【處處極限不存在的函數】
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　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
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　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
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　　那麼，該怎麼辦呢？
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　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
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　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
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　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
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　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
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　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
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　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！

【為什麼學微積分要先學極限？】
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　　微積分是一門關於微分與積分的學問，微分是探究瞬間變化程度的學問，積分是探究一範圍內累積量值的學問。例如一運動物體在某時間點的位置瞬時變化率（瞬時速度），那就需要微分；又例如計算一區域在地圖上的面積，那就需要積分。當然如果前面提到的運動物體是等速度運動，又或者在地圖上的區域其形狀恰好是三角形或矩形，那就可以用基本數學公式得到運動物體的瞬時速度和區域面積；但是，一般而言，運動物體不會是等速度運動，而地圖上的區域大多是不規則的，因此，微分和積分的技術就成了解決這類問題的關鍵。
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　　不過，既然是要學「微分」和「積分」，那關「極限」什麼事呢？是這樣的，在有微積分以前，人類是沒有公式來處理不規則變速運動的物體的瞬時速度，也沒有公式來計算不規則圖形的區域面積。面對這樣的問題，我們只能從過去的經驗和既有的公式來思索，看看是否可以透過一定程度的調整來解決問題。
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　　就瞬時速度而言，我們所希望的是能夠計算出一運動物體在某一個時間點的瞬時速度，也就是在某一時間點的位置變化率。你可以試想，一個正在用不規律速度行駛的車子，他前進的速度本來就會有時快、有時慢，那麼，我們是否有能力將這個車子在每一個時間點的速度都賦予一個量值呢？如果這個量值越大，就代表速度越快，反之代表速度越慢？這乍聽下來好像可行，但在還沒有微積分的時代裡，若再進一步細想下去，就會覺得很怪。因為要計算一運動物體的速度，就需要該運動物體在「兩個時間點」的位置；然而，瞬時速度只關心運動物體在「一個時間點」的狀態。也就是說，實作上在求瞬時速度的時候，會遇到一個難題，那就是只有一個時間的位置，所以無法求速度。
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　　為了解決這個問題，我們退而求其次地，在所關心的時間點以外，物體運動的時間範圍內，離所關心的時間點附近再取一個時間點，然後用這兩個時間點的速度，來「暫時」取代該物體瞬時速度。之所以用「暫時」這兩個字，顯而易見地，就是這個量值一般而言並不應該就是我們要的瞬時速度，因為只要多取出來的時間點不一樣，就很容易算出不一樣的值。但這個辦法並非沒用，而是在微積分還沒開始發展的那個時代裡，我們必須引進一個新的概念，那就是「極限」。
