※ 引述《PROQC (跑步去)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：指數率
: 4.題目： 是非題 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0
: 答案是(錯)
: 5.想法：我知道有理指數的底數不可為負
: 但我計算的結果:
: 1.(-2)6次方 = 64
: 2.(根號2*i)12次方 = 64*1 = 64
: 3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根號4)12次方=64
: 都是 64 > 0
: 想請教的:此題是直接說底數不可為負所以錯 ?
: 還是有其他的計算方式可以寫出不大於0的結果 ?
: ，請各位高手解惑，謝謝。

首先針對前篇推文中，我一再使用的"指數函數"用詞不當，造成討論上的困擾而道歉

因為這邊我們只需要討論"指數"及相關的"指數定律"成立與否


condensed 大大說的對

"如果不允許默認某些前提及合理語境，我想國高中一半以上的數理問題
你都能說是錯的"

我們在回答任何一個問題前

問問題的人，與回答問題的人皆須要先確定好我們身處在什麼立足點

我們一致擁有的前提、背景、認知等等是什麼

而此題既然是出在高中教材中

自然默認我們所根據的知識僅為高中三年中會學到的教材去做討論

在高中各個版本的課本中

皆提到下面的事實 (以下以手邊有的康熙版本為例子敘述)

" a^(1/n) 的定義 :

當 a 為正實數，且n為正整數時， a^(1/n) = a 開n次根號
^^^^^^^^^^^^^ 指 n
√(a) "


因此擴張到任意有理數的指數為

" a^(m/n) 的定義：

當 a 為正實數，且n是正整數，m是整數時， a^(m/n) = ( a ^(1/n) ) ^ m "


依照上述對指數的認識

此題

: 4.題目： 是非題 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0
: 答案是(錯)

答案之所以不能選，完全仰賴我們不允許指數是有理數時，底數是負實數

: 5.想法：我知道有理指數的底數不可為負
: 但我計算的結果:
: 1.(-2)6次方 = 64

此步驟的問題在， 當a = -2 < 0 , n = 1/2 in Q 時

a^n 本身即不合定義了， (a^n)^12 = a^(n*12) 此指數律根本就有問題

: 2.(根號2*i)12次方 = 64*1 = 64

根號2*i = 根號(-2) , 而 (-2)^(1/2) 並沒有定義成 根號(-2)，所以有問題

: 3.[ (-2)2/4次 ] 12次方 = (4次根號4)12次方=64

同樣地，底數為負的時候，未定義，因此此式依然有問題

: 都是 64 > 0


並且依照這樣的認知下

我們也不應該遇到已經學完複數極式的高三孩子

找我們說:老師，你高一教的是錯的。

因為高三的複數極式都是在問

" 求 x^2 = -1 的根 " 而非問 " (-1)^(1/2) 為何? "



不過

如同前面討論的

當我們的知識領域擴充到複變數函數中

此定義問題也已經有所解決

故此問題在適當的代數結構下，自然是正確(?)

(這我不敢肯定，因為複數底數的指數之定義，我只有皮毛認識)




因此對於這題目要如何教導學生

我就是主張

我們要先跟學生確定好我們在什麼數學架構下去討論

當然學生不會懂我說什麼

所以該對學生說明

" 在高中課程的範疇中，因為定義的問題，這個選項不應該選

然而到了未來我們擁有更多的知識背景以後，這個選項卻是合理可計算的 "

這也是為什麼我要說不應該是正確的

因為我們不同人在判斷這個問題上，會有認知的出入，當我們沒有好好地先澄清背景的數

學架構時，這個問題根本沒有對與錯的分別

如同我前面所舉的例子，憑什麼大家都同意不反對 "1+1=0 是錯誤的" 的這個敘述?

還不是因為我們都彼此默認此時的加法是 over R

如果我不先接受這樣的默認

我也可以大聲地喊著大家都錯了

所以我不能理解

我為什麼不能在彼此同意此問題是成立於高中數學範疇的前提下

而判斷此選項不正確



再者

對於此題目在出考題上的適切性

我在一開始原PO的推文就說了我沒有要探討

但是不可否認的

這是一種機會

可以幫助學生體會

數學問題都是建立在各種公設之上才能進行討論的東西


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.251.6.198

看來看去，您應該還是沒有翻閱正式課本是如何撰寫這部份

首先，看了許多課本以後確實發現沒有一本書有提到或寫到 如 : 27^(2/(-3))

即有理數指數，分母取負整數之狀況

但是

課本 ( 全華、龍騰 ) 卻有提到一件事

" 因為有理數的表示法不唯一，而所有的有理數都可以寫為 m/n 的型式，其中

m 為整數，n 為正整數 "

據此說明加上書中的定義方式，老師可以做下面的解讀並教導學生



由於高中生都可以接受有理數可以擴分，並其值相等

即 2/(-3) 本質上與 (-2)/3 是相等的 ...... 這邊可以說是擴分乘上 -1 倍

而此事實在我們習慣的實數系或是有理數系早已成立
( 因為我們能在有理數系中定義出等價類，而 2/(-3) 與 (-2)/3 在同一個等價類 )

故儘管未定義 ( 事實上也不需要 ) 27^(2/(-3))

