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[爆卦]奇函數減偶函數是什麼？優點缺點精華區懶人包

雖然這篇奇函數減偶函數鄉民發文沒有被收入到精華區：在奇函數減偶函數這個話題中，我們另外找到其它相關的精選爆讚文章

在 奇函數減偶函數產品中有3篇Facebook貼文，粉絲數超過4,514的網紅數學老師張旭，也在其Facebook貼文中提到， 【新片上架：奇偶函數的積分範例 2-1｜張旭微積分】 . 經過上一部影片了解奇偶函數在特定範圍下的積分可減化以後 接下來我們做一些稍加複雜的題目來做為練習 分析及計算過程請點看下面連結觀看影片 👉https://youtu.be/mG7IQYKRi7s . 看完覺得不錯的話記得點讚 還沒訂閱的記得訂...

　同時也有1部Youtube影片，追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭，也在其Youtube影片中提到，【摘要】 本影片介紹了微積分基本定理第一型式，也就是若存在針對 f(x) 的反導函數 F(x)，則針對 f(x) 的定積分就可以直接用 F(x) 代上限減去代下限之值獲得 【勘誤】 21:00 第一小題號寫成 (2)，應為 (1) 無，若有發現其他錯誤，歡迎留言告知 【講義】 請到張旭老師臉書粉...

「奇函數減偶函數」的推薦目錄

奇函數減偶函數 在 高均數學/升學帳 Instagram 的最讚貼文

2021-08-19 01:57:45

換角公式. . 口訣：「換不換？正或負？」 . . 換角公式SOP：. . Step1：變更形式 將角度換成 sin(n x 90°+θ)或cos(n x 90°+θ)形式 例如： sin315°=sin(3x90°+45°) cos135°=cos(2x90°-45°) . . Step2：函...

  • 數學老師張旭

    奇函數減偶函數 在 數學老師張旭 Facebook 的最佳貼文

    2020-10-15 15:30:50
    有 3 人按讚

    【新片上架：奇偶函數的積分範例 2-1｜張旭微積分】
    .
    經過上一部影片了解奇偶函數在特定範圍下的積分可減化以後
    接下來我們做一些稍加複雜的題目來做為練習
    分析及計算過程請點看下面連結觀看影片
    👉https://youtu.be/mG7IQYKRi7s
    .
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  • Taipei Ethereum Meetup

    奇函數減偶函數 在 Taipei Ethereum Meetup Facebook 的精選貼文

    2019-11-17 23:14:17
    有 36 人按讚

    📜 [專欄新文章] 瞭解神秘的 ZK-STARKs
    ✍️ Kimi Wu
    📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

    上一篇關於 zkSNARK扯到太多數學式，導致很難入手，這次介紹 STARK 會盡量減少數學式，以原理的方式跟大家介紹。

    STARK 被視為新一代的 SNARK，除了速度較快之外，最重要的是有以下好處1. 不需要可信任的設置（trusted setup），以及
    2. 抗量子攻擊

    但 STARK 也沒這麼完美，STARK 的證明量(proof size)約 40–50KB，太佔空間，相較於 SNARK 只有288 bytes，明顯大上幾個級距。此外，這篇論文發佈約兩年的時間，就密碼學的領域來說，還需要時間的驗證。

    STARK 的 S 除了簡潔（Succinct）也代表了擴展性（Scalable），而T代表了透明性（Transparency），擴展性很好理解，透明性指的是利用了公開透明的算法，可以不需要有可信任的設置來存放秘密參數。
    SNARK 跟 STARK 都是基於多項式驗證的零知識技術。差別在於，如何隱藏資訊、如何簡潔地驗證跟如何達到非互動性。

    快轉一下 SNARK 是如何運作的。
    Alice 有多項式 P(x)、Bob有秘密 s，Alice 不知道 s、Bob 不知道 P(x)的狀況下，Bob 可以驗證P(s)。藉由同態隱藏（Homomorphic Hindings）隱藏Bob的 s → H(s)，藉由 QAP/Pinocchio 達到了簡潔地驗證，然後把 H(s) 放到CRS（Common Reference String），解決了非互動性。細節可以參考之前的文章 。