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　　既然在所關心的時間點外在取一個時間點來算的速度並無法做為瞬時速度，那麼如果把另外取的時間點無限逼近所關心的時間點呢？這是一個相當好的想法，雖然可能還有很多細節需要處理，但基本上這個逼近的動作，已經解決了算瞬時速度的問題，這是因為直觀上不管大家一開始所取得的所關心的時間點以外的時間點有多不一樣，都會因為做了「逼近」這個動作而使最後的所得到的結果一樣（當然這必須證明「逼近」這個動作最後算出來的答案是唯一的，而這部分確實後來的數學家有順利解決，我們在此暫不討論，也許以後有機會再專門寫一篇關於這主題的文章）。
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　　因此，後來我們就用這個方案來算運動物體在某一時間點的瞬時速度，而這個方案裡面的計算方式，在經過數學家們的檢驗和嚴格化以後，就發展成了日後我們講的微分，而該計算方式裡面所提出的「逼近」的概念，其動作最後也就是我們講的「取極限」，所以為什麼在學微分之前要先學極限？因為微分這個動作，其本質就是取極限的過程。
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　　積分也有類似的過程，為了算不規則的區域面積，我們先把這個區域分割成很多個可用簡單公式計算的矩形（邊界的地方可以自訂一個規則超過一點或縮小一點），然後先用這些矩形的面積總和「暫時」代替原本要求的區域面積；但很顯而易見地，這些矩形面積和並非原本要求的區域面積，所以我們就把這些矩形分割得越來越細，只要這些矩形能夠分割得越細，他們的面積總和就會和原本要求的區域面積越來越接近，姑且不論其實作的細節，這個透過無限分割使矩形面積和逼近原本要求的區域面積的過程，也用到了「極限」的概念。
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　　所以如果你打開微積分的課本，卻在一開始看見要學一整章的「極限」時，請不要意外，因為學數學就像蓋一棟樓一樣，你或許期待微積分這棟樓能建得高大，但別忘了凡是越高大的大樓就需要越強健的地基，而「極限」就是微積分這棟大樓的「地基」。把極限學好，後面才有足夠的內力和體質去學習和發揮微分和積分這兩大絕學。
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　　而要學習極限，雖然有一段路要走，但凡事都可以先從最簡單的內容開始。我在 2020 年時拍攝了微積分的系列教學影片，如果想從零開始學習微積分的話，可以先從我的極限篇裡面的第一部影片「極限的直觀定義」開始看起，我把這部影片的連結貼在下面留言處。
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　　這系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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徵才機關：勞動部勞動力發展署高屏澎東分署
人員區分：其他人員
官職等：無
職系：無
名額：1
性別：不拘
工作地點：82-高雄市
有效期間：110/07/15~110/07/21
資格條件：
1、 經教育部承認之國內外公私立大學校院以上學士畢業，並具有1年以上就業服務、勞工行政、活動計畫書撰寫及籌劃辦理或人力資源管理等全職工作經驗者(務必於報名表、自傳及檢附之工作證明文件中敘明所屬相關經驗類別；報名人員經資格審查符合者，擇優通知參加甄試)。
2、 熟諳MS Office (Word、Excel、Power Point)文書作業。
3、 工作積極認真擅溝通，勇於接受挑戰者。
4、 具就業服務相關專業證照者尤佳。
(二)應試者應具中華民國國籍，並在臺灣地區設有戶籍者，具雙重國籍者，錄取後須依國籍法第20條規定放棄外國國籍，並檢附相關證明文件，始准予辦理報到進用；如於錄取後查覺未放棄外國國籍，一律取消錄取資格，考生不得有異議。
（三）有下列情形之ㄧ者，不得報考：
1、因刑事案件受有期徒刑以上刑之宣告，經判決確定者。
2、曾服公務有貪污行為，經一審判決有罪者。
3、因案通緝尚未結案或在追訴中者。
4、依法停止任用或受休職處分尚未期滿，或因案停止職務，其原因尚未消滅者。
5、禠奪公權尚未復權者。
6、假釋出獄付保護管束之人，假釋未期滿前。
7、受禁治產之宣告尚未撤銷者
8、曾因品德不良或工作不力而解職有案者。
9、有精神異常，或其他無法治癒嚴重疾患致不堪勝任工作者。
10、法定傳染病帶原者(未經治癒且須強制隔離治療者)。
11、因毒品案件受觀察勒戒、強制戒治及刑之宣告者。
工作項目：
一、職稱：業務輔導員(職代)。
二、名額：1名，得備取2名(有效期間自甄選結果確定之翌日起3個月內為止。
三、工作地點：本分署鳳山就業中心(高雄市苓雅區中正二路74號)。
四、僱用期間：自錄取通知報到日起至代理原因消失或期限屆滿日止（現缺期間約1年）。
