【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
　
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
　
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
　
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
　
1⃣
　
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
　
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
　
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
　
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
　
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
　
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
　
2⃣
　
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
　
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
　
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
　
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
　
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
　
3⃣
　
高中教過許多關於基本函數的公式
　
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
　
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
　
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
　
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
　
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
　
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
　
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
　
4⃣
　
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
　
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
　
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
　
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
　
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
　
5⃣
　
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
　
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
　
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
　
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
　
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
　
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
　
6⃣
　
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
　
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
　
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
　
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
　
這邊列一下定義內容：
　
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
　
噁心吧？
　
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
　
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
　
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
　
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
　
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
　
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
　
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
　
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
　
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
　
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
　
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
　
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
　
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
　
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
　
嗯... 我又離題了
　
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
　
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
　
///
　
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
　
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
　
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
　
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
　
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
　
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菜市場政治學 專題
【校園中的2020年大選】
◎葉高華／中山大學社會系副教授
　
今年大選，年輕人對於政治一點都不冷漠，而是超級踴躍地為自己的命運而投票！（調查中的投票率比四年前高了近兩成呢）
　
▍本文網址：https://pse.is/R5BSV
　
過去曾做過多次的「中山大學基本調查」，這次針對大三學生的投票行為再次出動，我們可以跟２０１６年來比較，看看大學生們的投票行為大致上有什麼變化：
　
１、總統大選各陣營的支持率
２、政黨票的分布
３、台灣人／中國人認同
　
猜猜看，大學生的總統投票傾向，跟整體相比的差距大還是小？
有哪一個傳統大黨在大學生當中支持率面臨5%保衛戰？
小黨們的表現如何？
在2016的調查當中，有一個小黨在校園中獲得近20%的選票，可惜這次沒有參選。那麼，是哪個小黨取而代之呢？
　
作者發現：從這群大學生的投票行為，我們依稀可以看見未來臺灣政治生態的趨勢。年輕人幾乎不再把中國國民黨當成選項，但又渴望有其他政黨來制衡民進黨。因此，生態上一定得有政黨來填補制衡者的位置，這是新興政黨發展的大好契機。只不過，那生態位置還不一定專屬於誰。倘若新興政黨的表現讓人失望，年輕人也是很容易尋找其他替代品。

[ 記陳春生教授最終講義 ]
　
　　1991年9月，我就讀臺北大學（中興大學法商學院）法律學系司法組一年級。開學第一堂課就是「法學緒論」，授課老師是陳春生老師。大一憲法、大二的行政法、憲法專題研究；大三環境法專題研究的老師，也是陳老師。

　　陳老師是一位很有遠見的老師。我們大學時，他就給我們建議：除了法律的課業、保持身體健康之外（他也常常帶北大的同學們一起去爬山，一直到他擔任大法官以後也都還是持續），最重要的就是「學習第二外文」。

　　留學日本東京大學、德國慕尼黑大學、法國史特拉斯堡大學的陳老師，在當年的大學課堂上時，就能夠一面援引德國法、一面援引日本法來教授我們，班上許多同學受到啟發，紛紛去東吳學日文、去德國文化中心學德文、去師大學法文。不僅如此，陳老師還商請當時就讀碩士班的學長來帶我們大學部的學弟妹研讀法學日文與法學德文。當年帶我們讀日文的學長，就是現在的東吳大學程明修老師，記得使用的教科書是原田尚彥教授的行政法要論。
　
　　當時臺北大學法律研究所入學考試有一個特點，在過去可以說是全國獨一無二的，就是除了英文必考之外，第二外文也是必考，德、日、法文三選一。這必考的第二外文門檻沒通過的話，法律科目再高也是不會錄取，這是黃東熊校長擔任北大法律研究所所長的時候立下的規矩。也使得當年臺北大學法研所的學生，都以「具有第二外文研讀能力」而聞名。