    問題轉換

    零知識的第一步，需要先把「問題」轉成可以運算的多項式去做運算。這一小節，只會說明怎麼把問題轉成多項式，至於如何轉換的細節，不會多琢磨。

    問題 → 限制條件 → 多項式

    在 SNRAK 跟 STARK 都是藉由高維度的多項式來作驗證。也就是若多項式為： x³ + 3x² + 3 = 0，多項式解容易被破解猜出，若多項式為 x^2000000 + x^1999999 + … 則難度會高非常多。

    第一步，先把想驗證的問題，轉換成多項式。
    這邊以Collatz Conjecture為例子，什麼是Collatz Conjecture呢？（每次都用Fibonacci做為例子有點無聊 XD）
    1. 若數字為偶數，則除以2
    2. 若數字為奇數，則乘以3再加1 (3n+1)

    任何正整數，經由上述兩個規則，最終結果會為 1 。（目前尚未被證明這個猜想一定成立，但也還未找出不成立的數字）

    52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.

    把每個運算過程的結果紀錄起來，這個叫做執行軌跡（Execution Trace），如上述52 -> 26 -> … -> 1。接著我們把執行軌跡轉換成多項式（由執行軌跡轉成多項式不是這裡的重點，這裡不會贅述，細節可以參考 StarkWare的文章 ）如下

    https://medium.com/starkware/arithmetization-i-15c046390862

    合成多項式

    接著就把這四個限制條件的多項式合成為一個，這個最終的多項式就叫做合成多項式（composition polynomial），而這個合成多項式就是後面要拿來驗證的多項式。

    就像一開始提的，SNARK跟STARK都是使用高維度多項式，接著，來介紹STARK是藉由哪些方式，達到零知識的交換、透明性(Transparency)跟可擴展性(Scalability)。

    修改多項式維度

    這一步是為了後面驗證做準備的。在驗證過程使用了一個技巧，將多項式以2的次方一直遞減為常數項（D, D/2, D/4 … 1），大幅減低了驗證的複雜度。因此，需要先將多項式修改為2^n維度

    假設上述的每個限制多項式（不是合成多項式喔）為Cj(x)，維度為 Dj，D >= Dj 且 D 等於2^n，為了達到 D 維度，乘上一個維度（D -Dj）的多項式，

    所以最終的合成多項式，如下

    其中的αj、βj是由驗證者(verifier)所提供，所以最終的多項式是由證明方(prover)跟驗證方所共同組成。

    *這小節的重點是將多項式修改成D維度，覺得多項式太煩可忽略

    FRI

    FRI 的全名是”Fast RS IOPP”（RS = “Reed-Solomon”, IOPP = “Interactive Oracle Proofs of Proximity”）。藉由FRI可以達到簡潔地驗證多項式。在介紹FRI 之前，先來討論要怎麼證明你知道多項式 f(x) 為何？

    RS 糾刪碼：

    糾刪碼的概念是把原本的資料作延伸，使得部分資料即可以做驗證與可容錯。其方式是將資料組成多項式，藉由驗證多項式來驗證資料是否正確。舉例來說，有d個點可以組成 d-1 維的多項式 y = f(x)，藉由驗證 f(z1) ?= y，來確定 z1是否是正確資料。

    回到上面的問題，怎麼證明知道多項式？最直接的方式就是直接帶入點求解。藉由糾刪碼的方式，假設有d+1個點，根據Lagrange插值法，可以得到一個 d 維的多項式 h(x)，如果如果兩個多項式在（某個範圍內）任意 d 點上都相同（ f(z) = h(z), z = z1, z2…zd），即可證明我知道 f(x)。但是我們面對的是高維度的多項式，d 是1、2百萬，這樣的測試太沒效率，且不可行。FRI 解決了這個問題，驗證次數由百萬次變成數十次。

    降低複雜度

    假設最終的合成多項式為 f(x)，藉由將原本的1元多項式改成2元多項式，以減少多項式的維度。假設 f(x) = 1744 * x^{185423}，加入第二變數 y，使 y = x^{1000}，所以多項式可改寫為 g(x, y) = 1744*x^{423}*y^{185}。藉由這樣的方式，從本來10萬的維度變成1千，藉由這種技巧大幅降低多項式的維度。在 FRI 目前的實做，是將維度對半降低 y = x²（f(x) = g(x, x²)）。

