曾經有一位學生密我，劈頭就說：「老師，我需要短時間提升多益分數，所以很注重考試技巧，有沒有這樣的課程？」

確實，我在剛開始帶多益班的時候，因為學生很愛，我也不是不能講，因此會幫學生訓練所謂的「速解公式/考試技巧」

但後來發現，學生只能在題目都符合公式的狀況下答對，但只要稍微變化一下，就全部死光光了

而且掉入的陷阱，很多都是那種「只要有注意文意，一定不會掉進去」的陷阱😓

所以花了那麼多時間上課，根本就沒有帶來實質上的進步，學到的都是浮誇空洞的技巧

那些假的進步，就像毒品一樣，一時讓你很嗨，但藥效過了之後，只剩下一片空虛，接著又再花時間找更快速的技巧，想獲得更快速的進步，但卻陷入一個死循環……

花費了大量時間、體力甚至金錢，最後只學會了空洞的解題技能，還染上了「不喜歡看完完整句子跟文章的壞習慣」

看到單選題，不顧文意只想套公式
看到文章，只想抓關鍵字解題

不僅對語言能力提升沒幫助，未來職場上真的需要的時候，你也依然不喜歡看完長篇英文文件、無法抓到長文的重點

接下來，你就必須花更大的力氣來「戒毒」意思是：你還得額外花力氣戒掉走捷徑的壞習慣，重新把基礎累積起來，慢慢把「原本可以在準備多益的時候，就培養起的能力」重新花時間培養

這就是學英文的知識債，越仰賴它債務就越多，償還就越辛苦。

最重要的是：這些解題技巧，現在大多已經毫無用處。不只實力沒有提升，甚至連「分數」都上不來了。

為什麼解題技巧會那麼盛行？
原因大家都清楚，就是它能在短期內讓你“感覺好像進步了”，而且學生也愛學，老師為了符合市場需求，就會這樣教

但長期而言，#對整個社會的英語學習氛圍是非常有害的，會讓大家養成走捷徑、炒短線的習慣，反而疏於養成紮實完整的實力

這個狀況，推動了多益的改制


【改制後的多益，實力才是最重要的】

想想看，一個純靠解題技巧考到金色證書、順利進入外商公司上班的人
真正遇到英文文件時，會發生什麼事情？

真實的世界沒有「先看題目」、沒有「選項」
沒有實力的人，會被公司如何評價？而公司又會怎麼看待他閃亮亮的「金色證書」？

因此多益在2018年改制，卯足吃奶的力氣防堵各種考試技巧
畢竟他們是語言能力評測機構，一定希望自己的測驗有足夠的信度效度，真的能測出聽讀的能力，怎麼能讓你直接套公式呢？

所以 2018 的新多益，加入了諸多「陷阱」、長文、多篇文等，就是為了讓你不再能無腦速解。我可以非常肯定的說：「解題技巧一定是多益官方最討厭的事物之一」 haha

作為多益考生，你想要當官方討厭的那種人，還是有實力的那種人呢？

【這個概念深深影響老師設計課程的方向】

因此，老師現在在做的多益閱讀課程，雖然也會訓練你們的作答策略，但會更加注重幫你抓出精準的範圍、常考的商務溝通事件，來專注幫你累積商務英文實力

閱讀可以有「策略」，但不會有「近乎作弊的捷徑」

希望看完這篇的你，可以理解老師現在正課不太教技巧的原因，因為那些並不是學習語言的本質

你的努力，值得花在更重要、更有意義的事情。

老師的多益閱讀速度修煉課
整理了職場跟生活中最實用，同時也是最高頻出題的65個溝通事件

而其中，老師新增了對老師而言非常辛苦，但對實力能大大提升的一個步驟：

透過脈絡，看著文章中的關鍵內容字，回想出完整句子

這個步驟是真正去釐清意義後，觀察它到底用了什麼單字、文法、結構來達成目標

因此光靠一串脈絡，你就能一次學會使用整串單字文法，順便還釐清英文文件中每個資訊的溝通意義。

讓你能真正在英文文件中掌握關鍵資訊、解決問題、達成目標、創造價值

歡迎點進去課程頁面看看老師幫大家整理的65個高頻商務溝通事件，會發現他們不管在生活還是職場，都會是實用的英文底子

直接試用看看多益閱讀速度修煉課
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我們一起天天成為比昨天更好的自己！

以琳Yiling

【該不該補習？效果多強？】
【不要妖魔化補習班，但絕非有補有保庇】

每到考季，就有媽媽私訊我詢問補習之事，就拿出舊作跟大家分享吧！
……………………………………….

