為什麼這篇力矩角動量鄉民發文收入到精華區：因為在力矩角動量這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者ntust661 (一千個傷心的理由)看板Physics標題Re: [問題] 角動量與力矩時間T...
力矩角動量 在 運動星球 Instagram 的最讚貼文
2021-08-18 22:06:34
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※ 引述《Ertkkpoo (water)》之銘言：
: ※ 引述《nomico (小米)》之銘言：
: : 角動量對時間微分等於力矩
: : 如果角動量守恆那對時間微分力矩=0,相當於不會轉動
: : 但是克卜勒第二定律地球繞太陽橢圓軌道轉動是角動量首恆
: : 所以力矩=0,相當於不會轉動,但是它卻是地球繞太陽橢圓軌道轉動
: : 是為什麼呢?
: 推 ntust661:其實角動量對時間微分不會是力矩喔XD 01/16 02:04
: → ntust661:要在某些特定狀況下才會成立 01/16 02:04
: 推 Ertkkpoo:請問樓上為何呢? 難道條件是要定質量系統才成立嗎? 01/17 01:49
: 推 ntust661:樓上可以對質點系(剛體)角動量微分看看 01/17 02:40
: → ntust661:會出現奇怪的項 必須要特定條件才會消掉 01/17 02:41
: 其實我是想針對ntust661大大的推文做請教
: dL d(r x p) dp dr
: ___ = ________ = r x ___ + ___ x p = r x F + v x p = torque
: dt dt dt dt
: 不知道角動量對時間微分需要什麼條件才會等於力矩呢?
: 我自己初步看法應該是 定質量系統
: 不知道實際情形應該是如何呢?
: 謝謝!
考慮剛體系統
剛體對任意點 O 的角動量可定義 ∫ r ×(r ×ω) dm
推導如下
考慮剛體上任意一個質點 i 的速度可以表示成 V + ω ×r
G i/G
剛體對任意點 O 的動量矩 = 剛體上各個質點對 O 的動量矩
→ →
H = Σ r ×Δm V
O i/O i i
= ∫ r ×V dm
i/O
= ∫( r + r ) ×( V + ω ×r ) dm
i/G G/O G i/G
= ∫ r × V dm + ∫ r × (ω ×r ) + r × (ω × r ) dm
i/O G i/G i/G G/O i/G
─ ─
= M γ ×V + ∫ r × (ω ×r ) dm + r ×( ω × M r )
G G i/G i/G G/O G
重心位置(以O點為座標) 以重心為座標的位置
而中間那一項用卡氏座標展開可得對重心的慣性矩陣乘上角速度
其實中間那一項就是對質心的角動量 H
G
故對於任意點 O 的角動量恆有
─
H = H + γ × M V
O G G G
其實蠻酷似於相對速度的轉換^^...
再來就是探討對角動量微分究竟是什麼
古時候的人知道 F = M a
G
非常渴望有一個旋轉的公式對應 M = Iα
先看一下牛頓運動第二定律
剛體對某一個點 O 取力矩
M = Σ r ×Δm a
O i/O i i
我們知道對 O 點的角動量先前的定義為 H = Σ r ×Δm V
O i/O i i
對時間微分會如何呢?!
. . .
H = Σ r ×Δm V + Σ r × Δm V
O i/O i i i/O i i
. .
= Σ ( r + r ) ×Δm V + Σ r ×Δm a
i/G G/O i i i/O i i
剛體上的質點們對其重心位置不變 這項是力矩!?
.
= Σ r ×Δm V + M
G/O i i O
= ( V ) × M V + M
G/O G O
-----------------
這項想消失的條件有三
1. O點為慣性座標下固定點
2. V 平行於 V
G/O G
3. O 點為剛體重心
假設對剛體質心取角動量再對時間微分
. .
H = ([I]{ω}) = M
G G
取剛體慣性矩不會變化的主軸座標 x-y-z
則角動量時變率
. .
M = H = [I]{ω} + Ω ×[I]{ω}
G G xyz
└────┐
↓ ↓
xyz座標下角動量變化率 座標角速度
寫成主軸座標並且把 xyz 貼在剛體上，座標角速度 = 剛體角速度
.
M = I ω - ( I - I ) ω ω
x xx x yy zz y z
.
M = I ω - ( I - I ) ω ω
y yy y zz xx z x
.
M = I ω - ( I - I ) ω ω
z zz z xx yy x y
以上是鼎鼎大名 Euler equation
為相較於牛頓的質點動力學，
Euler 補足剛體動力學所欠缺的重要參數，使得剛體動力學更加完美，更困難(?
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推 Ertkkpoo:感謝大大! 01/17 17:20
推 Griffiths1:奴才才疏學淺 01/17 17:48
→ caseypie:搞了一個座標變換成非慣性系，當然會有「消不掉」的東西 01/17 21:47
→ ntust661:但是通常我們不可能每次取點都能取到慣性座標的點 QQ... 01/17 23:26
→ caseypie:那只是應用上技術層面的問題，角動量的微分依然是力矩 01/18 02:58
→ caseypie:不然我們也未必每次都取到慣性係 01/18 02:59
→ caseypie:難道要因此說動量的微分未必是力？ 01/18 02:59
→ recorriendo:力學課本都有寫啊 怎麼好像很多人不知道XD 01/19 15:15
→ Vulpix:用小時候的說法的話，會稱其為「假想力矩」。 01/20 17:00