    此外，還有另一個技巧，將一個多項式拆成兩個較小的多項式，把偶數次方跟奇數次方拆開，如下：

    f(x)= g(x²) + xh(x²)

    假如：

    f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + a4x⁴ + a5x⁵
    g(x²) = a0 + a2x² + a4x⁴, （g(x) = a0 + a2x + a4x²）
    h(x²) = a1x + a3x² + a5x⁴, （h(x) = a1 + a3x + a5x² ）

    藉由這兩個方法，可以將高維度的多項式拆解，重複地將維度對半再對半，以此類推到常數項。而 FRI 協議在流程上包含兩階段 — 「提交」跟「查詢」。

    提交階段：提交階段就如同上述過程，將多項式拆解後，由驗證者提供一亂數，組成新的多項式，再繼續對多項式拆解，一直重複。

    f(x) = f0(x) = g0(x²) + x*h0(x²)
    ==> f1(x) = g0(x) + α0*h0(x), ← α0（驗證者提供）
    ==> f2(x) = g1(x) + α1*h1(x), ← α1（驗證者提供）
    ==> . . .

    查詢階段：這個階段要驗證證明者所提交的多項式 f0(x), f1(x), f2(x), … 是否正確，這邊運用一個技巧，帶入任意數 z 及 -z（這代表在選域的時候，需滿足 L²= {x²：x ∊ L}，這邊不多提）。所以可以得

    f0(z) = g0(z²) + z*h0(z²)
    f0(-z) = g0(z²) -z*h0(z²)

    藉由兩者相加、相減，及可得g0(z²)、h0(z²)，則可以計算出f1(z²)，再推導出f1(x)，以此類推驗證證明者傳來的多項式。

    Interactive Oracle Proofs (IOPs)

    藉由FRI（RS糾刪碼、IOPs），將驗證次數由數百萬降至20–30次（log2(d)），達到了簡潔地驗證。不過，我們解決了複雜度，但還有互動性！

    * 與SNARK比較 ：SNARK在驗證方面利用了QAP跟Pinocchio協定。

    非互動性

    藉由 Micali 建構（Micali construction）這個概念來解釋如何達到非互動的驗證。Micali 建構包括兩部分，PCPs（Probabilistically checkable proof）跟雜湊函數。PCPs 這是一個隨機抽樣檢查的證明系統。簡單來說，證明者產出一個大資料量的證明（long proof），經由隨機抽樣來驗證這個大資料量的證明。過程大約是這樣，證明者產出證明𝚿，而驗證者隨機確認 n 個點是否正確。

    在STARK，我們希望達到：1.小的證明量，2.非互動。隨機抽樣可以讓達到小的證明量，那互動性呢? 想法很簡單，就是預先抽樣，把原本 PCPs 要做的事先做完，然後產出只有原本證明 𝚿 抽樣出的幾個區塊當作證明。但想也知道，一定不會是由證明者抽樣，因為這樣就可以作假。這裡是使用 Fiat-Shamir Heuristic 來作預先取樣。

    首先，先把證明 𝚿組成 merkle tree，接著把 merkle root 做雜湊可得到一亂數 𝛒，而 𝛒 就是取樣的索引值。將利用𝛒取出來的區塊證明、區塊證明的 merkle tree 路徑跟 merkle root, 組一起，即為STARK 證明 𝛑。

    到目前，只使用雜湊函數這個密碼學的輕量演算法。而雜湊函數的選擇是這個證明系統唯一的全域參數（大家都需要知道的），不像是 SNARK 有 KCA 使用的(α, β, 𝛾)等全域的秘密參數，再藉由 HH（同態隱藏）隱藏這些資訊來產生 CRS。因為證明的驗證是靠公開的雜湊函數，並不需要預先產生的秘密，因此 STARK 可以達到透明性，也不用可信任的設置。

