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現在特區政府官員講到明「愛國不愛黨」講不過去，象徵他們收回了香港人最後自欺欺人的精神空間。國家是否等於政黨，這個問題我們幾年前開始思考，當年也頗為熱鬧，爭論有沒有結出果子？我們不知道，但我們沒有騙人，當初我們直接指出，中國不是這樣想，我們全香港都認為是這樣，只是局部的同溫屠效應。我們為何對中國政治有如此的「假性認知」，自然也有內外的雙重因素。鄧小平當局當初部署接收香港，為爭取香港人心，也受中國國內自由化影響，設計較寬鬆，鄧說不強迫香港人愛黨，只要求他們愛國，甚至說共產黨不怕人罵，因為共產黨罵不倒。

這種技術性取態是順從香港的既有政治文化。香港人自清末起就被隔離在中國以外，不算正式參與共和國甚至民國的誕生，等於長期是「海外華人」的心態，有樸素戀中感情。英方在 20 世紀初，也搞傳統國學教育，希望用文化國防頂著赤化的威脅，培養出香港人普遍反共，但支持「理念中國」的二元認同。

鄧小平他們當然知道要求香港人一下子去到愛黨、去到支持社會主義，並不現實，也不利收回香港，就容忍統戰了。說穿了上一代民主派元老甚至各界人士，其實都做過中方的入幕之賓。京港來回之間，他們也將自己一時受禮待的特殊歷史經歷當成了通則。雖然後來有了六四引致的反面，但香港人接到了一國兩制，也就認為這是鎮山之寶，認為「愛國不愛黨」的道德高地有政治法力，可以反過來束博中共。這種取態，在短時間內似乎令人產生一種印象：此論述能夠獲得「民主保本」一代港人在選舉投票給民主派，也可以頂住中共指控他們不愛國。

從更長時間和事後看來，中國容許香港局勢不改變，是因為國力未夠強大，而不是因為香港人始終愛著理念上的中國。你是否愛理念上的中國，中國不在乎，但法律上政治上效忠中國的要求，則始終未被剔除。

最明顯的例子是黎胖子和李柱銘等人，他們中國人身份認同很強，但始終反共和要求民主。我們香港人幼承庭訓，假定「愛國民主」是極為安全的爭取路線，「中國也不可能反對呀」，但香港是否有民主，在中國的天朝藍圖關係到整個社會主義體系的完整性，對中國而言社會主義的完整性其實就是主權的完整性。如果香港有真民主，則中國又可能等於再次失去香港控制權，180 年前香港分裂出去的情況又會出現。任你自報家門如何愛國，是真愛國還是假愛國，中國的想法都不會自己改變。

在香港搞愛國民主其實屬於掩耳盜鈴，自己覺得安全，但在中國看來可能是笑話。當然香港其實無險可守，上一代人打算死馬當活馬醫，亦可能是忍辱負重的偉大。好像曹操行軍進入險處，大家又饑又渴，作為領袖只好不斷欺騙士兵前面就有水源有補給，以精神力動員大家撐下去；但香港的現實遠比成語故事來得殘酷，望梅止渴的故事去到最後，曹軍真是撐著走到了綠洲，錯有錯著，但香港則是仍然依照宿命走入永夜的曠野。

愛國民主沒有獲得中國優待。盡量爭取議席，然後準備在民主政改之後「量變質變」由港人獲得香港管治權的暗渡陳倉，亦一如所料被中國截斷。在 2014 年白皮書之後，我們其實就已碰到了現實的牆，所以之後才有退聯、圍繞支聯會六四和前途問題的各種討論。一旦香港會達到真普選的未來被否決，選舉的意義就不一樣了。所以後來參與選舉的新力量，其實都不是求結果，而是求過程，將選舉視為一種政治運動，用選舉來攬動形勢。

在中國看來，香港的選舉被激進化，漸漸走向否定制度，這有某程度上亦是事實，不過這種趨勢在 2014 年之前並不存在，基本上是 2014 年的白皮書宣示幾代香港人期待和參與的「民主回歸」化為一場春夢的結果。這情況也不只是年輕人搞出來，後來我們發現不知為何當初非常反對搞事的泛民，後來自己都開始在議會裡搞抗爭。畢竟 2014 年之後，老民主運動員都不禁公開抱怨，中方已經跟他們斷絕溝通，跟中國有商有量的舊情不再，也許才是泛民最後也被迫激進化的根源。