附近一家麵店老闆把大筆財力投注在女兒的補習，從七年級開始，國、英、數、社、生物，到八年級理化，每一科都不放過，最後的關鍵大考竟然不盡理想，麵店老闆最後只得再花一筆大錢把孩子送進私立高中。

麵店老闆跟我苦笑：「現在我才覺悟，補習是補心安的！」

補習真的沒有效用嗎？但根據國內多個研究都顯示補習是具有效果的，結論如下：

1.「有補習者」的成績表現普遍比「沒有補習者」來得好，但是至多兩三科，最佳狀態是兩科。「每多補一科, 則會以遞減的速率提升成績」，補習科目過多，整體成績不升反降。

2. 孩子自發性的選擇補習，其效果也優於被動補習者。

比如江芳盛在「國中課業補習之效果探討」就有結論如下：

「研究國中一年級的補習成效，發現補習的時數對於學習表現呈曲線關係,，亦即補習對於學習表現有邊際報酬遞減的趨勢，

若每週補習超過12小時以上, 學習成效出現下滑現象。」
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黃毅志與陳俊瑋在「學科補習、成績表現與升學結果：以學測成績與上公立大學為例」也發現：

「高中的補習科目數，對大學學測成績及進入公立大學機率的影響，呈現『先升後降』的趨勢, 原因是補習項數過多, 會降低複習的時間。」
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從小學高年級開始,課業就開始變難，家長也慢慢幫不上手，到了國中，家長更無法像小學一樣擔任孩子的萬事通，特別是數理科目，父母只能在一旁督促與鼓勵，但無法幫上實質的忙，

如果放任孩子閉門造車而不介入幫忙想辦法，孩子很可能從國中開始，學習愈來愈落後。

一條路走不通，該不該思考其他的方法？堅持絕不補習是對的嗎？
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((補習不是萬靈丹，自行消化複習永遠不可少))

咱家小子有一位同學在七年級以前課業還不錯，而這孩子的媽一向極度排斥孩子補習，始終堅持孩子得靠自己的力量來學習，而且不希望冗長的補習打亂了孩子的作息。

但沒想到，到了八年級，這孩子碰到了理化卻束手無策，即使上課很認真的聽講，不懂的地方也千方百計地問同學、問老師，但成績卻每況愈下，這位同學愈讀愈沒信心，心慌意亂，幾乎想放棄這個科目。

最後，這孩子鼓起勇氣和媽媽說想試著補習，並自己打聽到一個風評不錯的補習班，沒想到才試聽一堂便覺得大有幫助，持續補習後，不僅理化成績提升，而且也重拾了信心。
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這印證了前述研究的結論：
適當的補習，確實能提振學習成果，不僅能提升成績，甚至也可能提升學習動機與信心。

而這個孩子是出於自主的想要尋求協助，自己去找補習班，自己要求要補習，效果更好。

而第一個麵店的孩子為什麼補習效果差？對照研究結果，原因很可能出在「過度的補習」，呼應了前述研究的結論。
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補習通常一坐就是三小時，回到家也近晚上10點，吃個點心、洗個澡，也都11點，幾乎不太有時間複習學校的進度，

然而體制內的國中幾乎天天都有測驗，所以若是將每個晚上的時間都消耗在補習班裡，勢必沒有充分時間可兼顧學校的進度。

即使補習，學生也必須在課程之後花費時間，自己再思考、再理解與反覆練習，才能將內容徹底融會貫通，

不論補習班老師有多神，如果上課恍神、回家也不再複習，那麼即使是世界名師恐怕也愛莫能助。
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過度補習的最嚴重問題就是，學生完全沒有時間再自行思考整理，而天天為了趕著上課，可能根本沒一天能好好吃一頓飯，長期拖著疲累的身體，吃不好、睡得少，當然效果打折扣。

如果補習又是父母所命，而非孩子自己切身認知到的需要，那麼上課認真聽講、下課認真複習的動力將更為薄弱。
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((能自己讀，就大膽讓孩子磨練自我學習的能力))

我自家有兩個小子們剛上國中時並沒有補習，但是聽了多位過來人的建議，深深理解到國中的課程變得艱難，進度也非常快速，所以都建議我一定要讓孩子從升國中的暑假就開始補習，

