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在 幾何平均數證明產品中有7篇Facebook貼文，粉絲數超過457的網紅C.C.M Math，也在其Facebook貼文中提到， 【數感生活——成長率、幾何平均數，偶爾還有算術平均數】 最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」 之後，該教授又貼了一則文章，解釋算術...
幾何平均數證明 在 C.C.M Math Facebook 的最佳貼文
【數感生活——成長率、幾何平均數，偶爾還有算術平均數】
最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」
之後，該教授又貼了一則文章，解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的，所以方便起見他用算術平均數，並附上了數據與程式碼。
當然程式驗證是沒問題的，不過比起程式，數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出，若是要講究嚴謹，使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具，來證明在面對成長率這種議題時，當成長率不大，算術平均數的確是幾何平均數的近似值。
在這邊，我們提供一個更簡單的，必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。
首先，
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小，以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009，小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)
同樣的道理，推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?)，成長率分別是a、b、c、d，可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)
假設這四年的(幾何)平均成長率是g，同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g
整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果，近似符號右邊是算術平均數，左邊的g則是幾何平均數。
以上，就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下，答案會差不多的原因。不過我們要強調，兩者的根本意義完全不同，不能只因為「在某些狀況」答案很接近，就覺得選哪個都無所謂，不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子，倘若某年成長100%，隔年衰退50%。
則算術平均數是(100-50)/2=25，平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1，根本沒有成長，幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀，但回到數學本身，正確答案只有一個。
PS: 感謝 張宏彬 （Hung-Bin Chang）博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~
PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思，基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似，是有失嚴謹的，儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度，讓大家理解為什麼，以及在什麼情況下，算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。
幾何平均數證明 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Facebook 的最佳解答
Wow! 滿滿滿的會考數學重點吔😍
來來來，紙筆趕快準備好！
數學科會考精華重點，
帶你一手掌握致勝關鍵！
數學科會考30天衝刺重點
考前最後30天，
建議同學，調整好生理時鐘，
讓自己的大腦習慣
在10:30到11:50這段時間算數學。
切記每次考試前都花10分鐘的時間快速總複習，
把公式、重要性質、常忘常錯的地方，
用這個關鍵10分鐘掃過一遍。
考前最後30天以算新題
培養對沒看過的題目的臨場反應為主，
有錯的題目訂正完，
把關鍵寫在考前10分鐘的快速總複習筆記上，
下次考前再複習一次！
以下是會考精華重點，
這些重點不只會在選擇出現，
還可能出現在非選！
好好把握下列重點，
拿到數學滿分的成績單時別太意外！😂
1.正負數與數線：
「絕對值」代表「到原點的距離」、
「相減取絕對值」代表「兩點距離」
這種代數轉幾何的考法總是考不膩；
科學記號的應用問題通常都會搭配四則運算；
新舊數線轉換切記「差成比例」！
2.因倍數與公因倍數：
質數的判定、互質的判定還有短除法請熟練；
難題用標準分解式處理！
3.分數：
四則運算切記「先乘除，後加減，但次方優先！」，
還有括號的處理務必「由小到大」且小心變號！
4.一元一次方程式：
一元一次式的「化簡」切記「只能通分，不能同乘」；
應用題考列式也很常見。
5.二元一次方程式：
基本的分式解聯立請小心隱形的括號；
近年來也常考三格漫畫的應用問題，命中不用太訝異！
6.坐標平面：
基本的象限考正負；點的移動x右加左減，y上加下減；
「點到x軸的距離」=「y坐標取絕對值」，
「點到y軸的距離」=「x坐標取絕對值」；
水平線y相同，鉛直線x相同；
還有最常考的二元一次直線方程式畫圖！
7.比與比例：
雙比例問題考到爛，務必調整到符合題意。
8.函數：
線型函數應用問題可以利用「差成比例」處理！
9.一元一次不等式：
有基本的一元一次不等式求x範圍；
進階有天平問題和水量的應用問題。
10.乘法公式與多項式：
利用乘法公式求值請用力觀察數字之間的關聯性；
多項式長除法也很愛考；因式倍式關係要會看。
11.二次方根與勾股定理：
基本的化成最簡根式、有理化、四則運算要熟；
進階的根號估計也是大熱門；
勾股定理近年來都搭配後面幾何一起考。
12.因式分解：
通常喜歡考提公因式因式分解，再搭配次方的運算請小心。
13.一元二次方程式：
基本的十字交乘、配方法解x；
給兩根求方程式用倒帶；
觀念題小心消去未知數可能會減根。
14.等差數列：
基本的循環用除法看餘數、
等差數列換首項公差處理、
等差數列求和都是基本款；