然而醜婦終須見家翁，中國早晚也會告訴香港，不打算搞民主，但這個夢在香港已經做了幾十年，有幾代人的期待，已經尾大不掉。這件事對中國來說，是上一代人把問題留給後代解決的結果，對香港人來說，則是無險可守，只能對當初承諾極為認真，始終追數的悲劇。

然而一個人成長，接受了的社教化很難清除。

我們就經歷過「公民教育」只教你在街上要守秩序、不要亂拋垃圾的年代，後來就開始有23 條、國民教育等等，最後普選夢碎。這種對中國天經地義的事情，實際上是要把幾百萬人累積了上百年的思想習慣扭轉過去，將他們對世界的普遍認知改變過來。這種強烈的世界觀衝突，一經政治力的強固，就變成一種蔓延的認知失調。當兩種衝突的意識形態並存於一個人身上，最後他都會撐不住，會改變自己的心態和行為，使衝突於內在調和。結果便是藍絲和黃絲相繼出現，因為作為認知失調者的整體香港人，為了沖淡內在衝突，一些人選擇做「政治上的中國人」，一些則選擇做另一種人。兩種方法都可以緩解自身的心理衝突，但其實也是將內在衝突移情出去，雙方都會為了避免認知失調而慢慢 reinforce 自己的信念，以免精神崩潰，香港就此進入動亂。

2014 年之前的香港為何比較平穩，是因為我們將所有事情建設於一個「香港很快就會民主」的春夢，夢境是和平的，但畢竟是虛幻。真實的香港一出世，就是戰地嬰兒。政治充滿謊言，現在只是用謊言建造的和平終於被時間揭穿。

在這個年代存活，不知是可哀還是可幸。例如早就去了地獄的司徒華就看不到香港「水落石出」的一天，沒能親耳聽到「愛國不愛黨」被黨否定了。人們說長大就是不斷被現實打倒，最後不明不白就接受了現實，也就是一個嬰兒慢慢發現世界上有其他人，自己一點也不特別。據說佛洛伊德認為人類遵守外在道德的起源，就是他明白了自己無法勝過成年人的父親，在爭奪媽媽的戰爭必然輸掉的現實的一瞬間。

然而後來我們到了青年時期又會有中二病，中二病就是人開始又想重建自己的獨特性，想創造自己認為獨特的人生的一瞬間。歷史上極具開創性的東西，往往都有中二病的影子 (但不代表甩皮甩骨的中二病必定等於有開創性)。啟蒙主義的歐陸思想家、宗教改革中的馬丁路德、美國建國先賢、中國人的反帝共和派、共產主義要創造新世界，其實全部都是由人的妄自尊大緣起。

Ridley Scott 拍的《Hannibal》(2001) 就有一段非常意味深長的話。那個時空漢尼拔醫生已經越獄逃到美國之外，史達琳還在找他，但同時因為受腐敗的司法部打壓而被投閒置散。後來她訪問漢尼拔在監獄裡要好的獄卒 / 護理人員，引述下，當年漢尼拔是這樣評價這個不一樣的女孩子：

「他談到遺傳和內心深處的行為，他用鴿子的遺傳來做比喻，它們喜歡高高的飛到天上，然後炫耀的翻著筋斗俯衝下來……鴿子分為膚淺和深沉兩種，當兩隻深沉的鴿子結合之後，他們的後代往往會俯衝撞地而死……史達琳探員是隻深沉的鴿子，只希望她父母中有一個是隻膚淺的鴿子。」

後來這對敵人和師徒終於在電話對上了話，當時史達琳已經被停職，接受內部調查，漢尼拔想將她爭取過來，他說：

「妳把自己的生命獻給調查局、獻給體制，然而在付出一切之後，卻發現他們並不喜歡妳。這一點讓妳憤憤不平，比放棄丈夫和孩子都還要憤怒。為甚麼？為甚麼妳會如此憤怒？……妳服侍『秩序』這個概念，他們不；妳遵守誓言，他們不；妳覺得保護弱小是自己的責任，他們不；因為妳跟他們不同，所以他們討厭妳。他們恨妳也妒忌妳……」

