為什麼這篇凸多邊形凹多邊形鄉民發文收入到精華區：因為在凸多邊形凹多邊形這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者XII (Mathkid)看板Math標題Re: [幾何] 多邊形內銳角的數量時間Wed Jan...
: 在平面上, 已知一個凸多邊形，不論邊數最多都只可以有三個銳角，
:
: 那麼如果該多邊形是凹多邊形, 其銳角的數量最大值可否以其邊數表示?
: 又如何証明該數字為最大?
:
: → LPH66 : 再仔細討論一下就可以得到 floo((2n+2)/3) 的結果 01/20 23:18
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錯了
以逆時針繞n多邊形走,左轉角度為正,右轉角度為負
設在n個轉角的角度為 x_i*(90度), x_i∈(-2,2), i=1,..,n
因 x_1+..+x_n=4 且第i個角為銳角 iff x_i∈(1,2)
若有 k 個銳角,設 x_1,..,x_k∈(1,2), x_{k+1},..,x_n∈(-2,1]
則 k < x_1+..+x_k = -(x_{k+1}+..+x_n)+4 < 2(n-k)+4
故 3k<2n+4 => k≦(2n+3)/3 => k≦[2n/3]+1
n=3,4,5 時容易畫出有 [2n/3]+1 個銳角的n邊形
若已畫出有 [2n/3]+1 個銳角的n邊形
則有一邊AB,其∠A,∠B為銳角
將AB邊做如下操作,
P Q
\ /
A----------------B => A R B
內部 內部
其中必可使∠APR,∠BQR為銳角,且∠A,∠B亦為銳角,其他角不變
則可作出有[2n/3]+1+2=[2(n+3)/3]+1個銳角的(n+3)邊形
故由數學歸納法可知:
n邊形最多可有 [2n/3]+1 個銳角
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※ 編輯: XII (140.109.16.69), 01/21/2015 18:02:03
推 LPH66 : 啊, 確實如此...推文時做的計算應該是漏了些東西 01/21 20:32
→ LPH66 : 這篇的結論才是正確的 01/21 20:32
→ yyc2008 : x_1+..+x_n=4 看不懂... 01/21 22:31
→ yyc2008 : 請問4是什麼意思? 01/21 22:34
→ firewolfer : 受教了 01/22 08:42
推 ipost : 如果只是要得到這個上限 用 1) x+y=n 2) 90*x+360*y 01/22 08:49
→ ipost : > 180*(n-2) 就可以得到 3x<2n+4的結果. 用數學歸納 01/22 08:50
→ ipost : 法構造的主要作用其實是證明了這個上限是tight 01/22 08:50