如果不補習，也一定要想辦法先行預習，特別是數學、生物，否則很可能開學後跟不上。

但是我一直憧憬著孩子能度過一個儘量不補習的國中生涯，所以一開始並不打算讓孩子補習，而是不斷提醒孩子們在學校上課一定要專心，回家則要按照進度複習，

如果有時間就預習，時間不足最起碼要趕上學校的進度，我則擔任一個盡責的鞭策者，然後我一路慢慢觀察孩子的需要。
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老大直到八年級發現學習理化有瓶頸，但又不太適合大班制的學習，於是延請了一對一的理化家教來幫他解答疑惑，其他的科目則維持自己研讀，雖不是唸到頂尖，但大致能維持一定的程度。

我曾問過大兒子會不會後悔沒有補習，他的回答竟然是感謝我沒有威逼他一定要補習，而讓他有機會趁早摸索自己讀書的方法，

特別是幾乎人人都得補的「數學」這一科，因為沒有人可以幫忙，所以上課特別專注，回家則硬著頭皮逼自己思考與解題，這是一個完整的體會自我學習的過程，最後會考雖沒有A++，但憑著自己真實的實力也抱了一個A+。
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他告訴我：「或許補習可以把我逼出一個A++，但是這個A+是反映我真實實力的分數，讓我知道我真實的落點，我反而讀得更心安理得。」

而老二七年級時也依循著哥哥的步調，先不急著補習。記得老大上國中時，針對要記憶的科目如史地、生物，我還會定期撥出時間做驗收的動作，

而到了老二，除非他自己遇到問題來問我，否則我就交給他全權自我負責。

有一天，我問二兒子：「生物是一門新的科目，對剛上國中的孩子來說內容既龐雜，考題又很靈活，但為什麼你從來沒問過我問題？」

二兒子竟然回答：「因為我覺得媽媽你應該老早就忘光了，恐怕你還沒我懂得多吧，所以我從來都不會想到要來問你呀！」
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我聽了噗哧一笑，原來孩子上了國中之後就覺得過去媽媽這個萬事通早已江郎才盡，而再也不會因為背後有個靠山而有恃無恐。

正因為沒得靠，兒子反而特別認真複習，不敢怠惰，迫使他對於生物、社會等內容龐雜、需要記憶的科目，在七年級時快速練統整歸納的能力。

不過到了九年級開始進入密集準備國中會考的階段，平時段考成績還不錯的二兒子一旦面對大範圍的模擬考就顯得力不從心，

一直願意努力用功的他看來相當沮喪，愈考模擬考就愈沒有信心，這時身為家長的我當然不能置身度外，一定要伸出援手。

善於反省的二兒子看到了自己的弱點，就是當範圍變大，靈活度較低的他就會在廣大題海裡迷失，即使所有的原理都循序漸進的弄清楚了，但看到變化多端的題目卻一時之間不知該如何下手，無法判斷在考什麼定理。

「媽，我需要見識更多的題目來增進自己判題的能力。」
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於是，在九年級下學期，二兒子自己要求要參加考前統整班，藉由補習班團隊靈活多變的題目來增加判題的靈敏度。

畢竟每個孩子都逃不開會考，而會考就是只有一次，孩子對自我有一定的期許值得肯定，孩子自己能找到問題所在，並願意嘗試去克服與提升，更值得嘉許，

當媽媽的我當然不會阻擋孩子自我的選擇，而當孩子感到困擾的問題能獲得解決，也才能讓他重回良性循環的學習之路。此時，我不會反對兒子補習。

補習班設立的目的就是要有效且大幅提升學生的成績，因此，一定把學習內容整個打包成條理分明的「懶人包」；
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為了增進學生作答速度，也將題型分門別類，依照題型，傳授快速解題法；為了讓學生有系統的複習課業，補習班幫孩子規畫進度，孩子毋須自己思考，只須按表操課，就能安心地完成所有進度；

而補習班的統一管理，還能杜絕孩子玩手機、防止分心；補習班老師活潑風趣、穿插笑話，讓課堂絕無冷場，而能引人入勝。

綜合以上，補習班包辦了所有孩子們最不擅長的能力：規劃進度、統整資訊、獨立思考、解決問題、時間管理、自我控制；但這些也是孩子們最需要被磨練的能力。

當補習班補足學生的不足之時，也正剝奪了他們自我規劃與自主學習的機會。

因此，如果觀察孩子在某些領域能依靠自己的能力維持一定的成績，不妨就把這些科目當成他們對自我學習能力墾荒的最佳園地吧！
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有一個研究結果也很有趣：