那麼這些年的激蕩歲月之後，我也有這個疑問。我們是膚淺還是深沉的鴿子？你選擇 to be 還是 not to be ？漢尼拔說那番話是因為他明白自己道德標準異於常人，只能將自己隱藏起來，避免成為撞地而死的鴿子。然而人總會不禁期待一個深沉鴿子也能展示本色的世界。鴿子能夠活著固然很好，作為深沉的鴿子能夠活著並且保持著自己的本色，就更困難，但也更好。

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這種技術性取態是順從香港的既有政治文化。香港人自清末起就被隔離在中國以外，不算正式參與共和國甚至民國的誕生，等於長期是「海外華人」的心態，有樸素戀中感情。英方在 20 世紀初，也搞傳統國學教育，希望用文化國防頂著赤化的威脅，培養出香港人普遍反共，但支持「理念中國」的二元認同。

鄧小平他們當然知道要求香港人一下子去到愛黨、去到支持社會主義，並不現實，也不利收回香港，就容忍統戰了。說穿了上一代民主派元老甚至各界人士，其實都做過中方的入幕之賓。京港來回之間，他們也將自己一時受禮待的特殊歷史經歷當成了通則。雖然後來有了六四引致的反面，但香港人接到了一國兩制，也就認為這是鎮山之寶，認為「愛國不愛黨」的道德高地有政治法力，可以反過來束博中共。這種取態，在短時間內似乎令人產生一種印象：此論述能夠獲得「民主保本」一代港人在選舉投票給民主派，也可以頂住中共指控他們不愛國。

從更長時間和事後看來，中國容許香港局勢不改變，是因為國力未夠強大，而不是因為香港人始終愛著理念上的中國。你是否愛理念上的中國，中國不在乎，但法律上政治上效忠中國的要求，則始終未被剔除。

最明顯的例子是黎胖子和李柱銘等人，他們中國人身份認同很強，但始終反共和要求民主。我們香港人幼承庭訓，假定「愛國民主」是極為安全的爭取路線，「中國也不可能反對呀」，但香港是否有民主，在中國的天朝藍圖關係到整個社會主義體系的完整性，對中國而言社會主義的完整性其實就是主權的完整性。如果香港有真民主，則中國又可能等於再次失去香港控制權，180 年前香港分裂出去的情況又會出現。任你自報家門如何愛國，是真愛國還是假愛國，中國的想法都不會自己改變。

在香港搞愛國民主其實屬於掩耳盜鈴，自己覺得安全，但在中國看來可能是笑話。當然香港其實無險可守，上一代人打算死馬當活馬醫，亦可能是忍辱負重的偉大。好像曹操行軍進入險處，大家又饑又渴，作為領袖只好不斷欺騙士兵前面就有水源有補給，以精神力動員大家撐下去；但香港的現實遠比成語故事來得殘酷，望梅止渴的故事去到最後，曹軍真是撐著走到了綠洲，錯有錯著，但香港則是仍然依照宿命走入永夜的曠野。

愛國民主沒有獲得中國優待。盡量爭取議席，然後準備在民主政改之後「量變質變」由港人獲得香港管治權的暗渡陳倉，亦一如所料被中國截斷。在 2014 年白皮書之後，我們其實就已碰到了現實的牆，所以之後才有退聯、圍繞支聯會六四和前途問題的各種討論。一旦香港會達到真普選的未來被否決，選舉的意義就不一樣了。所以後來參與選舉的新力量，其實都不是求結果，而是求過程，將選舉視為一種政治運動，用選舉來攬動形勢。

在中國看來，香港的選舉被激進化，漸漸走向否定制度，這有某程度上亦是事實，不過這種趨勢在 2014 年之前並不存在，基本上是 2014 年的白皮書宣示幾代香港人期待和參與的「民主回歸」化為一場春夢的結果。這情況也不只是年輕人搞出來，後來我們發現不知為何當初非常反對搞事的泛民，後來自己都開始在議會裡搞抗爭。畢竟 2014 年之後，老民主運動員都不禁公開抱怨，中方已經跟他們斷絕溝通，跟中國有商有量的舊情不再，也許才是泛民最後也被迫激進化的根源。

