※ 引述《NTUclyeng (yeng)》之銘言：
: 想請問一下大家關於下圖
: https://i.imgur.com/qSTyjlb.jpg

先重複一下反矩陣定義

令A為一n*n布於(over)某個域(field)的矩陣，A被稱為可逆(invertible)若

存在B也是n*n，使得AB = BA = I，其中I是n*n的單位矩陣。



然後這個E_1~E_k，叫做Elementary matrix，有幾個重要的性質(皆是定理)

(1)E有3種類型，每一類型分別對應一種基礎列運算(elementary row operation)

(2)從左邊乘E，結果等同於於原矩陣做對應的列運算

(3)3種E都是可逆，其反矩陣(inverse)對應相同類型的基礎行運算

(4)類似於(2)，從右邊乘E^(-1)，結果等同於原矩陣做對應的行運算



(1)~(4)有些定理書裡作者會講，有些藏習題，有些靠自已發現，每本不太一樣



假設(1)~(4)都證完了，這個證明就很單純了，從你筆記的倒數第5行開始

令 B = E_1^(-1) E_2^(-1) ... ... E_k^(-1) ，這個假設是合理的因為上述的(3)


E = E_k ... ... E_2 E_1

顯然 BE = EB = I ，故B是E的反矩陣。

E_k ...... E_2 E_1 A = I 可改寫成

EA = I

=> BEA = BI

=> A = B

，總結A和E互為反矩陣。


: 教授想跟我們說如果列等價於I的矩陣A，則A存在反矩陣。
: 可是倒數第二和第三行（我圈起來的那兩行）
: 為什麼說A等於一堆基本矩陣的inverse就可以說A存在反矩陣呢？
: 如果說是因為可以再左乘很多基本矩陣回去
: 那為什麼證明不寫到Ek*E(k-1)...E(2)E(1)就好了
: 要寫到最後一行呢？

倒數第三行即 A = B

倒數第二行可以想成省略了 :

"既然知道 A = B，又 BE = EB = I ，所以A能改寫成 E^(-1) "

這段話





結論就是跳得或許有點快，還蠻正常的

以上淺見，希望有幫到你


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