為什麼這篇庫倫si單位鄉民發文收入到精華區：因為在庫倫si單位這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者ppu12372 (高能兒)看板Physics標題[問題] 因次分析中,為何等式左邊與右邊因次須...
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2020-05-03 19:47:06
【#科科小知識 聊聊 #單位 這件事】讓我們來認識最新科學團體 SI7！ 團體成員有：公尺君、公斤君、秒大叔、安培君、克耳文君、燭光君，以及莫耳醬。 _ 國際單位制（簡稱 SI），以 7 個基本單位為基礎，建立起一系列可以相互換算、關係明確的標準度量系統。 然而，基本單位若以實際物體作為標準，...
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%A0%E6%AC%A1%E5%88%86%E6%9E%90
在因次分析裡,會提到任何有意義的方程式，其左手邊與右手邊的因次必需相同
比方說庫倫定律,F=k*q*Q/r^2
因q*Q/r^2,所以k就有因次N*(m/C)^2
但為什麼必須相同呢?
定律等號的意思應該是說在每個物理量皆同單位的情況下,
兩邊算出來的"數值"會相同
所以只要確認每個物理量同單位(si單位或mks單位)
使用定律預測某個物理量時就不會出問題了
為什麼要刻意把某些常數賦予因次,使等號兩邊因次相同呢??
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推 alamabarry: 不這樣你換個單位量方程式就不等了 09/19 15:07
欸對齁,換單位時常數值也會換......→ wohtp: 請你去買「一公尺」的礦泉水回來給我看看 09/19 17:22
蛤??推 HDT: 左邊的單位是公尺每秒 你右邊不用是公尺每秒???? 09/19 19:28
你可能沒看清楚我的原文所以只要確認每個物理量同單位(si單位或mks單位)
使用定律預測某個物理量時就不會出問題了
但用了同樣的單位制並不代表等式兩邊的因次就相同了
你把庫倫定律的常數部分視為無因次後自己試試看就知道了
不過一樓已經回答我的問題了
→ wohtp: 我覺得沒有搞懂我們在說甚麼的是你耶... 09/19 22:34
→ wohtp: 例如說虎克定律 |F| = k|x|，彈簧常數 k 沒有因次的話， 09/19 22:34
→ wohtp: 就變成 力 = 長度 這種見鬼的等式 09/19 22:35
→ wohtp: 或者說量筒底面積 A，桶內液體體積 V = A h，h為液面高 09/19 22:38
這個我知道所以之前有在想,等號的定義僅僅是 兩邊算出來的"數值"相同
還是 兩邊邏輯等價
如果只是數值相同,那說力的值等於長度的值似乎也沒甚麼錯
就像某個人考試只考了42分,有人會消遣他說欸欸你的分數跟你的座號一樣耶
而關於定律中的等號,很明顯指的不是邏輯等價
像庫倫定律,左邊是可觀察到的力,右邊是電荷除以距離平方的運算結果
很明顯不是相同的物理量
所以我在原文中才說定律等號的意思應該是說在每個物理量皆同單位的情況下,
兩邊算出來的"數值"會相同
→ wohtp: A 是這個關係式的常數，但它必須有(長度)^2的因次 09/19 22:39
→ wohtp: 你自己上面也表示了，你不知道「一公尺」的礦泉水怎麼買啊 09/19 22:39
所以以礦泉水為例容量=底面積*高度只是告訴我們在同單位(SI單位)的情況下