補習者若不補習、 以及不補習者若補習的預期成績, 結果顯示兩者成績都會退步, 顯示兩者都已自我選擇各自較有利的學習途徑。

所以不需要一昧的高估補習的效果，而是要視孩子自身的學習特質而定。補習，絕不是「有病治病、無病強身」。

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【關於補習該有的七個心理準備】

(((補習絕不會把每一個孩子都補成高材生)))

補習雖能提升成績，但孩子的成績分布有一定的落點範圍，父母要坦誠面對並接受。

(((讓孩子自己意識到補習的需要)))
由孩子自己提出需求，孩子才會珍惜補習的資源，而不是視作理所當然。

(((過度的補習絕對有害而無益)))
沒留有充足的時間自行消化與複習，無論對提振成績或掌握學習方法都沒有幫助。

(((技術轉移補習班的統整歸納方法)))
在深度依賴補習班的同時，請引導孩子思考補習班如何幫助他們規劃進度、統整歸納，這更是必須吸收的技巧。

(((請釐清，補習不是補心安)))
如果一段時間之後沒有效果，則需當機立斷，另尋其他的補習班或補救教育。

(((細膩的跟補習班溝通孩子的問題)))
大班制的補習班很難顧全每個孩子的問題，如果是人人推薦的名師，還是要找時間跟老師或助教溝通孩子細部的問題。如果孩子的個別問題很難顧全，或許選擇小班制的補習班會更適合孩子。

(((不妖魔化補習班)))
不少補習班老師很用心也累積多年的教學經驗，確實能把孩子的學習信心帶出來，進而持續的提升學習效果。如果孩子真的有弱科，但心生排斥，不妨找他的同學一起去，這樣絕對能大大提升他們的意願。

【延伸閱讀參考】

《家有青少年之爸媽的33個修練》
https://www.books.com.tw/products/0010887768?sloc=main
《誰說分數不重要》
https://www.books.com.tw/products/0010759220?sloc=main

【 奇幻遠距蒙特梭利（四）：手動建構數學概念 】

蒙特梭利的數學教育真的是相當的驚人，幾乎在每個微環節都跟我們家長們血淚經歷的傳統數學教育完全相反，也因此為娘的只能不停地撿下巴。

從九個月大就是蒙特梭利北鼻的小札克，今年夏天就要轉九歲了。一方面因為知道蒙特梭利教育是幾十年在實驗室中觀察培養出來的最符合人性的科學教育法，我因此充滿信心，加上學校老師幾次提醒家長千萬不要在家裡教捷徑，導致不想秧苗助長的媽媽拿令箭樂得在家翹腳省事。小札克一路八年蒙特梭利上來，在防疫居家遠距教學之前，我們在家還真的從沒管過他數學的事。小札克從來沒在家裡寫過任何練習題，我從來沒陪他練背過乘法表，學校也從來不給回家作業。

這次難得的遠距教學，終於讓我見識到多年來蒙特梭利教育一點一滴培育出的小札克的數學腦有多奇妙！

幾個蒙特梭利教育的大特色，像使用身體的運作與活動去強化學習、使用教具讓抽象概念具體化、每個小概念都要知其所以然才會前進到下一步等等，在數學教育上仍然是面面俱到。

在最初級的數學概念建構上，串珠教具展現出『1』是一粒珠子，『10』是十粒珠子的一條串珠、『100』是十排十粒串珠的正方型板子、『1000』是十塊100正方型板子合出來的正方體。正方形的板子隱藏了ten squared（十平方）的概念，果真是個square。每一邊長都是十粒珠的正方體也隱藏了ten cubed（十立方）的概念，果真又是個cube。

然後藉著個位數蒐集到十顆就要去換一條十粒的金色串珠，金色串珠蒐集到十排就又要起身去換一塊百粒珠的板子，板子蒐集到十片就要再跑去換一個千粒珠的正方體，孩子們開始建立出進位的概念。

