【數感生活——成長率、幾何平均數，偶爾還有算術平均數】

最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」

之後，該教授又貼了一則文章，解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的，所以方便起見他用算術平均數，並附上了數據與程式碼。

當然程式驗證是沒問題的，不過比起程式，數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出，若是要講究嚴謹，使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具，來證明在面對成長率這種議題時，當成長率不大，算術平均數的確是幾何平均數的近似值。

在這邊，我們提供一個更簡單的，必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。

首先，
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小，以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009，小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)

同樣的道理，推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?)，成長率分別是a、b、c、d，可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)

假設這四年的(幾何)平均成長率是g，同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g

整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果，近似符號右邊是算術平均數，左邊的g則是幾何平均數。

以上，就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下，答案會差不多的原因。不過我們要強調，兩者的根本意義完全不同，不能只因為「在某些狀況」答案很接近，就覺得選哪個都無所謂，不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子，倘若某年成長100%，隔年衰退50%。

則算術平均數是(100-50)/2=25，平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1，根本沒有成長，幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀，但回到數學本身，正確答案只有一個。

PS: 感謝 張宏彬 （Hung-Bin Chang）博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~

PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思，基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似，是有失嚴謹的，儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度，讓大家理解為什麼，以及在什麼情況下，算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。

先不說中國國民黨打錯馬英九的名字（寫成馬英久），連平均經濟成長率也都計算錯誤！

實際上，馬英九政府執政八年平均經濟成長率只有1.86%，根本不是2.4%。

#交給專業的來打臉國民黨

[你從來就沒懂過的平均經濟成長率]
(為了公平，以5/20上任後之第3季Q3開始計算，更改第四項計算之結果)

說別人不及格的國民黨，才是真的不及格。平均經濟成長率怎能用算術平均數計算？？！！
居然將8年的經濟成長率加在一起，再除以8，算出錯誤的2.83%。

先說總結：
流量變動率無法用算術平均和幾何平均計算。

馬英九的8年(2008Q3-2016Q2)流量調整型幾何平均經濟成長率為1.86%，跟國民黨算的2.83%差距近1%的嚴重偏差。

而蔡英文的3年(2016Q3-2019Q2)平均之"預估"結果為2.05%。

一、算術平均根本不能計算流量變動量！

給個範例就知道了，
今天流進杯子的水是10毫升，明天20毫升，後天30毫升，共有10+20+30=60毫升；
成長率各為100%和50%，所以算術平均為75%；
驗算一下：
10*1.75=17.5；
10*1.75*1.75 = 30.625；
10+17.5+30.625=58.125，少於60毫升，根本低估了，所以不是75%。

就好像給你薪水，以為給到60元，但老闆其實只有給你58.125元，而且現在是在算GDP，單位是兆來算，60兆跟58.125兆，差了1.875兆。

二、所以改用幾何平均就可以嗎？

錯了，幾何平均只能代表初、末兩個定值，同樣不能代表流量變動量。

以幾何平均計算相同問題，
10變20，再變30，共有10+20+30=60；
幾何平均算法為[(30/10)^(1/2)-1]*100%=73.2%；
驗算：
10*1.732=17.32；
10*1.732*1.732=30；
10+17.32+30=57.32，低於60，所以是低估。

如果是10變5，再變30，共有10+5+30=45；
成長率各為-50%和500%；
用『算術平均』是225%；
驗算：
10*3.25=32.5；
10*3.25*3.25=105.625；
10+32.5+105.625=148.125，遠高於45，嚴重高估。

而『幾何平均』答案依然是73.2%，驗算總數量仍是57.32，高於45，反而現在變成高估了，所以幾何平均完全不理會中間上下變動的過程。

三、所以要用的是流量調整型幾何平均計算，並利用定點趨近法 （fixed-point iteration）才是正確的！

流量調整型幾何平均是利用總數值去計算，而非單純的兩個單點的幾何平均，可以計算到數值變高變低的變化量，如果變化量線性相關係數趨近為1，則流量調整型幾何平均與單點的幾何平均可視為相同。

也就是不管你是10、5、30還是10、20、30，都忠實呈現總數量給你去計算。

假設變化為2年，公式為
g(%)= {[Y/y0 - (1 + g) ]^(1/2) - 1}*100%
或是 Y/y0 = (1 + g) + (1 + g)^2

g為流量調整型幾何平均經濟成長率；
y0為第一年的數值；
Y為y0以外的總數值，即y1 + y2；

所以依範例，10 (y0) 變5 (y1)，再變30 (y2)，Y=5+30=35，y0 =10，套入公式，答案為43.65%。
驗算：
10*1.4365=14.365；
10*1.4365*1.4365=20.635，
10+14.365+20.635=45，總數值正確。

若是10變20，再變30，Y=20+30=50，y0 =10，套入公式，答案為79.13%。
驗算：
10*1.7913=17.913
10*1.7913*1.7913=32.087，
10+17.913+32.087=60，總數值正確。

套入原本的實例來講：
今天流進杯子的水是10毫升，明天5毫升，後天30毫升，所以流進共45毫升。
用流量調整型幾何平均算，
35/10=(1+x)+(1+x)^2，x=0.4365=43.65%，
回算一下，第一天10毫升，第二天14.365毫升，第三天20.635毫升，相加總共45毫升。

四、所以馬英九和蔡英文的平均經濟成長率各為多少呢？

2007Q3-2008Q2之GDP為13,688,630，設為y0；而馬英九2008Q3-2016Q2，八年總GDP為119,105,935，設為Y。
套入公式
g(%)= {[Y/y0 - (1 + g) - (1 + g)^2 -......- (1 + g)^7 ]^(1/8) - 1}*100% ，答案為1.86%。

2015Q3-2016Q2之GDP為16,932,463，設為y0；而蔡英文2016Q3-2018Q2，三年總GDP為52,908,976，設為Y。
套入公式
g(%)= {[Y/y0 - (1 + g) - (1 + g)^2 ]^(1/3) - 1}*100% ，答案"預估"為2.05%。