工作內容及薪資：
（一）工作內容：
1、 辦理銀髮勞動相關課程活動規劃、推動銀髮勞動政策相關作法規劃及管理檢討執行績效、銀髮個案及企業服務輔導。
2、 各項報表製作、執行中心營運相關事宜。
3、 辦理與就業服務相關業務之推動執行。
4、 其他臨時交辦事項。
（二）薪資標準：261薪點(依行政院核定酬金薪點折合率124.7元計算，每月薪資為新臺幣32,546元起)，並享有勞、健保等。
工作地址：
工作地點：本分署鳳山就業中心(高雄市苓雅區中正二路74號)。
電子地圖
聯絡E-Mail：email@email.email
聯絡方式：
報名日期：自即日起至110年7月21日止。
八、報名方式：徵才公告及報名書表請由勞動部勞動力發展署高屏澎東分署網站（網址：http://kpptr.wda.gov.tw/點選「訊息中心」/「分署徵才」)下載，意者請檢附下列資料【(一)至(四)為應附資料、(五)至(六)無則免附；請依序用長尾夾夾妥，切勿裝訂】，郵寄至本分署（郵寄地址：80670高雄市前鎮區凱旋四路105號，聯絡電話：07-8210171分機1403許小姐)，並請於信封上註明「報考鳳山就業中心業務輔導員(職代)」 (報名表word或odt電子檔請同步傳送至wlhsu@wda.gov.tw信箱)，凡報名表件不全、證件不足或報名資料填寫不明者，一律視為資格不符，不另行通知補件。郵寄以郵戳為憑(如親自送件至本分署者，以收發室收件章戳為憑)，逾時報名不予受理。
(一)報名表及自傳表(請以Ａ4紙張列印，自傳以500至1000字為限，須電腦打字，請以Ａ4橫式橫寫書打，內文字體為14級字)。
(二)國民身分證正反面影本（正反面請影印於一張Ａ4紙張內）。
(三)符合資格條件之最高學歷畢業證書影本（持外國學歷證書者，應檢附經我國駐外機構認證之中譯本證明文件，否則恕不受理）。
(四)工作經驗證明文件影本【原服務機關(構)開具之工作經驗年資證明文件影本】(如無法取得服務證明書時，始得以勞工保險投保明細替代，並請簽名「切結屬全職工作年資」，若未切結者，則由本分署審酌投保金額等因素據以判斷)。
(五)相關證照或語文能力證照影本。
(六)符合就業服務法第24條規定之特定對象報名，需檢附證明文件。
九、甄試方式：採電腦測試及口試，兩者皆須通過方符合錄取資格。
(一)口試(占總成績100%)：
1、 配合政府防疫政策，視情況採遠距面試或現場面試2種方式擇一進行。
2、 如採遠距面試方式，參與者須自備具有穩定網路訊號、視訊鏡頭、麥克風及喇叭等可供視訊之裝置。
(二)電腦測試：按身分别區分如下：
1、一般身分人員：中文輸入每分鐘15字以上且錯誤率10%以下。
2、就業服務法第24條規定人員：中文輸入每分鐘10字以上且錯誤率10%以下。特定對象報名者，需檢附資料如下：
(1)獨力負擔家計者：請出具全戶戶籍謄本影本，及受撫養親屬為年滿十五歲至六十五歲者之在學或無工作能力證明文件影本。
(2)中高齡者：年齡在45歲(含)以上者（以戶籍登記為準，實足年齡核計至110年7月14日止）。
(3)身心障礙者：請出具身心障礙者手冊影本。
(4)原住民身分者：請出具註記原住民身分之戶籍謄本影本或戶口名簿影本。
(5)低收入戶或中低收入戶中有工作能力者：請出具證明文件影本。
(6)長期失業者：請出具勞保年資證明、公立就業服務機構求職登記文件及失業證明文件影本。
(7)二度就業婦女：請出具證明文件影本。
(8)家庭暴力被害人：請出具證明文件影本。
(9)更生受保護人：請出具地方檢察署（或更生保護會分會）辦理更生受保護人就業服務（職業訓練）之證明文件影本。
十、備註：
(一)報名人員經資格審查符合者通知擇優參加甄試，惟如均不適合本職缺，本分署得予從缺。
(二)為免浪費行政資源，本職缺以符合報名資格人數2名以上始辦理甄試為原則，未達2人符合資格條件者，本分署得逕行再延長公告7日。
(三)報名應考人參加本次甄選如有冒名頂替、偽造或變造應考所繳交各項證件影本或資料等不實情事、以詐術或其他不當方法，使甄選發生不正確之結果者，除應負法律責任外，於甄選期間發現時，除扣留其所繳交各類證明文件及資料外，並拒絕其進場應試；於錄取公告前發現者，不予錄取；於錄取公告後發現者，撤銷錄取資格；於報到進用後發現者，立即終止勞動契約。
(四)報名者應確保提供之電子郵件及行動電話等通訊資料及設備正確且可正常使用，並適時查閱本分署全球資訊網相關資訊。
(五)如甄試當日因颱風、豪雨或其他不可抗拒之天災、巨變，以本分署全球資訊網公告為準，並請隨時注意並自行查詢本分署全球資訊網發布之相關訊息，以確認是否延期。
(六)本分署臨時人員自97年1月1日起適用勞動基準法，當事人之權利與義務，依「勞動部勞動力發展署高屏澎東分署勞工工作規則」及相關法令規定辦理。
(七)未獲通知甄試或錄取之應徵者如需返還書面應徵資料，可附貼足郵資之回郵信封，以利退還。
職缺類別：
不須具公務人員任用資格職缺
* 請注意：本職缺啟用應徵人員調閱履歷功能，應徵者需同意開放履歷給徵才機關調閱 公務人員應徵作業說明