近幾年等差數列喜歡搭配不等式請小心！
15.平面幾何：
對稱圖形不難；
外角定理在角度的計算超常用；
中垂線性質到兩端點等距、
角平分線性質到兩夾邊等距考到爛！
30度 - 60度 - 90度 邊長比「1：根號3：2」必考！
多邊形內角和、正多邊形內角和外角
要算到不小心背起來；
正六邊形、正八邊形、正12邊形
都是近年來考試重點。
16.三角形：
三角形兩邊之和大於第三邊、
大角對大邊小角對小邊偶爾會出；
三角形的全等證明要有考非選的心理準備。
17.平行與四邊形：
遇平行線延長會比較容易看；
平行時，同位角、內錯角相等，
同側內角互補超常用；
遇梯形常做的幾種輔助線要複習。
18.相似形：
常見的相似三角形組合要複習；
解題利用相似形的
「對應角相等」、「對應長成比例」、
「面積比等於對應長度平方比」這些性質；
要宣告三角形相似用相似性質，
要宣告非三角形的多邊形相似
則要一一檢查每一個對應角都相等，
每一個對應邊都成比例！
19.圓形：
考扇形、弧長、弓形算是基本款；
考相切要想到(1)垂直(2)切線段等長；
圓周角、圓內角、圓外角、弦切角也都很常考；
兩圓相切要連接兩圓圓心和切點；難題想到對稱性！
20.三角形的三心：
(1)外心：
到三頂點等距；
直角三角形外心在斜邊中點；
等腰三角形的R要會求；
角度可以利用圓周角和圓心角關係，
或是等腰三角形處理。
(2)內心：
到三邊等距；
r 的兩種求法請複習；
長度還可考求切線段長；
角度可利用角平分令x、x、y、y；
面積的兩種考法請複習。
(3)重心：
長度想到2比1，
面積想到六塊小三角形面積相等
21.二次函數拋物線：
開口的方向和大小要會看；
配方法求頂點求最大最小值必考！
考平移要想到
(1)看頂點的移動(2)開口不變a不變；
難題想到對稱性！
22.立體圖形：
近年來喜歡考空間觀念中的展開圖；
考角柱算是中規中矩；
靈活考題可能會搭配水量甚至考不等式！
23.統計：
給原始資料、給表、給直方圖、給圓餅圖，
中位數都要會求！
盒狀圖和圓餅圖也很常考，
特別是盒狀圖常會問四分位距的相關問題！
進階喜歡考圖形的轉換；
還有對稱圖形的平均數和中位數會相等！
24.機率：
列表討論、畫表格、畫樹狀圖必可解！
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1.正負數與數線：
「絕對值」代表「到原點的距離」、
「相減取絕對值」代表「兩點距離」
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2.因倍數與公因倍數：
質數的判定、互質的判定還有短除法請熟練；
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3.分數：
四則運算切記「先乘除，後加減，但次方優先！」，
還有括號的處理務必「由小到大」且小心變號！
4.一元一次方程式：
一元一次式的「化簡」切記「只能通分，不能同乘」；
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5.二元一次方程式：
基本的分式解聯立請小心隱形的括號；
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6.坐標平面：
基本的象限考正負；點的移動x右加左減，y上加下減；
「點到x軸的距離」=「y坐標取絕對值」，
「點到y軸的距離」=「x坐標取絕對值」；
水平線y相同，鉛直線x相同；
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7.比與比例：
雙比例問題考到爛，務必調整到符合題意。
8.函數：
線型函數應用問題可以利用「差成比例」處理！
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10.乘法公式與多項式：
利用乘法公式求值請用力觀察數字之間的關聯性；
多項式長除法也很愛考；因式倍式關係要會看。
11.二次方根與勾股定理：
基本的化成最簡根式、有理化、四則運算要熟；
進階的根號估計也是大熱門；
勾股定理近年來都搭配後面幾何一起考。
12.因式分解：
通常喜歡考提公因式因式分解，再搭配次方的運算請小心。
13.一元二次方程式：
基本的十字交乘、配方法解x；
給兩根求方程式用倒帶；
觀念題小心消去未知數可能會減根。
14.等差數列：
基本的循環用除法看餘數、
等差數列換首項公差處理、
等差數列求和都是基本款；
近幾年等差數列喜歡搭配不等式請小心！
15.平面幾何：
對稱圖形不難；
外角定理在角度的計算超常用；
中垂線性質到兩端點等距、
角平分線性質到兩夾邊等距考到爛！
30度 - 60度 - 90度 邊長比「1：根號3：2」必考！
多邊形內角和、正多邊形內角和外角
要算到不小心背起來；
正六邊形、正八邊形、正12邊形
都是近年來考試重點。
16.三角形：
三角形兩邊之和大於第三邊、
大角對大邊小角對小邊偶爾會出；
三角形的全等證明要有考非選的心理準備。
17.平行與四邊形：
遇平行線延長會比較容易看；
平行時，同位角、內錯角相等，
同側內角互補超常用；
遇梯形常做的幾種輔助線要複習。
18.相似形：
常見的相似三角形組合要複習；
解題利用相似形的
「對應角相等」、「對應長成比例」、
「面積比等於對應長度平方比」這些性質；
要宣告三角形相似用相似性質，
要宣告非三角形的多邊形相似
則要一一檢查每一個對應角都相等，
每一個對應邊都成比例！
19.圓形：
考扇形、弧長、弓形算是基本款；
考相切要想到(1)垂直(2)切線段等長；
圓周角、圓內角、圓外角、弦切角也都很常考；
兩圓相切要連接兩圓圓心和切點；難題想到對稱性！
20.三角形的三心：
(1)外心：
到三頂點等距；
直角三角形外心在斜邊中點；
等腰三角形的R要會求；
角度可以利用圓周角和圓心角關係，
或是等腰三角形處理。
(2)內心：
到三邊等距；
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長度還可考求切線段長；
角度可利用角平分令x、x、y、y；
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(3)重心：
長度想到2比1，
面積想到六塊小三角形面積相等
21.二次函數拋物線：
開口的方向和大小要會看；
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考平移要想到
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22.立體圖形：
近年來喜歡考空間觀念中的展開圖；
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特別是盒狀圖常會問四分位距的相關問題！
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