　　記得當年就讀法研所碩士班時，每次陳老師的「行政法專題研究」課堂上的討論都欲罷不能，甚至到了中午十二點應該下課了，大家都還窩在研討室熱烈討論不願意結束，索性直接訂便當叫到教室來一面吃一面繼續加場演出。記得每次我們學弟妹們提前一週把論文打好，交給學長姊時，心裡都很「挫」，希望下週討論時不要被學長姊慘電。每次大家玻璃心之後，陳老師永遠都是給我們溫暖與鼓勵的那個人。
　　
　　他是一位永遠都鼓勵學生的老師。總是對我們說：

　　「做任何事情，永遠都來得及。不可能來不及。」

　　他自己因為是先念清華大學核工系之後，又重考大學才念臺北大學法律系的，跟別人比起來，看似浪費時間，但實際上長遠來看仍有收穫；因為他可以融合理工科與法科的長處。
　
　　準備國家考試的同學，常常讀了這個就忘了那個，感到焦慮，陳老師也會給同學們打氣鼓勵：

　　「與其花時間懊悔，不如馬上把書拿出來翻閱，立刻就會熟。」
　　「要轉最弱為最強！」
　　「不要花時間懊悔，或一直認為自己來不及，只要你全心全力、專注，一定都來得及。」
　　「人的潛能，根據統計，一生只用百分之二十。如何開發你自己沒用到的潛能？這是重點。」
　
　　他總是勉勵我們，不要因為考試不順遂就看輕自己，因為，「我們的能力不只是在應付考試而已。考試通過之後，我們還有更高遠的理想要實踐。建立正確的價值觀、找到自己的定位。志向要高！」
　
　　擔任大法官時期，陳老師在公事之餘，還在學校義務帶學生閱讀「德國聯邦憲法法院五十周年紀念論文集」裡面的文章，每週分配大家閱讀一篇，每週的報告人報告說明心得以後，大家相互討論、提出問題；老師再講解文章裡面的微言大義，以及德國公法學的內涵。讀過的同學，等於把很多公法學尤其是憲法學的基本問題又釐清了一遍，不能說是功力大增，但至少也打通了任督二脈。
　
　　他是一個踏實認真的學者。自己著作等身之外，在國際交流上也著力很深。常常與德國、日本、法國等國的學者交流，英文之外，也通曉這三國語言。每次要辦研討會，老師總是身先士卒，與我們大家一起研擬計畫、討論進行方法。永遠都是自己先挽起袖子做，帶著晚輩往前走。
　
　　他是一位學術前瞻的學者。二十幾年前所撰寫的學術論文，不論是行政法學的四大支柱的介紹、行政規則的外部效力、規範具體化行政規則、多階段行政處分，還是制度性保障、法律保留的漏洞、行政裁量理論等，到現在都還是國內學術界討論的重要焦點。
　
　　記得我出國唸書之前，陳老師送我四個字：「定、專、淡、慢。」心要定、志要專、名利要看淡、做學問要慢，深耕易耨。要確實把問題搞懂、研究清楚再發表。這些教誨，至今我還是深深記著。

　　我沒辦法代替別人說話。所以我只能就我自己的感受，分享給大家。陳老師在我回臺北大學開始擔任教職時，給過我一句話：「只要你能影響到一位學生，帶給他正向的力量，這就夠了。」他也曾在我覺得灰心的時候，引用德蕾莎修女說的話給我鼓勵：

　　「你多年來營造的東西， 有人在一夜之間把它摧毀；
　　　不管怎樣，你還是要去營造。

　　　或許把你最好的東西給了這個世界，
　　　也都永遠還是不夠；
　　　不管怎樣，你還是要把你最好的東西給這個世界。

　　　你看，說到底，它是你和上帝與真理之間的事，
　　　而絕不是你和他人之間的事。」

　　今天，在台下聽著陳老師的最終講義，我也一面想起自己的初衷，當年從巴黎大學畢業回台灣時在心底所發的願：

　　「要儘量實踐教育機會的實質平等。」
　　
　　聖經上說，「這些事你要殷勤去做，並要在此專心，使眾人看出你的長進來。」（提摩太前書四章十五節）雖然到目前為止，我一直都過得很隨心所欲，總是ワガママ，導致現在還是不長進，但我會努力，望不辱師恩。