孩子們使用了觸感、視覺、身體的運作等多重感官去細細感受這些抽象的數學概念，有了圖像記憶與肌肉記憶，一千與一的幾何數量差別變成理所當然的事。

等這些『個十百千萬』的基礎數量與加法進位的概念建立好後，又有同樣數字同樣顏色的串珠串在一起的超級長鍊教具。孩子們把長鍊擺出來，一顆顆地去數，再去標註倍數的地方。

舉例來說，如果是「eight chain」（八鍊）的話，孩子們從第一顆珠開始數到8就放上8的標籤，並且記錄8x1=8，數到16顆就放上16的標籤並且記錄8x2=16，就這樣慢慢地一直數一直標到好幾百顆去。乘法的抽象概念與數量感藉此完全具體化。

孩子們專注地數珠子，慢慢地完成一個個的標記，並且用筆記錄下來，常常要花個幾天才會完成這麼大的任務。這工程充滿挑戰性與滿足感，每次兩少爺完工後總是相當興奮驕傲地向我們報告。

把數量感建立好之後，進階一點的數學教具開始用不同顏色去代表不同位數。寫著「1」的個位數小牌子是綠色的，「10」的十位數牌子是藍色的，「100」的百位數是紅色的。「1000」的千位數又回到綠色，然後不同位數就這樣綠藍紅綠藍紅地循環下去。這三個顏色代表的不同位數會一直沿用到之後小學六年更進階的許多數學概念上。

使用這樣的教具，加上「交換」進位的概念（十個『1』的綠牌可以換一個『10』的藍牌，以此類推），從這邊開始孩子已經可以做到千位數的加減乘除。兩少爺五六歲時就已經很熟悉這些技巧了。我之後會放上兩少爺用自己在家製作的同樣『郵票遊戲』（stamp game）教具拍攝的教學影片，敬請期待！

同一時間，老師也介紹了不同顏色代表一到九這些個位數字的串珠。像紅色一顆珠的「1」串珠、綠色兩顆珠的「2」串珠、粉紅色三顆珠的「3」串珠等等。這些代表不同數字的串珠顏色，也會從幼兒班三年開始一直沿用到整個小學六年。

北鼻麥在幼兒班開始用彩色串珠練習加法與乘法。兩條咖啡色的「8」串珠，等於一條金色的「10」與一條紫色的「6」串珠。孩子一顆一顆地數，再去交換進位。這個我稍後也會放上北鼻麥示範教學。😆

在這個階段介紹的種種數學概念，都彷彿是在介紹簡單基本的事物道理般。像加法就是把珠子或牌子放在一起，遇到十個就交換成一個『10』串珠或『10』牌子去進位。減法就是把它「拿走」、乘法就是「同樣數字重複加很多次」、除法就是把手上的珠子牌子「分一分」這樣。

在概念建構的很穩固之前，老師並不會把這些任務打上「加減乘除」的標籤。北鼻麥的四位數減法做了這麼久，到這次遠距教學才發現原來那個就是所謂的『subtraction』（減法）。孩子們練習教具的時候，也都有著慢慢處理手上操作的工作、努力完成挑戰的態度，從沒寫過練習題或練習卷。

其實這中間還有好幾個我只聞其名不知其詳的數學教具，都是朝著建立超穩固的基礎數學概念的方向走。因為不知道很多其他教具的仔細用法，所以兩少爺腦中到底裝了什麼高深莫測的東西，我真的都不太清楚。

又因為他們完全不背乘法表也不太熟『加減乘除』的標籤，所以偶遇無聊親友故意來個『考考你』時，他們大部份時候都答不上來，總是會尷尬一番。

一直到這次陪讀小札克近三個月，才發現到他的蒙特梭利數學腦真的好厲害喔！

小札克對乘法挑戰熱愛得很。之前提過在剛開始委靡不振的遠距自學時期，我為了激勵他而在家自製了蒙特梭利小學教具的乘法板與彩色串珠。這個暗藏幾何概念的乘法板上，不同的位數就是從小就很熟的同樣的綠藍紅綠藍紅顏色在循環著。小札克在我們乘法板完工後的第一件事，就是給自己出了個大挑戰25,637,842,349 X 987,654。

雖然小札克從沒背過乘法表，在學校常常做乘法圖型（pattern）的塗畫遊戲，又從小一直數珠子不知道數了幾千串。像在這個十一位數乘六位數的乘法板挑戰上，小札克就必須分別做六十六次個位數的數珠子乘法與進位的練習。

