大王辦過幾次團購，最受不了的一件事，不是收錢、不是有人欠繳、是打包裝箱。
　
現在住的地方，有位子讓住戶可以丟紙箱，所以要找到免費紙箱很容易，麻煩的是把商品放進去以後，得找一些包材或緩衝材——以前家家戶戶大多有訂報紙，所以過期報紙就是最好的包材。
　
收到包裹時，閱讀這些「包材」是意外的樂趣。還記得90年代全台瘋大家樂的時代，也有人拿六合彩賭報來包水果，小孩子當然沒法賭六合彩。有時難免有種「買櫝還珠」之感：這些包材比貨品本身更令人感到新奇，好像有什麼未知的世界，偷偷溜進了家裡。
　
浮世繪的故事跟這個故事一模一樣：幕末時代，浮世繪已經變成日本社會裡隨處可見、隨手可得的物品，這些用人手一張張使用木刻畫板印出的美麗版畫，變成了平凡無奇的即時垃圾。
　
如同一印刷就開始過期的報紙，沒有太多人在意這些版畫，是來自於葛飾北齋或歌川廣重等等大師的手筆。這些浮世繪最重要的價值，在於它的材質，而非材質上的色彩——揉成一團的浮世繪最好用，塞在箱子裡，可以保護精美的陶器。
　
這很重要，因為這些陶器是要坐船運往遙遠的歐洲去的，一路舟車顛簸，只能麻煩北齋與廣重，好好保護這些貴重的商品了。
　
妳的垃圾是我的黃金，歐洲人就如同發現六合彩賭報的大王，他們發現這些日本人棄如敝屣的「包材」，充滿著優美的筆觸與磅礡的氣勢，驚為天人；
　
另一方面，在日本本土，這些浮世繪不但因為印量龐大而成為包材，就精神意義上，對於當時急速現代化的日本來說，浮世繪也代表著「過氣」「老土」等等傳統意義。人們急著拋棄木屐、作服與兜襠布，急著穿上皮鞋、西裝與紳士帽。
　
原本大眾流行文化裡常見的浮世繪，那鮮艷的色彩反倒變成了俗豔。在海外的日本之光，在日本反倒是全面被拉黑。
　
這種時代與價值觀的劇烈交替，最終形成了巨大的鴻溝。有一整個世代的日本人，其實對本國的浮世繪保持著既熟悉又陌生的距離。他們的眼睛對這些畫作熟悉，但他們卻不理解這些線條與色彩背後的美麗與巧思。
　
有趣的是，即便是在重振浮世繪名聲的海外，對於浮世繪這樣特殊的日本藝術，也未必清楚這些藝術深處的精妙：你甚至能在Uniqlo裡找到印著北齋海浪浮世繪的 T-shirt，但那不過就是片海浪，也許你曾好奇過，這幅《富嶽三十六景 神奈川沖浪裏》，到底何德何能讓人穿著它上街？
　
對我來說，《巨匠的風情—日本名畫散步》是一本不需要推薦的書，它的功能性一見即知。日本知名前衛藝術家赤瀨川原平先生，翻出 14 幅經典的浮世繪作品（也包括其他的山水畫與寫生畫等等），解釋這些畫作之所以經典的原因。同時，赤瀨川先生畢竟是現代藝術家，他也會以現代的觀點來對比這些大師的創意，從中找出大師魅力能夠跨越時空的原因。簡單說，這本書就是一本日本畫小字典，而且還加上了最新版的註解，不但溫古，還能知新。
　
就像電影並非只是展示畫面與音聲，而是這兩種素材的組合，才能呈現出作者無法以口語言說的真意，這些日本畫也有超越畫布之外的精神意義，繪師對於他們揮出的每一筆，都賦與了極大的期望，期望這些畫布上的交錯，能夠完整呈現他們對於藝術的堅持與闡釋。來舉個例子，看看書中提到尾形光琳所作的《紅白梅圖屏風》：
——
這棵梅樹使用的是滴染畫法。沾了顏料的筆尖在先畫好的、水分飽滿的筆觸上點一下，新的顏料便在原本潮濕的筆觸中渲染開來。渲染的範圍會依顏料的濃度與原本筆觸濕潤的程度而有所不同。畫面傾斜的程度、是否沾附些許灰塵、當天的濕度、氣壓或許影響不大，然而顏料滴染的程度多少會因為這些因素而無法預測。