然而醜婦終須見家翁，中國早晚也會告訴香港，不打算搞民主，但這個夢在香港已經做了幾十年，有幾代人的期待，已經尾大不掉。這件事對中國來說，是上一代人把問題留給後代解決的結果，對香港人來說，則是無險可守，只能對當初承諾極為認真，始終追數的悲劇。

然而一個人成長，接受了的社教化很難清除。

我們就經歷過「公民教育」只教你在街上要守秩序、不要亂拋垃圾的年代，後來就開始有23 條、國民教育等等，最後普選夢碎。這種對中國天經地義的事情，實際上是要把幾百萬人累積了上百年的思想習慣扭轉過去，將他們對世界的普遍認知改變過來。這種強烈的世界觀衝突，一經政治力的強固，就變成一種蔓延的認知失調。當兩種衝突的意識形態並存於一個人身上，最後他都會撐不住，會改變自己的心態和行為，使衝突於內在調和。結果便是藍絲和黃絲相繼出現，因為作為認知失調者的整體香港人，為了沖淡內在衝突，一些人選擇做「政治上的中國人」，一些則選擇做另一種人。兩種方法都可以緩解自身的心理衝突，但其實也是將內在衝突移情出去，雙方都會為了避免認知失調而慢慢 reinforce 自己的信念，以免精神崩潰，香港就此進入動亂。

2014 年之前的香港為何比較平穩，是因為我們將所有事情建設於一個「香港很快就會民主」的春夢，夢境是和平的，但畢竟是虛幻。真實的香港一出世，就是戰地嬰兒。政治充滿謊言，現在只是用謊言建造的和平終於被時間揭穿。

在這個年代存活，不知是可哀還是可幸。例如早就去了地獄的司徒華就看不到香港「水落石出」的一天，沒能親耳聽到「愛國不愛黨」被黨否定了。人們說長大就是不斷被現實打倒，最後不明不白就接受了現實，也就是一個嬰兒慢慢發現世界上有其他人，自己一點也不特別。據說佛洛伊德認為人類遵守外在道德的起源，就是他明白了自己無法勝過成年人的父親，在爭奪媽媽的戰爭必然輸掉的現實的一瞬間。

然而後來我們到了青年時期又會有中二病，中二病就是人開始又想重建自己的獨特性，想創造自己認為獨特的人生的一瞬間。歷史上極具開創性的東西，往往都有中二病的影子 (但不代表甩皮甩骨的中二病必定等於有開創性)。啟蒙主義的歐陸思想家、宗教改革中的馬丁路德、美國建國先賢、中國人的反帝共和派、共產主義要創造新世界，其實全部都是由人的妄自尊大緣起。

Ridley Scott 拍的《Hannibal》(2001) 就有一段非常意味深長的話。那個時空漢尼拔醫生已經越獄逃到美國之外，史達琳還在找他，但同時因為受腐敗的司法部打壓而被投閒置散。後來她訪問漢尼拔在監獄裡要好的獄卒 / 護理人員，引述下，當年漢尼拔是這樣評價這個不一樣的女孩子：

「他談到遺傳和內心深處的行為，他用鴿子的遺傳來做比喻，它們喜歡高高的飛到天上，然後炫耀的翻著筋斗俯衝下來……鴿子分為膚淺和深沉兩種，當兩隻深沉的鴿子結合之後，他們的後代往往會俯衝撞地而死……史達琳探員是隻深沉的鴿子，只希望她父母中有一個是隻膚淺的鴿子。」

後來這對敵人和師徒終於在電話對上了話，當時史達琳已經被停職，接受內部調查，漢尼拔想將她爭取過來，他說：

「妳把自己的生命獻給調查局、獻給體制，然而在付出一切之後，卻發現他們並不喜歡妳。這一點讓妳憤憤不平，比放棄丈夫和孩子都還要憤怒。為甚麼？為甚麼妳會如此憤怒？……妳服侍『秩序』這個概念，他們不；妳遵守誓言，他們不；妳覺得保護弱小是自己的責任，他們不；因為妳跟他們不同，所以他們討厭妳。他們恨妳也妒忌妳……」