底面積*高度算出來的數值會與容量的數值相同
所以在計算時,我們只要算完右邊的數值,在根據SI單位容量的單位為立方公尺
把算出來的值以立方公尺作為單位來表示容積
這樣的話在計算時似乎也不會出問題
→ wohtp: 小心你這個「數值」相同的講法喔 09/19 22:58
→ wohtp: (1,0) = (0,1)，因為 1 * (1,0) = 1 * (0,1)，數值相同， 09/19 22:59
→ wohtp: 至於後面的方向，反正又不是數值，管他去死 09/19 22:59
喔喔那我修正若等號左右邊皆為純量,則等號的意思是說在每個物理量皆同單位的情況下,
兩邊算出來的"數值"會相同
若等候左右邊皆為向量,則等號的意思是說在每個物理量皆同單位的情況下,
每個自由度兩邊算出來的"數值"會相同
→ wohtp: 還是你比較喜歡 1*蘋果 = 1*橘子 這樣？ 09/19 23:03
看等號的定義如果你說1*蘋果和1*橘子邏輯等價,我當然會說不對
但如果你說蘋果和橘子的數量相等,我會說沒錯
→ wohtp: 蘋果跟橘子的例子：錯了。 09/19 23:08
→ wohtp: 蘋果的個數 = 1 = (1*蘋果)/蘋果 09/19 23:09
→ wohtp: 當你在講「不管蘋果還是橘子，我只看個數」的時候，代表你 09/19 23:09
→ wohtp: 把蘋果或橘子的性質qoutient掉，只剩下個數 09/19 23:10
→ caseypie: 相等的是1(個數)=1(個數)，不是1(蘋果) = 1(橘子) 09/19 23:11
→ wohtp: 我的重點是，公尺或公斤、(1,0)或(0,1)、蘋果或橘子，都不 09/19 23:11
→ caseypie: 那就是因次的定義，不是等號的定義 09/19 23:11
→ wohtp: *都是 09/19 23:12
→ wohtp: 同一回事，不可以隨隨便便忽略掉 09/19 23:12
哦哦這樣我了解你的想法了但我卻又冒出一個問題,你說1*蘋果和1*橘子
橘子和蘋果是該數值的性質,也就是說單位是該數值的性質
但 f=k*x,也就是f*(力)=k*(力/長度)*x*(長度)
力是f的性質,長度是x的性質我能接受
但k的性質是(力/長度)?
這要怎麼解釋???
→ wohtp: 只要你接受「長度」有乘法反元素就沒問題啦。 09/19 23:37
等一下,根據四則運算的定義http://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_arithmetic
乘法的乘數與被乘數都要是"數"吧?
單位不是數,所以不能進行四則運算
而且把單位除掉變成個數也不符合運算的規則
我想說的是,用數學來描述真實世界,就是忽略掉(抽象化)事物大部分性質
只看事物的某個或某些性質
像平常我們根本不會說一顆橘子和一顆蘋果一樣
但如果我們忽略掉大部分性質(顏色、形狀....等),只看他的個數
我們就能說他們相等
同理,虎克彈性定律也是,F=k*x,長度本來和力就是不同的物理量
但我們忽略,只談測量到的值,那x在乘上某個k值後兩個值就會相等
常數要有單位我認為只是因為怕換個單位量(例如SI換成mks)方程式會不等
推 ocean5566: 國中生嗎? (認真) 等你到高中就會明白了 09/20 01:18
厄.....我當年指考8X分我確定高中物理教學不會對這種基本假設做質疑
caseypie:
那這樣的話1橘子=/=1蘋果不也能類比到庫倫定律上了嗎?
F(數值)=k*q*Q/r^2(數值), 但F(牛頓)=/=k*q*Q/r^2(電荷^2/距離^2...)