這種享受不確定性的畫法，在日本畫的世界已經成為一門技術。

因此日本畫的部分成果等於是仰賴偶然的力量，也可以說是交付給大自然的力量。

這完全不同於西方世界掌控所有意識的想法，而是意識觀看著演變的結果且不加干預，只是靜靜凝視自然的變化。這種觀點或許可說近乎神明。

這是西方人無法理解的作法。他們認為把一切交給偶然、隨著自然演變的結果行動是不能允許的「軟弱」行為，唯有人類的意識能凌駕世間萬物。
——
　
這已經不只是東西方的畫技差異而已了，這是東西方精神層面上根本性的差異，這不是能從 Uniqlo T-shirt 上看到的事實，而這本書裡有很多這種令人驚喜的諄諄教誨。
　
《巨匠的風情—日本名畫散步》會告訴你，一幅畫就是一個偉大的故事，而這個故事裡，有著執筆的那個人、那個時代、那個國家、以及那個國家形而上的精神觀與宗教觀。《達文西密碼》其實沒有解釋太多達文西的名畫，不過《巨匠的風情—日本名畫散步》，倒是純正的日本近代藝術解剖圖，你不需要是藝術系學生，也不需要什麼知識根柢，這本書一樣能說到你懂。
　
大王不送書（以後也不想再送了），我直接送錢（霸氣）。
只要你買書，然後在下面留言告訴我（順便請分享），3/1 晚上八點為止，我會抽出兩位幸運朋友，轉帳 $100 給你們。
　
出版社可沒有給我一毛錢（出版社真的沒有隨便業配的財力），大王寫了這麼多，完全虧本，但是因為這本書就是有這麼好，所以一定要推薦。
　
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遠足文化第一編輯部　

【畢打街閒人】嘆香港急變，也嘆梁文道辭筆（渾水）

寫了財經好幾年，人亦開始大叔化，居然偶有一些更年輕的朋友會問我如何寫好財經。首先我當然是謙虛地說一些有的沒的，下刪一萬字之類，真實的答案很直接，要寫好財經，就不要參考寫財經的人，應該要把視野擴闊，多參考副刊、文化和寫政論的人。這類人的思維能力、見識和視野維度一般比寫財經的人高好多，要學就跟這班人學。財經是專業，因為專業所以會圍爐，我自知自己寫得不好，跟外面世界比我輸九條街，但在財經這界別，我肯定我是平均之上，皆因這個界別太多爛人。

早於寫財經之前，我是寫雜家的，甚麼話題都涉獵，甚至連推背圖預測和六合彩經我都寫過，我亦曾經出版過一本情色散文集，中二病發作時會投射劉以鬯落自己身上。讀中學的時候我會看梁文道，聽到他辭筆略感可惜，但更大感觸是時勢和思潮變得太快。為此，我甚至在一個名為「地評線」的YouTube頻道錄了一集講他。以前我覺得他寫得很淺白，概念運轉得很好，我甚至買過他的專欄結集《常識》。

後來大學畢業後，我感覺自身成熟了，他以「常識」為主的論述框架沒有更完善，人也去了大陸發展，氣質、文筆和觀點沾染了大陸習氣，故少看了。他的理論底氣是左翼，這幾年左翼理論沒有突破，思潮著眼點不在那兒。但他依然有角色在，例如他找陶傑挑機、順豐寄書出事和錯評黃色經濟圈等，質素下滑，也捉不到文氣。太平盛世用常識包裝理論好有型，但現在是亂世，連和理非都接受到汽油彈時，他的企位和立論就顯得過時了。文明的底氣是來自社會契約和對條約體系尊重，這個基石一被踏破，很多舊的理論體系都要重塑，梁文道抓不住時代的尾巴。

我曾經問過陶傑：「蕭若元嘲你，你不瞅不睬。黃毓民罵你，你也不直斥其名，只單打他為喪貓，影射其癲狗的別名。唯獨你的晚輩梁文道講你，你卻以極高規格的文人法度來回筆戰討伐，這又何解？」他無正面回答，從來筆戰或回應人是要睇對手，不是看道理。我也學到幾分，時有老屁股在網上線下罵我，我多數不理，因為我都要珍惜自己羽毛，而我們知道，陶傑才子的後台一點都不弱。好像梁文道這類中港台吃得開的人，本來就有極高統戰價值，但現在用文人做統戰，不合國家方針。甘於在紅線內做自由派，也不違反他信仰的意識形態。

我對中大的嚮往部份源於他，他在中大校刊一篇訪問〈令人髮指的青春〉描述了他在中大讀書的瘋狂歲月。他的搗蛋有綠林氣慨，也有西部牛仔的瀟灑，跟院長、校長過不去也有挑戰體制的有型，同時他尊重知識，亦不失文士儒風。這樣的複雜混合物令我對讀中大有無限FF。他老了，離開《蘋果》乃至放棄香港，很多網友拍掌，但我仍帶幾分尊重，以前的他真的寫得不錯，能夠急流勇退的人始終不多。魯迅晚年質素下滑，李敖晚年只覺其酸，張五常重複地自我吹奏，李天命因為一條22歲的小子Billy Fung晚節不保。文人晚年多糊塗，能夠在高峰未大跌時給自己一個轉身，亦是難能可貴。

https://hk.nextmgz.com/article/2_716863_0…

Henry的新專欄文章，請踴躍轉載。

//音樂啓蒙之夢想成真

網上版：https://www.hk01.com/…/%E9%9F%B3%E6%A8%82-%E5%BE%9E%E5%8D%A…

文：鍾一匡@鍾氏兄弟

上回講到兒時聽卡式帶及晚上聆聽Uncle Ray電台節目的樂趣，今回述說從卡式帶轉換到鐳射唱片CD這個改變我一生的「載體過渡」。

我第一次聽CD不是在香港，而是在美國洛杉磯。小學四年級跟母親逛街時，她說美國正流行CD，在唱片鋪買了一張《徐小鳳——金曲精選》CD，然後以空郵寄給遠居在美國的舅父。母親當時跟我說CD的音質十分特別，跟唱片和盒帶不同，但因沒有CD機的關係，不知道究竟有多特別。