我在一旁沈默觀察著，發現他大概有三四成的乘法表已經因為熟能生巧而能直接記住答案了。其他還沒記住的，有時候他會喊著『I know the pattern！』努力冥想幾秒就想出來了。就算要數珠子，他也很少需要去一顆顆慢慢數，通常會靈活地把手上串珠交換成其他數字以便進位來快速數出答案。

舉例來說若是遇到6x4+9的話，乘法板格子上放著四條紫色的『6』串珠與一條深藍色的『9』串珠。若是北鼻麥應該仍然會一顆顆去數，小札克卻已經會很快地把深藍色的『9』串珠交換成兩條黃色的『4』串珠跟一顆紅色的『1』串珠，再把那兩條黃色『4』與兩條紫色『6』串珠合併成20。又再把一條紫色『6』串珠交換成兩條粉紅色的『3』串珠，然後把一條『3』串珠、一個『1』串珠跟最後一條『6』串珠合併成另一個10，這樣可以很快地看出答案是三個10加一串『3』。

在這樣一個大挑戰上要細細做的練習功夫還真是多到讓人咋舌！不過也因此讓我見識到蒙特梭利數學建構出的靈活性與概念流動性，處處充滿驚喜。

老師得知小札克在家興奮做乘法板大工程，也打蛇隨棍上地馬上跟他來個一對一的Zoom lesson傳授新工夫，教他乘法板用法上更進階的『紀錄部分成果』（record partial products）。

小札克得到新工夫，馬上又來給自己另一個大挑戰785,629,649Ｘ358,754，邊做邊使用直式乘法去紀錄部分成果。

其實在他們學校，正常人使用乘法板頂多都在練習三四位數乘兩三位數吧。等到很熟悉乘法板的基礎運作法之後，老師會介紹另一個進階的幾何乘法教具pegboard（釘板）。這個幾何乘法教具同樣使用綠藍紅三色去代表不同的位數，不過這次是讓孩子拿綠藍紅的珠子放到釘板上，拼出一個像乘法板的格式。

我在遠距教學之前完全沒見過這個功力高深的釘板教具，因此首次陪小札克看老師的教學錄影時，我大呼驚奇不停跟著做筆記，小札克在旁淡定說他早就知道了。所以底下照片裡會有媽媽書僮的筆記。🤣

我們在家直接拿之前用來做彩色串珠的Perler beads的釘板與珠子來做釘板教具的替身。這個Perler beads也未免太好用了吧！之後我們又一起看了老師使用同樣的釘板教具去解平方根的教學影片，使用同樣的綠藍紅珠子搭回一個正方形去找平方根，實在是太奇妙好玩了！！

熟悉這個用手操作的釘板教具與綠藍紅珠子之後，老師又再傳授，原來在紙上也可以做同樣的幾何乘法。

這個綠藍紅的幾何乘法教具，其實暗藏了（a＋b）x（x＋y）＝ax＋ay＋bx＋by的概念。老師從來不明說，對孩子而言這又只不過是個理所當然的概念，數字本來就有著這樣的運作道理。

有一次我們在做英公尺寸兌換的活動，遇到一個三位數要乘以12以轉換成英吋的練習問題，小札克馬上跑去把乘法板跟串珠拿過來在地上擺出陣仗。可是連一條串珠都還沒開始放上乘法板，他眼睛仔細盯著乘法板幾秒，竟然就突然喊出了答案。他說因為他光看著板子就已經知道每個幾何區塊的部分答案，在心中加一加就算出來了。

同樣一個練習活動裡，有另一個換算題目要做144Ｘ3。小札克很快地在紙上寫了300、88、120、12，然後當下我真的都還來不及反應，他就肯定地喊說答案是432。我請他仔細分格敘述他腦中的運算步驟給我聽，他才解釋說他先解決了100乘3的簡單部分，然後雖然他不知道44x3，可是他知道44x2是88，所以他只需要算88+44，他再把80拿去加40得到120，再把8加4得到12，所以他知道答案是300＋120＋12＝432。

所以基本上他腦中竟然在幾秒內就很自動靈活地走過了144 x 3＝（100＋44）x 3＝100 x 3＋44 x 3＝100 x 3＋44 x（2＋1）＝300＋88＋44＝300＋80＋40＋8＋4＝300＋120＋12＝432 這樣的步驟耶！

我小時候跟大部分的人一樣，是先很制式地去死背乘法表再學習直式乘除法運算法這樣長大的。這種數字充滿流動性的靈活直覺感，我記得可能是我練到國二國三甚至高中才逐漸開始掌握的事，對二年級的小札克來說卻是這麼的理所當然。