等式兩邊是不同的物理量,只有在抽象化只看數值時兩邊才會相等
推 louis925: 到最後你就會發現這世界上的單位只剩質量而已XD 09/20 05:39
我們物數教授是說所有單位只剩能量因為E=M*C^2,所以質量也能用能量來表示
當然同理你要用質量來表示能量也可
推 Diaw01: 我記得以前上電磁波中發現過一條式子光速是常數 09/20 08:02
我還見過把光速定為1(常數)的對他們做理論的來說,這樣會方便很多
話說把光速定為1,根據E=M*C^2,就可以用能量來表示質量了^^
→ jessti: 結果就是前面多了1/C^2的常數項 09/20 11:17
→ jessti: 呃…好像不是在分母 09/20 11:19
推 wgst88w: k那裡就純粹是"眾人"所研究"對象"的不同而取其"因"這樣： 09/20 13:40
→ wgst88w: 人+f(力)*k(長度) = 人+k(力)*f(長度) 09/20 13:50
→ wgst88w: x 09/20 14:07
厄....彈性的公式是f=k*x吧??f沒有乘k
然後根據四則運算的定義,數才能進行四則運算
人不是數,所以不能放入算式中
※ 編輯: ppu12372 (114.34.29.100), 09/20/2014 14:21:45
→ wgst88w: 喔，那你思考一下"人"跟"單位"能不能"相消"？如果可以的 09/20 15:29
→ wgst88w: 話，那算不算四則運算？ 09/20 15:29
→ wohtp: 單位已經擺明不是實數了，你拿實數的四則運算來質疑我不是 09/20 16:10
→ wohtp: 很奇怪嗎？ 09/20 16:10
→ wohtp: 我再強調一次，物理量不是數，而是 (數*單位) 09/20 16:13
→ wohtp: 而你的所謂「抽象化」，在數學上有很明確嚴謹的定義 09/20 16:14
→ wohtp: 在定義equivalent class的時候，什麼東西要quotient掉，留 09/20 16:15
→ wohtp: 下什麼東西，都是要嚴格講清楚的 09/20 16:15
→ wohtp: 你說的所謂「數值相同」就是建立在「把所有單位都除掉」這 09/20 16:16
→ wohtp: 個前提上 09/20 16:16
→ wohtp: 所以你就是不可以寫 1kg = 1m 09/20 16:17
→ wohtp: 而必須寫 (1kg)/kg = (1m)/m 09/20 16:17
→ wohtp: 必須把單位明白的除掉 09/20 16:18
→ wgst88w: 我是認為"既然不同單位之間能夠換算"那怎能不是四則運算? 09/20 16:50
→ wgst88w: 如果不算的話，那我們所用的科學記號又怎來的？如cm^3 09/20 16:57
→ wohtp: 不是實數的東西當然也可以加減乘除啊，就看有沒有定義而已 09/20 17:13
→ wohtp: 只要有定義代數結構就可以了。 09/20 17:15
問題是很明顯單位是被定義為物理量,而非代數不是數(實數和複數)就不能進行四則運算
但我們之間主要的爭議不是這點,而是在於數學和物理(現實世界)的轉換
我先問你,
3=3,紫色部分如果要你用自然語言描述,你會怎麼說??
→ wohtp: 「不是實數或複數就不能進行四則運算」是錯的 09/20 17:24
好吧,那我修正,如果不是實數或複數或代數或向量就不能進行四則運算→ wohtp: 且不說別的，三維的向量就可以加減乘了，四則運算也有了三 09/20 17:26
→ wohtp: 個 09/20 17:26
→ wohtp: 因次這東西本身有代數結構，是嚴謹的數學模型，不屬於物理 09/20 17:27
→ wohtp: 無法定義的範圍 09/20 17:27
因次不是代數吧??如果是代數的話,那它應該不只可以做四則運算
還能做微分積分
我認為因次不是代數,而僅僅是表示該物理量是如何被測量,和方便單位換算的工具而已
→ wohtp: 因次本身的乘除法是可交換群，還有對實數的乘法滿足結合率 09/20 17:36
但它對實數的乘法不滿足交換率,對吧??f(牛頓)=k(牛頓/距離)*x(距離)不能換成f(牛頓)=k(距離)*x(牛頓/距離)
對吧??