那麼這些年的激蕩歲月之後，我也有這個疑問。我們是膚淺還是深沉的鴿子？你選擇 to be 還是 not to be ？漢尼拔說那番話是因為他明白自己道德標準異於常人，只能將自己隱藏起來，避免成為撞地而死的鴿子。然而人總會不禁期待一個深沉鴿子也能展示本色的世界。鴿子能夠活著固然很好，作為深沉的鴿子能夠活著並且保持著自己的本色，就更困難，但也更好。

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【2020 機率期末考題 — 生死鬥之三強爭霸】

每個老師對於課程都有自己的理念。我對於機率這類的工程數學課程，從十幾年前開始教書時，我的理念就一直是：教學生理論，最重要的是要讓學生學會怎麼把它用在真實情境，解決問題。

我自己學生時代修的很多課，都是考證明。對我這種後來做理論研究的學生來說，背這些證明、學一些理論推導手法，對我後來或有一些幫助。但大部分工程領域的學生，真正後來會像我一樣最後走向理論研究的人真的不多。

所以當我開始當老師時，我的重點一直都比較不是要考學生理論、證明。我希望的是我們能讓更多學生理解到，他學到的工程數學，是可以用在真實情境裡的。這也是為什麼從十幾年前開始，我就在教學生怎麼出生活情境下的機率題目，我自己的考題也是從這方向去設計。

近年國教端大家在談的素養題，其實跟十幾年前我的理念是一致的。而且我們還更進一步訓練我們的學生自己出這樣的機率素養題。當年我們師生出的科普暢銷書「機率驚艷」就是把我們的作品集結出版，在博客來科普類榜首好幾週。

這也是為什麼每年我只要想到要出機率期中考或期末考題，都會很焦慮、很花時間的原因。要找真實的情境，要能與理論結合，要能讓學生感受到學這些數學是有用的，而不是只是考試寫證明用的；這真的很難，超花時間。

題目很難出，但一直都希望讓學生修完課後能記得機率是跟真實世界能結合有用的東西。也希望他們考完能對機率不會太排斥日後再去接觸。

今年畢業典禮，花了好多時間在想這個題目。真是搞死我了 X{DDD

感謝 吳陽禾、柯建廷 借名相助～
感謝 洪國喨助教 昨天半夜兩點半還在跟我一起驗算答案的數字～

————————

2020 機率期末考題
by Benson

2020 年，由於疫情，各種突破人類理性極限的事情不斷發生。當中最讓人注目的，在太平洋某個島，出現了跨越二千年時空而重現的歐洲極致格鬥文化：「羅馬競技生死鬥」。競技規則很簡單，如媒體新聞圖所示：

「羅馬競技生死鬥」的規則：當手中的武器也就是寶特瓶，擊中對方持武器的手可得1分；擊中正面可得2分；擊中背面則可得3分，先拿到10分者獲勝；若是直接將對方手中的寶特瓶擊落，也判直接獲得勝利。

在江湖上，有三個知名的羅馬競技生死鬥戰隊，讓人聞風喪膽。分別是來自天龍國的 UTN 戰隊、來自風城國的 UTCN 戰隊，跟來自糖糖國的 UKCN 戰隊。

a. (5%) 當 UTN 隊對上 UTCN 隊，兩者在伯仲之前，一群眼鏡仔拿寶特瓶互Ｋ對戰，非常之精彩。已知每場比賽的時間都獨立，而且每場比賽不管開戰多久，剩餘的時間總是讓人像如同從頭開始看一樣，平均每場比賽所花的時間是 10 分鐘。請問每場比賽所花時間的分鐘數之 MGF 是？