在蒙特梭利教室裡，沒有什麼需要死記的東西。就是像這樣在混齡班的三年內藉著許多不同的時機、使用不同的教具，傳達著類似的訊息，慢慢地一點一滴地建構出很穩固的數學概念，孩子們逐漸能夠牢牢掌握每個數串代表的幾何圖形與延伸意義。

蒙特梭利的數學也從來不是紙上的事，而是相當生活化、相當好玩的充滿樂趣的世界。

像遠距教學活動中學到分析圖的數學課程，小札克依指示到家前門步道上用粉筆畫了一個市調問題『如果你能有一種超能力的話，你會選什麼』。當週內散步路過的鄰居路人紛紛用石頭作答，週五我們搜集答案數據，然後依老師的教學影片畫出長條圖、餅狀圖等等分析圖，超有趣的。

學到圓周與直徑是pi (π) 的關係時，小札克依照老師指示在家裡翻出幾個圓形的東西，用毛線圍著圓周再展開以量出圓周長，然後再在這條毛線上描圓形。

小札克一個個地去畫，果然不管是什麼大小圓形的東西，都可以在展開的圓周上描出三個圓形，然後還都會剩一點點。他就這樣自己得到了圓周是直徑的『三倍加一點點』的結論，也就是π＝3.14的雛形。學校教室裡的正式的π的教具，也不過就是好幾個大小不同的圓板，讓好奇的孩子們去畫去描去自己體驗。

學校裡的分數教具則是同樣大小的好幾個圓板切割成不同的份數，依此可以很清楚地看見不同的分數與 1 的關係，以及分數與分數之間的關係。

我們在家也依照指示剪出了居家分數教具，小札克在幾個小團體的Zoom lesson裡分別上了分數的加法減法還有等值分數的算法。就連這些教學也是孩子們一邊手中做著勞作似的活動一邊學，像指示大家製作『分數的書』、用樂高磚塊去體驗分數等等。

在只有四個學生的小團體Zoom lesson裡，老師也要大家拿出剪好的居家分數教具去親身體驗到同樣大小的1/2與2/4與3/6等是真的『等值』，然後帶著大家畫出天馬行空龐大等值分數的大彩虹。

因為蒙特梭利教學裡沒有什麼「反正這樣去做就對了、記起來就好啦」的事，就連遇到十要進位這種感覺理所當然的事，老師也會特別解說歷史上使用其他進位系統的例子，而最後人類選擇了10去進位，應該是因為我們有十根手指頭腳指頭以方便計算。然後竟然還有讓孩子們練習去算不同進位系統的算數法的教學影片。

聊公英尺寸換算時，也詳細地講述了兩種尺寸來源的有趣歷史故事。因為英尺（foot）其實最早就是國王的一隻腳長，英吋（inch）是成年男人的大拇指寬，我跟小札克跑去量保羅的腳，果然是將近一英尺，他大拇指還剛剛好是一英吋的精準，真是笑死我們了。

奇幻遠距教學裡，還有很多其他的有趣數學教學是沒來得及提到的。小札克在幫我拍教學影片時，也不時提醒我其實他教室裡還有很多其他的教具可以去做同樣的問題求出同樣的答案，只是媽媽知識有限而已。畢竟我只是以一個書僮媽媽的角度去分享觀察，我知道我們讀者裡臥虎藏龍了一些專業蒙特梭利人士，若是有誤也請大家多多指教。

因為蒙特梭利教學從來沒有回家作業，也沒有什麼練習卷之類的會帶回家的『成果』，幾次座談會裡老師們總是再三聲明，很可能在家長眼中看起來孩子們就是整天在玩、感覺都沒學到什麼，不過他們真的都有在很深刻地學習著。

這長達三個月笑淚交織的防疫遠距教學在下週終於要進入尾聲，真是讓我跟保羅大鬆一口氣。肩膀上的壓力感覺減輕許多的同時，我卻也抱著極感恩的心情。要不是因為這一生難得莫名其妙的居家防疫遠距共學，我大概到兩少爺小學畢業都無法透徹看清他們流動靈活的蒙特梭利數學腦。

（要用文字敘述清楚種種教具的長相與用法實在不容易，所以我盡量把所有文中提過的教具使用照片都擺上來讓大家看圖說故事了，之後會再放上兩少爺精心拍攝的教學影片🤣）