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幾何平均數算術平均數 在 C.C.M Math Facebook 的最佳貼文
【數感生活——成長率、幾何平均數,偶爾還有算術平均數】
最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數,得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率,成長率是類似複利的概念,要用相乘再開根號的幾何平均數才對」
之後,該教授又貼了一則文章,解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的,所以方便起見他用算術平均數,並附上了數據與程式碼。
當然程式驗證是沒問題的,不過比起程式,數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出,若是要講究嚴謹,使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具,來證明在面對成長率這種議題時,當成長率不大,算術平均數的確是幾何平均數的近似值。
在這邊,我們提供一個更簡單的,必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。
首先,
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小,以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009,小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)
同樣的道理,推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?),成長率分別是a、b、c、d,可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)
假設這四年的(幾何)平均成長率是g,同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g
整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果,近似符號右邊是算術平均數,左邊的g則是幾何平均數。
以上,就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下,答案會差不多的原因。不過我們要強調,兩者的根本意義完全不同,不能只因為「在某些狀況」答案很接近,就覺得選哪個都無所謂,不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子,倘若某年成長100%,隔年衰退50%。
則算術平均數是(100-50)/2=25,平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1,根本沒有成長,幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀,但回到數學本身,正確答案只有一個。
PS: 感謝 張宏彬 (Hung-Bin Chang)博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~
PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思,基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似,是有失嚴謹的,儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度,讓大家理解為什麼,以及在什麼情況下,算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。
幾何平均數算術平均數 在 台灣賦格 Taiwan Fugue Facebook 的最佳貼文
先不說中國國民黨打錯馬英九的名字(寫成馬英久),連平均經濟成長率也都計算錯誤!
實際上,馬英九政府執政八年平均經濟成長率只有1.86%,根本不是2.4%。
#交給專業的來打臉國民黨
[你從來就沒懂過的平均經濟成長率]
(為了公平,以5/20上任後之第3季Q3開始計算,更改第四項計算之結果)
說別人不及格的國民黨,才是真的不及格。平均經濟成長率怎能用算術平均數計算??!!
居然將8年的經濟成長率加在一起,再除以8,算出錯誤的2.83%。
先說總結:
流量變動率無法用算術平均和幾何平均計算。
馬英九的8年(2008Q3-2016Q2)流量調整型幾何平均經濟成長率為1.86%,跟國民黨算的2.83%差距近1%的嚴重偏差。
而蔡英文的3年(2016Q3-2019Q2)平均之"預估"結果為2.05%。
一、算術平均根本不能計算流量變動量!
給個範例就知道了,
今天流進杯子的水是10毫升,明天20毫升,後天30毫升,共有10+20+30=60毫升;
成長率各為100%和50%,所以算術平均為75%;
驗算一下:
10*1.75=17.5;
10*1.75*1.75 = 30.625;
10+17.5+30.625=58.125,少於60毫升,根本低估了,所以不是75%。
就好像給你薪水,以為給到60元,但老闆其實只有給你58.125元,而且現在是在算GDP,單位是兆來算,60兆跟58.125兆,差了1.875兆。
二、所以改用幾何平均就可以嗎?
錯了,幾何平均只能代表初、末兩個定值,同樣不能代表流量變動量。
以幾何平均計算相同問題,
10變20,再變30,共有10+20+30=60;
幾何平均算法為[(30/10)^(1/2)-1]*100%=73.2%;
驗算:
10*1.732=17.32;
10*1.732*1.732=30;
10+17.32+30=57.32,低於60,所以是低估。
如果是10變5,再變30,共有10+5+30=45;
成長率各為-50%和500%;
用『算術平均』是225%;
驗算:
10*3.25=32.5;
10*3.25*3.25=105.625;
10+32.5+105.625=148.125,遠高於45,嚴重高估。
而『幾何平均』答案依然是73.2%,驗算總數量仍是57.32,高於45,反而現在變成高估了,所以幾何平均完全不理會中間上下變動的過程。
三、所以要用的是流量調整型幾何平均計算,並利用定點趨近法 (fixed-point iteration)才是正確的!
流量調整型幾何平均是利用總數值去計算,而非單純的兩個單點的幾何平均,可以計算到數值變高變低的變化量,如果變化量線性相關係數趨近為1,則流量調整型幾何平均與單點的幾何平均可視為相同。
也就是不管你是10、5、30還是10、20、30,都忠實呈現總數量給你去計算。
假設變化為2年,公式為
g(%)= {[Y/y0 - (1 + g) ]^(1/2) - 1}*100%
或是 Y/y0 = (1 + g) + (1 + g)^2
g為流量調整型幾何平均經濟成長率;
y0為第一年的數值;
Y為y0以外的總數值,即y1 + y2;
所以依範例,10 (y0) 變5 (y1),再變30 (y2),Y=5+30=35,y0 =10,套入公式,答案為43.65%。
驗算:
10*1.4365=14.365;
10*1.4365*1.4365=20.635,
10+14.365+20.635=45,總數值正確。
若是10變20,再變30,Y=20+30=50,y0 =10,套入公式,答案為79.13%。
驗算:
10*1.7913=17.913
10*1.7913*1.7913=32.087,
10+17.913+32.087=60,總數值正確。
套入原本的實例來講:
今天流進杯子的水是10毫升,明天5毫升,後天30毫升,所以流進共45毫升。
用流量調整型幾何平均算,
35/10=(1+x)+(1+x)^2,x=0.4365=43.65%,
回算一下,第一天10毫升,第二天14.365毫升,第三天20.635毫升,相加總共45毫升。
四、所以馬英九和蔡英文的平均經濟成長率各為多少呢?
2007Q3-2008Q2之GDP為13,688,630,設為y0;而馬英九2008Q3-2016Q2,八年總GDP為119,105,935,設為Y。
套入公式
g(%)= {[Y/y0 - (1 + g) - (1 + g)^2 -......- (1 + g)^7 ]^(1/8) - 1}*100% ,答案為1.86%。
2015Q3-2016Q2之GDP為16,932,463,設為y0;而蔡英文2016Q3-2018Q2,三年總GDP為52,908,976,設為Y。
套入公式
g(%)= {[Y/y0 - (1 + g) - (1 + g)^2 ]^(1/3) - 1}*100% ,答案"預估"為2.05%。