→ wohtp: 1. 我們一般說的「乘法」不會要求交換率，只是實數和負數 09/20 17:43
→ wohtp: 剛好有而已 09/20 17:43
代數也有向量的內積也有
→ wohtp: 2. 交換率要前後兩個東西有相同性質才有意義 09/20 17:44
→ wohtp: 例如 實數 * 實數 09/20 17:44
→ wohtp: 實數 * 長度 跟 長度 * 實數 ，你是要交換啥鬼 09/20 17:45
看你的性質怎麼定義啦但如果是代數的話是可以交換沒錯
3x*4y=4x*3y
→ wohtp: 3. 我現在才發現，你舉的交換律例子根本莫名其妙... 09/20 17:45
會覺得莫名其妙就是因為因次並不是代數呀→ wohtp: 4. 推文的大家一直在講的是 k = (實數)*(力/距離) 09/20 17:47
→ wohtp: 而不是你以為的 k = 實數，但是後面還要再加乘 (力/距離) 09/20 17:47
我一直都是假設k = (實數)*(力/距離)呀→ wohtp: 你的 3x * 4y = 4y * 3x 是建立在 x, y屬於實數（或複數） 09/20 17:49
→ wohtp: 的假設上 09/20 17:49
→ wohtp: 如果你也是 k = (實數) * (力/距離)，那麼 把 k*x看成 09/20 17:51
→ wohtp: (數)(力/距離)(數)(距離) = (數)(距離)(數)(力/距離) 09/20 17:52
→ wohtp: 有什麼問題嗎？ 09/20 17:52
→ wohtp: 前面的(數)(距離)當然不是k，你都把k拆開了嘛 09/20 17:53
哦哦我懂你意思了但這樣還是會有問題
假設一個彈簧受力10牛頓,彈力係數是2牛頓/公尺,拉開的距離是5公尺
那麼10牛頓=2牛頓/公尺*5公尺如果換成10牛頓=2公尺*5牛頓/公尺
這樣式子就會與實驗不符了
純數學上沒問題,但物理上會有問題
→ wgst88w: 疑？可是f(牛頓)的結果不是"等效"嗎？定律又沒變。 09/20 17:57
那看你怎麼解讀這個定律了如果你把等式解讀為兩邊數值一樣,那沒錯
但如果你想從等式中取得更多該彈簧的資訊,就會失敗了
所以我才一直強調要弄清楚物理定律的定義
→ wohtp: 你都把右邊改得面目全非了，還要求它符合你的模型不是很奇 09/20 18:00
→ wohtp: 怪嗎？ 09/20 18:00
我先問你,如果有一個等式3=3,你會如何用自然語言描述它?→ wohtp: 10N = 10N 沒有任何問題，右邊要寫成 kx，ma，qE，qvB，pA 09/20 18:02
→ wohtp: 還是什麼鬼東西那是你家的事了 09/20 18:02
→ wohtp: 3 = 3：三等於三啊，你希望我怎麼描述它？ 09/20 18:03
如果是我的話,我會說有兩種可能1.某個物理量和另一個物理量都出現了三次
2.某個物理量量測的值和量一個物理量量測的值的結果都是3
那麼,F=k*q*Q/r^2,你要怎麼描述這個等式?
講得文言一點,就是它的物理意義是甚麼??
→ BLUEBL00D: 為什麼樓主會覺得位移單位是N/m? 09/20 18:05
→ wohtp: ...但是那不是正整數 3 的真正意義。 09/20 18:06
→ wohtp: 你擅自在正整數 3 以外偷渡了其他東西進去 09/20 18:07
甚麼是數的意義?數是一個用作計數、標記或用作量度的抽象概念
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0
既然數代表的是計數和量度,那我說它是某個物理量重複出現或量值
不是正符合了數的定義了嗎??
→ BLUEBL00D: 做量測前至少要先說明目標和單位吧 09/20 18:08
沒錯但正因為3=3並未說明目標和單位
所以我只說是某個物理量
→ wohtp: 你自己也看到了「抽象概念」這個詞 09/20 18:11
甚麼是抽象化?抽象化是指以縮減一個概念或是一個現象的資訊含量來將其廣義化的過程，主要是為了
只保存和一特定目的有關的資訊。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E5%8C%96
真實世界我們可以看到很多資訊,比方說那邊有三顆橘子
我們可以看到的資訊包含了它的體積、顏色、形狀等等
但我縮減了進入我腦中的概念,只保留了它重複的次數3
這不就是抽象化嗎??
→ BLUEBL00D: 沒看錯的話 3顆蘋果=3個人 是個樓主可接受的敘述? 09/20 18:11
→ wohtp: 你把正整數 3 具象化的時候，就是偷渡了不該有的東西進去 09/20 18:12
為什麼是不該有的呢?甚麼是物理量? 所有可觀察到的都是物理量
計數和量度難道不是紀錄可觀察到的事物嗎?
