在步驟a.中，一次推倒兩個骨牌、三個骨牌....（視情況需要而定）
這叫『第二型數學歸納法』，
數學歸納法有很多型式，但彼此的『等價性』已被證明。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
（第二型數學歸納法，類比於推骨牌，有點像...骨牌比較重的情況，
只推一個動量不夠，不足以使第n個骨牌推倒第n+1個....所以在步驟a.要多推幾個）

6.『數學歸納法原理』就是自然數系的『Peano第五公設』，
所以也是自然數所具備的....不證自明的性質。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
他很優美，你接受他沒有任何壞處，
一個定理對於所有自然數都成立的話，而自然數又有無窮多個，
若要一個一個驗證，以我們有涯的生命是驗證不完的。
有數學歸納法，我們只要做兩件事情....把步驟a.b.搞定就好了...
一句話勝過千言萬語，這不正是數學之所以稱為『無窮之學』的美妙嗎？


child：OK！我同意yonex與kh749兩位老師的解說，能否舉幾個例子！
_
yonex：放心，我會舉例的....
順便反駁你曾經誤用數學歸納法的例子（證明0.9＜1）
不過且讓我休息一下，並且這篇文章也太長了....

child：好的，只是...別忘了，你還欠我數學歸納法『本質上』成立的解釋喔！



待續....


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 203.67.107.200
※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/23 04:01)