【處處極限不存在的函數】
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　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
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　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
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　　那麼，該怎麼辦呢？
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　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
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　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
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　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
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　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
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　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
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　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！

想請職能治療師幫忙填寫「您認為合理的年薪是多少？」

填寫表單（匿名）

https://reurl.cc/v5mzQL

歡迎分享

期望能收到至少2015年薪資調查的資料量（N=592）

緣由~~~~

以下是2015年所做的職能治療師薪資調查結果（N=592）之一：

年薪未達65萬者約佔 76 %
年薪未達60萬者約佔 65 %
年薪未達55萬者約佔 49 %
年薪破百萬者.....只佔 4 %

這幾年，沒有相關的調查持續進行，
所以我只能先取2015年的結果做個比對，
有多資料就先做多少事囉。

參考主計處薪情平台2015年的資料庫，
（https://earnings.dgbas.gov.tw/experience_sub_01.aspx）
如果套入將近一半人數的「年薪未達55萬者」的最高年薪55萬，
跑出來的結果為：

您104年總薪資為550,000元，若與醫療保健業之受僱員工比較
您的總薪資介於第4及第5十分位數區間內，
有10％的受僱員工總薪資與您落在相同的區間
有40％的受僱員工總薪資低於您所在的區間，
有50％的受僱員工總薪資高於您所在的區間。

當然，這結果不盡人意。
但，這只是粗略的比對，
畢竟裡面涵蓋了年薪多級跳的醫、牙專業，
整體數值有被拉高，或許沒那麼客觀。

不過，我當初在設計調查表時，
有調查大家對於薪資的滿意度，
約70 %覺得不合理，
這股力量不容忽視。

心中有個遺憾，
當時忘了一件重要的是，
那就是調查大家覺得多少月/年薪才合理。

現在感覺整個市場氛圍很像無頭蒼蠅，
看不到明確的方向，也沒有主流的領頭羊。
我個人的理財習慣是，差多少錢就往差額去做努力。
既然跟官方、雇主、制度也要不太到錢，
或許，得把落差抓出來，
再試著去找到填補這落差的solution，
會是一個新的思維與方向。

現在，想請大家幫忙填一個數字就好，
您認為的合理年薪是多少？

填寫表單（匿名）
https://reurl.cc/v5mzQL

雖然我現在不具有任何公共事務相關的身分，
但至少我的臉書、粉絲頁瀏覽率算高，
多少會牽動出漣漪的🙂

依照不同產業別整理的薪情分佈：
Re: [爆卦] 薪情平台更新到108年了 https://disp.cc/b/163-d3EK ｜爆卦原文 https://www.facebook.com/PttGossiping/posts/2185023741635278

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確診雙位數連續一周以上，台北環南市場卻爆發41人群聚感染，讓原本以為疫情「穩到不行」的網友們再度嚇到發抖，醫師更驚呼「出大事了」，陳時中也坦言解封「時機不對」，反觀日本人看台灣，卻驚嘆我們44天強控疫情，鄉民分析出關鍵原因。


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明報社評
台灣本土疫情持續擴散，昨日（11日）又新增286宗本地確診，再多24人染疫死亡。自疫情爆發以來，累計確診個案已達1.25萬，染疫死亡個案累計385人。值得注意的是，自去年疫情爆發至今年4月底，台灣病歿人數共計12人，5月新增112人，6月前11天已新增261人，可見疫情致死速度非常迅猛，而且出現了大量離世後確診等反常現象。民進黨當局在防疫神話破滅後陣腳大亂，醫院資源不足、疫苗供應不足，都令民間恐懼憂慮加劇。總統蔡英文、行政院長蘇貞昌和衛福部長陳時中，近日被迫首次對疫情肆虐道歉，蘇貞昌更承認，這一波疫情要「歸零」（清零）很難。

蘋果頭條
反修例兩周年︱「反送中關注組」冇人關注仍繼續出po, 阿希與三數個同學，19年為推動系內罷課而開設反送中關注組專頁，但罷課一星期參與的卻只有關注組成員，一共3人。及後再辦過兩次電影放映會，參與人數也是單位數。活動無人參與，他們便寫評論文章。洋洋灑灑數千字的法律觀點，在Facebook大概有雙位數字回應，「都試過拍片做人物訪問，呢啲擺得最多人力物力，但反應係最差嘅」。在繁忙的學期末花一整個月包辦拍攝剪接，只換來雙位數反應，僅僅過百觀看數字，「最初都幾氣餒，做呢啲都係希望多啲人討論」。

東方正論
今日6月12日是反對修訂逃犯條例示威衝突兩周年，回想這兩年間發生種種事情，特區變化之大，恍如隔世，一度給黑暴摧殘得滿目瘡痍，再加上世紀疫潮，香港元氣大傷，就算現在仍未復舊觀，而社會撕裂分化之嚴重，修補恐怕還有一大段漫漫長路。前事不忘，後事之師，回顧與前瞻之餘，最重要是抓緊現在，切勿重蹈覆轍。要說反修例暴潮起源，有說應是2018年港女潘曉穎命喪台灣的案件，修訂逃犯條例聲稱是為了潘案移交犯人，想堵塞法例漏洞，但亦有意見指2014年9月非法佔中埋下黑暴的種子，無論如何，特區政府處理這兩事件，都留有尾巴。

星島社論
由政府發行的第八批通脹掛鈎債券iBond昨午截飛，據初步認購結果顯示，共有約七十一萬七千人認購，涉及總金額約五百四十五億八千萬元，不論認購人數和金額均打破歷年紀錄。由於今批iBond銷情熱爆，政府將發行額加碼至二百億元，以此計算，即錄得超額認購一點七三倍。是次實在太多人抽iBond，故認購者只能穩中兩手，最多獲派三手。與去年比較，今次iBond的認購金額大增四成二，認購人數更增五成七。銀行均指接獲的iBond認購反應十分熱烈，主要受惠低息環境、投資者憧憬通脹升溫，以及沒有大型IPO活動出現。

經濟社評
以美國為首的發達國家限制新冠疫苗出口多時後，最新卻事先張揚會在七大工業國集團（G7）峰會承諾捐出10億劑，聲言要助「全球打針」，惟總劑量杯水車薪，步伐亦緩不濟急，儼如做騷。相反，中國早成為全球出口最多疫苗的國家，近日解救了孤立無援的尼泊爾，且將協助埃及在當地生產等，密密低調做實事。美國及英國有見國內接種率突破6成和7成，日前先後承諾捐出5億及1億劑剩餘疫苗，連同正召開G7峰會的德國、法國和加拿大等盟友，料公布最遲明年底向中低收入國家捐出合共10億劑。