量度難道不是測量可觀察到的事物嗎?
所以我可以很放心地說,3是某個概念抽象化,只取其特定的物理量
→ BLUEBL00D: 怎麼可以說是某個物理量呢 電荷電流明明就是不一樣 09/20 18:15
3顆蘋果當然不等於3個人但我可以抽象化,忽略他們的外型、重量
只取他們重複的次數,那麼3個就會等於3個了
※ 編輯: ppu12372 (114.34.29.100), 09/20/2014 18:19:28
→ BLUEBL00D: 我是覺得大前提不對 後面怎麼圓都不對 09/20 18:16
我的大前提都不是我自己的猜想都是根據維基百科,所以你的意思是維基百科的哪條錯了??
→ wohtp: 你很了解抽象化啊，那為什麼不理解我說的 3 = 3 不是 三顆 09/20 18:17
→ wohtp: 橘子等於三顆橘子 呢？ 09/20 18:17
→ wohtp: 你舉的兩個 3 = 3 的「意義」，都是這樣的例子 09/20 18:18
BLUEBL00D: 做量測前至少要先說明目標和單位吧因為3=3並未指明是哪個目標和單位,所以我只能說是某個物理量
不能說指的一定是橘子的顆數
→ wgst88w: 呵~至少我還能依據"牛頓"這單位說等效；但 3=山 就科科了 09/20 18:19
→ BLUEBL00D: 大前提是相同的東西才能照你口中所謂的抽象化操作 09/20 18:22
相同的東西意味著至少要兩個東西才能進行抽象化操作但根據維基百科的舉例
例如，將一個皮製的足球抽象化成一個球，只保留一般球的屬性和行為等資訊
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8A%BD%E8%B1%A1%E5%8C%96
所以一個東西就可以進行抽象化操作了
→ wohtp: 又是蘋果跟人...這不是昨天就吵過了嗎？ 09/20 18:23
→ wohtp: 你在做的是 (3*蘋果)/蘋果 = (3*人)/人 09/20 18:23
那為什麼(3*蘋果)/蘋果就一定是3個呢??如果是代數的話,那蘋果/蘋果=1,就沒單位了
但我做的事是把3蘋果變成3個,把3人變成3個
→ BLUEBL00D: 但你不能說因為3=3 所以推論蘋果就是人阿 09/20 18:33
我沒有推論蘋果就是人我只是推論出蘋果的個數和人的個數相等
→ wohtp: 3*蘋果/蘋果 = 3 這是乘法反元素的定義 09/20 18:33
→ wohtp: 我不知道這個有什麼好爭... 09/20 18:34
這當然沒甚麼好爭的問題是我做的事是把3人變成3個,把3橘子變成3個
跟把3蘋果/蘋果變成3做的是不一樣的事
※ 編輯: ppu12372 (114.34.29.100), 09/20/2014 18:39:53
→ BLUEBL00D: 庫倫常數視為無因次 => 竟然還要討論這麼久.. 09/20 18:47
→ Entropy1988: 個數相等 你現在用的單位就是個數 09/20 18:59
→ Entropy1988: 3個=3個 3=3 完全沒問題 09/20 19:04
→ Entropy1988: 但是 3個蘋果=3個橘子 ？？ 等式根本不成立 09/20 19:05
我當然知道不成立所以兩者都必須要抽象化,只取其個數
→ Entropy1988: 你寫個左右邊因次不同，而且有意義的等式來瞧瞧 09/20 19:13
→ Entropy1988: 寫得出來你就證明了因次不一定要相同 09/20 19:14
我在回一樓時就已經相信它證明了因次應該要相同了請看完文章再回應
→ caseypie: ......就是因為不行，所以一定要把k加上單位來補回去... 09/20 20:15
推 woieyufan: 不對 單位就是數 09/21 00:40
恩??※ 編輯: ppu12372 (36.231.234.245), 09/21/2014 02:43:53