    接著，將FRI中需要互動的部分（驗證者提供 α 變數），使用上述的 PCP + Fiat-Shamir Heuristic， 即可達到非互動性。

    * 與SNARK比較： SANRK 的非互動性是將所需的全域參數放到CRS中，因為全域參數是公開的，所以CRS裡的值使用了 HH 做隱藏。

    MIMC

    大部分證明系統，會使用算數電路來實作，此時，電路的複雜程度就關係到證明產生的速度。 STARK 的雜湊函數選用了電路複雜度較簡單的 MIMC，計算過程如下：

    https://vitalik.ca/general/2018/07/21/starks_part_3.html

    這樣的計算有另一個特性，就是無法平行運算，但卻又很好驗證，因此也很適合 VDF 的運算。Vitalik有一個使用 MIMIC 作為 VDF 的提案。

    ps. 反向運算比正向慢百倍，所以會是反向計算，正向驗證

    從上面的解釋，可以理解為什麼 STARK 不需要可信任設置，至於為什麼能抗量子？因為 SNARK 中使用了 HH 來隱藏秘密，而 HH 是依靠橢圓曲線的特性，但橢圓曲線沒有抗量子的特性（也就是可以從公鑰回推私鑰）。而STARK在整個過程中只使用了雜湊函數，而目前還沒有有效的演算法能破解雜湊函數，因此可以抵抗抗量子攻擊。

    有錯誤或是不同看法，歡迎指教

    參考：
    StarkDEX Deep Dive: the STARK Core Engine
    STARK 系列文：
    STARK Math: The Journey Begins
    Arithmetization I
    Arithmetization II
    Low Degree Testing
    A Framework for Efficient STARKs
    Vitalik 系列文：
    STARKs, Part I: Proofs with Polynomials
    STARKs, Part II: Thank Goodness It’s FRI-day
    STARKs, Part 3: Into the Weeds
    ZK-STARKs — Create Verifiable Trust, even against Quantum Computers
    https://ethereum.stackexchange.com/questions/59145/zk-snarks-vs-zk-starks-vs-bulletproofs-updated

    Originally published at http://kimiwublog.blogspot.com on November 12, 2019.

    瞭解神秘的 ZK-STARKs was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

    👏 歡迎轉載分享鼓掌

  • 許元耕Yuan-Keng Hsu

    奇函數減偶函數 在 許元耕Yuan-Keng Hsu Facebook 的最讚貼文

    2015-12-26 19:20:15
    有 64 人按讚


    一年即將畫下句點，照慣例的要來回顧過去迎接未來！
    充滿挑戰的2015年，選手比重逐漸減少，轉向產業、教育以及教練工作，當然還是很渴望能夠在賽場上奪得勝利，生活、訓練和工作間的平衡，是挑戰也是幸褔！

    接下來的2016年，對已經決定不繼續就讀研究所的阿耕來說，不管接下來怎麼走，都即將覆蓋學生時期的這一回合，曲折離奇的就學經驗、6年才完成的大學學業，也許和大家認為的求學SOP有所不同，卻因此讓我與眾不同！

    即將離開學校，我不需要擔心22K或是畢業就失業問題，不需要擔心走出學校才要砍掉重來，看似多了兩年，其實已經剩下了很多人生冤枉路，因為這些年我很努力！

    大學期間沒有參加過聯誼、夜唱、衝夜店、生日趴或是夜衝，但我不覺得我的大學過得不精彩。全台灣每個角落都有用單車留下來的回憶，參與過電影、偶像劇、廣告和專題節目拍攝，出過書，代表過台北市、國家隊，可以飛出台灣和電視才看得到的選手訓練，擁有專欄還有無數個自己喜歡的工作機會！

    這些都是我努力來的！

    我記得國中基測考試，媽媽跟我說，如果你能力夠好，就是你選學校，不需要讓學校選你，那時候我沒什麼感覺，因為那時候所謂的能力，就是成績單上的PR值！一直到這一兩年，我才真正感覺到什麼叫做能力！能力不是能背出幾個單字；不是算不算得出三角函數，能力大家認為不能沒有你，你是獨一無二的！

    新的一年除了更加努力，更要把整個環境拉上來，憑一己之力的確很辛苦，但相信會有更多意念相同的人願意加入！有句話叫做「往前走的人哪有時間往後看」，但在這個社會當中，一個人好不會好，環境就像金字塔，往前走的時候不把大家一起拉上來，金字塔也堆不高，唯有整體大環境的提升，才能讓所謂的頂尖不是「半調子的專業」！

    新的一年繼續努力！

    #嘴砲的時間拿來努力_你也可以享受榮耀 #Keng_Sports耕運動

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