但因為 2/(-3) = (-2)/3

因此 27^(2/(-3)) = 27^((-2)/3) ... 因為有理數間的等價關係

= (27的三次根號)^(-2) ... 由定義

= 1/9

-----------------------------------------------------------------------------

希望你不要再問我

既然可以算

那一開始的定義就不要限定 n 一定要正整數，而改成整數就好了

的問題


→ jollic:我不懂你上面的疑惑是一種激問法，還是專業度需要強化而問 11/07 14:15

接著回答

當指數推廣到有理數後，為什麼需要限定底數為正

而關於這個問題

目前我只有看到南一課本有正式寫進課文中，而非其他版本只是放進教師手冊甚至是

沒有提到這部分的討論


南一課本從一開始推廣指數從正整數到整數的時候

即用上了兩個字 "堅持"

說 : 在指數的推廣時，我們堅持指數定律需保持不變

( 在這邊我還記得當年微積分教授也說過，指數函數被創造出來有一個原因是想找找看

有沒有什麼函數可以滿足 f(x+y) = f(x) * f(y) 的性質 )

** 註: 指數定律是 (1) a^m * a^n = a^(m+n)

(2) (a^m)^n = a^(mn)

(3) (ab)^m = a^m * b^m

基於這個觀點

若是我們推廣指數到有理數時，也允許底數為負的話

會發生如


i = sqrt(-1) ... 虛數 i 的定義

= (-1) ^ (1/2) ... 前述有理數指數定義，去除底數限制

= (-1) ^ (2/4) ... 有理數的等價關係

= ( (-1)^2 ) ^ (1/4) ... 指數定律

= ( 1 ^ 2 ) ^ (1/4) ... 正整數指數

= 1 ^ (2/4) ... 指數定律

= 1 ^ (1/2) ... 有理數的等價關係

= sqrt(1) ... 有理數指數

= 1

矛盾出現

是故，在此我們希望去限制底數只能為正實數，以避免指數定律的不成立。

當然，有沒有好的辦法讓底數不要受限，又能讓指數定律成立?

課本告訴學生，高中階段尚不討論。

(據我們所知，一種解決方法即進入複變數函數的世界處理，這部分當然就太深了。)

從上面的課程布局來看

我也就不懂為什麼會有學完極式的高三學生跑來說高一教錯了的不一致行徑。

就以您提的例子來說明好了


: 令 x = (-2)^(1/2)

: 則 x^2 = -2 => x = √2 i or -√2 i （詳見99課綱選修上冊複數極式）
^^^^

"則" 字在數學用語中，即含有 " 推論 " 的意思

而上面的兩句話，也就是代表

if x = (-2)^(1/2), then x^2 = -2 .

這部份，因為指數定律已經無法使用

那我們究竟要依據什麼理由才能做出這個推論 ?

: case 1. x = √2 i，則 x^12 = 64 > 0 （此過程是有問題的）
: 複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。
: case 2. x = -√2 i，則 x^12 = 64 > 0 （此過程是有問題的）
: 複數的次方還是複數，此時無法用來比大小。


---

: 我前面講的是是否有某個東西的平方是-2
:
: 學生會不會有這樣的疑問：
:
: 為什麼"x = (2)^(1/2) => x^2 = 2"對，
:
: 而"x = (-2)^(1/2) => x^2 = -2"卻錯？

在現行的定義下，指數定律在底數為負的時，會出現問題。

: 或者有這樣的疑問：
:
: 為什麼"x = (2)^(1/2) => x = √2"對，
:
: 而"x = (-2)^(1/2) => x = √2 i"卻錯？

在現行的定義下，指數定律在底數為負的時，會出現問題。

---

: 這邊值得注意的一點是，
:
: 課綱中提到底數為正的情況在於指數函數(而且還不能是1)，而非指數運算，:

幫補課綱原文：

要介紹指數函數（底數a>0,a≠1）的圖形與性質，包括：值域、單調性（嚴
格遞增、嚴格遞減）與凹凸性，這裡凹凸性僅做割弦在函數圖形上方的直觀介紹
即可。主要的指數函數為2^x 及10^x 。


: 因此學生會不會有這樣的疑問：
:
: 既然指數底數在高中課程為正，
:
: 那為什麼"2^2 = 4 "對， "(-2)^2 = 4"也對？

由課綱的敘述可見，只考慮底數為正顯然是針對介紹指數函數的圖形時所用。

: 又為什麼"[2^(1/2)]^2 = 2"對，而"[(-2)^(1/2)]^2 = -2"卻錯了？
^^^^^^^^^^^^^^^^^
同上理由，指數定律在底數為負的時候
會出現問題，是故無法使用

: 但實際上真的是錯的嗎？

實際上，是對是錯，才疏學淺我也不敢肯定，但至少我從徹尾都沒說過"錯"

只會告訴學生，在現行的數學架構下這部份會有一些我們還沒辦法處理的問題，等到

以後學得更多，有了能力之後，才能做適當的判斷。

但如果學生認為 "不選擇" = "錯"

那千萬要機會教育，不讓學生只會二分法 ---- 即不是對，就是錯。




最後，如果要問，為什麼要堅持指數定律成立，以小弟我個人的解讀 (不一定正確)

1. 滿足指數定律的性質是創造指數的動機之一。

2. 高中課程中，我沒有看見一定非要定義如 (-1)^(1/2) ，底數小於0時候的

有理數指數之後，才能夠解決的問題 (滿足求知欲當然另當別論)。

3. 小弟才疏學淺，尚不能理解課本編輯的教授們之用意。

4. 其他各種我沒想到的原因。

以上

※ 編輯: jollic 來自: 114.25.174.213 (11/08 21:48)
※ 編輯: jollic 來自: 114.25.174.213 (11/08 21:55)