※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之銘言：
: 想問一個關於反函數的問題
: 我知道反函數的定義 也就是原本函數的定義域為另一函數的值域 原本函數的值域變為
: 新函數的定義域 則兩函數互為反函數

這樣描述還會包括進很多不是互相為反函數的組合

f : R -> R
f(x) = x+1

g : R -> R
g(x) = x+2

這樣定的話 f 的值域跟定義域都是 R, g 也是, 他們不互為反函數
重要的是反函數要把原本函數送過去的東西再送回來, 讓他們兩個合成後是 identity

: 請問…假如一函數f(x)=y=x-1
: 則f^-1(y)=x=y+1=g(y)以及f^-1(x)=y=x+1=g(x)
: 這兩個到底哪個才是f(x)的反函數 印象中會因習慣問題講自變數以x表示 然後f^-1(y)
: =x=y+1=g(y)改為f^-1(x)=y=x+1=g(x)然後才會跟f(x)對稱
: 但第一張圖突然又說g(y)是f(x)的反函數 那g(x)又是什麼…

1. 函數裡面的變數是 "dummy variable", 不論我們用什麼變數, 他們表示的都是
同一個函數. 令

f(x) = x^2
g(t) = t^2
h(u) = u^2
r(a) = a^2

不僅 f, g, h, r 相等, 而且 f(x) = x^2 跟 f(t) = t^2 跟 f(z) = z^2 通通一樣

函數就是把一個東西映射到另一個東西, 而 f(x) = x+1 這種記號的意思就是,
對於所有在定義域中的物件, v, 我們把它關聯到對應域中的物件 v+1

其中我們應該要知道在對應域中 "v+1" 要怎麼解讀


2. 文章中符號有混淆的地方

f(x) = x-1
f(t) = t-1
f(z) = z-1

這裡的 x, t, z 是 dummy variable, 用來代表這個函數要把什麼數字
送到什麼數字, 用什麼符號都一樣

"令變數 y = f(x), f(x) = x-1"

這句話想表達的是, 在以下環境中, 我們希望 y 是 x 的函數.
雖然我們只寫一個字母 y, 但是心中要把他想像成 f(x), 想像成 x-1 之類的算式

而當我們寫 g(y) = y+1, 這裡的 y 跟上面是毫無關聯的, 他只是在表示
g 這個函數是把一個數字 v 送到 v+1, 這個 y 是用來描述 g 這個函數的
dummy variable, 不是 y = f(x) 的 y



3. 若 y = f(x) = x-1
則 f^{-1}(y) = y+1

到此為止, 沒有 f^{-1}(x) = y = x-1 這個等式

我們知道 f 會把 x 送到 x-1, 也就是把 5 送到 4, 把 123 送到 122
而 f 的反函數會把一個數 y 送到 y+1, 也就是 7 送到 8, 把 255 送到 256

f^{-1}(y) = y+1, 我們可以任意改變變數, 不影響 "把什麼數字送到什麼數字":

f^{-1}(w) = w+1
f^{-1}(t) = t+1

他們都是一樣的. 因此 f^{-1}(x) = x+1 才會代表同一個函數
假如我們認定了符號 y := x-1, 那麼顯然 f^{-1}(x) = x+1 不等於 y

: 第二張圖說f^-1(y)為反函數 讓我覺得很矛盾 f^-1(y)不是只是f(x)移項的結果嗎 然
: 後要把y換成x 也就是f^-1(x) 這個東西才是反函數吧…
: https://i.imgur.com/ueAMwrL.jpg
: https://i.imgur.com/fD8DKfi.jpg

符號上習慣讓 "f^{-1}(y)" 指稱 f(x) 的反函數罷了

函數重要的是輸入與輸出之間的關係, 中間用什麼方式來描述都不影響的

也有的介紹到集合論的書會用數對的集合來建構函數:

把 f : N -> N
f(x) = x+7

這個函數, 用集合 {(1,8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12), ...} 來表示

這樣我們知道輸入是 2 時, 也能輸出要是 9

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 165.124.144.106
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/trans_math/M.1513445249.A.3B1.html

要先注意, 把函數連結到平面也是我們自己訂的. 例如我們說假如對一個函數
f(t) = ..., 在 t = x 的時候值是 y (= f(x)), 那我們就把點 (x,y) 畫在平面上.
那這樣變換 dummy variable 對作圖有沒有影響? 並沒有, 因為還是同一個函數,
但是我們可以改變把它畫在平面上的畫法.

假如每個函數我們固定以輸入為 x 座標, 輸出為 y 座標, 那毫無疑問的一個函數
跟他的反函數的圖形會沿著 y = x 這條直線對稱, 這是因為反函數定義就是送過去
再送回來不會變:

兩個函數 f, g 互為反函數(加一些範圍適當什麼的條件), 那

g(f(u)) = u 對所有適當的 u
f(g(v)) = v 對所有適當的 v

這兩個函數畫成圖會怎麼樣呢? 假設 (x,y) 在 f 的圖形上, 也就是說
y = f(x), 那我們知道 x = g(y). 因此 (y,x) 在 g 的圖形上. 反過來說也
成立, 因此他們圖形沿 y = x 對稱.

但我們可以用不同的方法來畫圖. 對於以下的式子

y = f(x)
x = f^{-1}(y)

假如我們說: 讓我們畫圖時, 這式子裡的 x 就代表 x 座標, y 就代表 y 座標,
那當然也可以(向你舉的那個 x = f^{-1}(y) = y-1 的例子). 而這個時候他們
畫出來的圖形就是同一條了:

(x,y) 在 f 的圖形上 <=> y = f(x) <=> x = f^{-1}(y) <=> (x,y) 在 f^{-1}
描述的曲線上

那這個時候 dummy variable 可不可以變? 可不可以寫 z = f^{-1}(x), w = f^{-1}(t)?
變 dummy variable 的話函數本身當然不會變, 但我們前面說的 x 代表 x 座標 y
代表 y 座標這個連結就兜不起來了.

其實這種用法在微積分裡也滿常見的. 例如我們描述一條 x-y 平面上的直線 L
也可以描述說 L 就是滿足 x - y + 1 = 0 的點的集合, 要把它看成函數的時候
可以把 x 看成 y 的函數也可以把 y 看成 x 的函數. 不論哪種看法我們想描述
的是同一條線.
※ 編輯: suhorng (165.124.144.106), 12/18/2017 08:56:33