b. (10%) 當 UTCN 隊與 UTN 隊對戰，UTN 隊的主要戰將小禾因自小就在風城長大，對於風城人的特性了解甚深，因此跟對手對戰勝率很高，每場得勝機率是 0.8，每場所花時間的機率分佈如同前小題所述。比賽一開始，他便自動請纓，連勝連戰，直到第一場敗戰才退下陣來。請問連勝連戰到第一次落敗，所花的總戰鬥時間分鐘數的 MGF、Mean、Variance 各是什麽？請分別詳細推導。（Hint：注意有可能在第一場就輸了，但還是有比賽時間。這部分的時間也是要考慮喔）

c. (10%) 經過浴血奮戰，UTN 隊終於力克 UTCN 隊。下一戰對上了 UKCN 隊。BTW 這三隊之所以在江湖上能有一席之地，其實靠的不是戰技而已，而是比賽同時所發的垃圾話攻勢。其中，UKCN 隊的垃圾話對於從小在糖糖國長大北漂唸書的選手，尤其有殺傷力（只要對他們講一句「好可憐喔，你這四年都在吃ㄆ」，他們就會大崩潰，變得毫無戰力）。

當 UKCN 隊要對上 UTN 隊 K 選手之前，他們得到情報，知道 K 選手有 70% 的可能來自糖糖國。為了確保垃圾話戰術的成功，UKCN 隊想出了一個方式來測試 K 到底是不是真的來自糖糖國，他們的美麗隊經，在比賽前親自送了一整箱全糖綠茶給 K。然後他們偷偷觀察 K 連續喝了多少杯才停止不再喝全糖綠茶。令 X 為觀察到的杯數（亦即 K 連續喝了 X 杯全糖飲料才停止而不再喝，注意 X 也有可能為 0）。

若已知一個來自糖糖國的人，給他無限制的全糖飲料，不管他之前已經喝了多少杯，下一杯會繼續喝的機率是 0.9（Hint: 所以 X 在這假設下是什麼分佈呢？）。對於一個不是來自糖糖國的人，給他無限制的全糖飲料，不管他之前已經喝了多少杯，下一杯會繼續喝的機率是 0.1（Hint: 所以 X 在這假設下是什麼分佈呢？）。請你幫 UKCN 隊設計出由 X 判定 K 選手是否來自糖糖國的準則 (Decision Rule)，讓他們判定錯誤的機率為最小。

d. (10%) 根據賽場紀錄顯示，每次 UTN 選手出手，被 UKCN 選手防禦擋住的機率是 0.7，打中正面得兩分的機率是 0.2，打中背面得三分的機率是 0.1，武器掉落機率為 0。每次出手的結果都是獨立事件。根據賽場紀錄，在這場驚天地、泣鬼神的南北對戰中，UTN 選手共出手了 2000 次。請用 CLT 求出 UTN 選手得分總和超過 1500 分的機率的精準近似值。

e. (10%) 有個糖糖國學生跟場邊某教授嗆 UTN 小禾上場，整天所有比賽總分必少於 20 分，讓某教授很不爽想跟他嗆賭。若小禾每次出手，被 UKCN 選手防禦擋住的機率是 0.7，打中正面得兩分的機率是 0.3，打中背面得三分的機率是 0.0，武器掉落機率為 0。已知一整天小禾出手 20 次。某教授為人謹慎，每次決定要不要嗆賭人之前，必先計算賭贏的機率多高。請用 Chernoff Bound 幫某教授計算他嗆賭贏糖糖國學生（亦即小禾得分大於等於 20）的最緊的機率上限？

f. (5%) 在場邊，因為機率期末考快到了，有某 UTN 學生問某教授機率問題：「請問，為什麼 Binomail(n, p) 機率分佈，在 n 很大的時候可用 Gaussian 分佈近似它呢？」正在觀看小禾熱戰的某教授，竟然被問了機率題目，只好露出了尷尬又不失禮的微笑。請問，如果你是教授，請盡你所能，詳細回答這個學生的問題。（回答說明的越完整，分數越高）

最後小禾一夫當關，殺遍敵手全隊，UTN 隊榮登武林盟主。現場掌聲不絕於耳，好不熱鬧！

這時某教授突然驚醒，原來一切，只是南柯一夢。夢中那些機率，看來都是白算的了？在昏暗的天色下，只剩拍手小廷嘲諷般的掌聲，在他耳邊揮之不去。

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