小學五年級的暑假，跟家人遠赴洛杉磯探望舅父。舅父家地方寬闊，順理成章地有一間宏偉的視聽音響房，房中有兩座約六呎高的喇叭，也是我第一次看見近500張CD。當時正流行著Michael Jackson的《Bad》和George Michael的《Faith》，我卻偏好聽電影配樂。

猶記得，我把《Star Wars》電影原聲大碟CD放進唱機𥚃，當20世紀霍士的fanfare奏起的時候，那種震撼真是非筆墨所能形容。那時我才想起為什麼母親說CD的音質是相當特別，尤其是在聆聽《早安越南》電影原聲大碟中的《What a Wonderful World》，Louis Armstrong 那把像痰掛在喉嚨般富磁性的聲線，經那兩座六呎高的喇叭播放出來時，確實有一種攝人的魔力。我小時候以為歌詞是“dogs say goodnight”，很多年後才發現其實是“dark sacred night”，雖然是一個的誤會，但想像狗兒互相祝福晚安確是一個多麼美麗的畫面。

那個暑假，當我不外出玩樂的時候，便躲在影音室裡，沉迷於聆聽舅父的每一張CD，並忙於製作自己的雜錦卡式帶（mix tape)。除了外國歌手的專輯外，舅父還收藏了一些經典的廣東歌專輯，如譚詠麟的《霧之戀》、林子祥的《千億個夜晚》及關淑怡的《冬戀》等。最令我驚為天人是一張名叫《CBS Sony白金精選》的雜錦碟，CD內有兩首歌令我精神為之一振，分別為曾路得的《天各一方》和大AL的《我的歌》。舅父道：「這才是真正的唱歌。」

直到今天，這兩首歌仍然是我的生命中不可或缺的插曲，亦使我認識到除了主流音樂外，還有一些擁有特別嗓子又默默耕耘的「另類歌手」，他們唱歌的感染力甚至超越主流歌手平舖直敘的演繹，間接地鞭策我活出成為一位唱片監製的夢想。如今，我的心願達成了，因為我終於能為我偶像曾路得監製兩張大碟及為大AL製作單曲，我亦希望在不久的將能監製大AL的全新大碟。

中學一年級，我用零用錢在北角國都商場的唱片舖購買了一些許冠傑的CD，包括《最佳拍檔大顯神通》，並偷偷地放在衣櫃的深處。有一次在大掃除中被父親發現了，父親不但沒有怪責我奢侈，反而買了一部CD機給我，這是我人生第一部CD機。從此以後，我與CD結下了不解之緣。

赴美國讀書前，曾多次光顧銅鑼灣中心地庫的妙聲唱片公司，因為他們有租賃CD的服務，所以常常把CD錄製成卡式帶拿到美國去。租賃過的CD無數，包括有Perry Como、Matt Monro、Linda Ronstadt、Air Supply等。這所唱片舖亦成為了我的私人音樂圖書館。

但要說到影響筆者最大的精神食糧，一定非金獅連鎖影視店(KPS)莫屬。金獅分店遍佈港九新界，地方寬敞，除了可租賃錄影帶外，CD款式也包羅萬有，貨源充足。在沒有YouTube和Facebook的年代，金獅正是我的電影及音樂資料庫。我最愛逛的兩間金獅位於金鐘遠東金融中心及灣仔謝斐道，每次都可以花兩、三個鐘頭去搜尋自己喜歡的東西，就算買不到也不要緊，因為每一次逛完後自己音樂的知識也隨即淵博了。當找到心儀的東西時，那種莫名的興奮由心而發。我曾經在那裡找到了一張《Billboard 1972 Top Hits》的CD，歌曲包括Gilbert O’Sullivan的《Alone Again Naturally》、America的《A Horse with No Name》、Chuck Berry的《My Ding-a-Ling》等，當時的亢奮狀態像中了六合彩般，至今仍歷歷在目。

時移世易，今天CD市道今非昔比，當年輕人只聽網上平台、串流及年長人士回歸黑膠唱片的懷抱的同時，我對CD的熱愛和忠誠卻有增無減。原因有三：（1）我喜歡拿起CD上那種「聚手」的感覺，覺得很有份量和重量；（2）當我看見自己的CD架上的珍藏時，頓覺自己很有品味；（3）CD的封套內容介紹（liner notes)本身就是藝術品，除了閱讀介紹歌曲的文章外，更可以清楚知道哪位樂手演奏什麼樂器，這是對樂手最尚高的致敬啊！

現在我經常光顧的唱片舖包括旺角的「威威店」和灣仔的「搖擺廊」，因為他們的貨品齊全，也在外國訂購很多冷門的專輯以滿足我們音樂發燒友的渴求。兩家唱片舖的東主更是不遺餘力地推廣音樂文化活動，例如主動邀請音樂人到店舖舉行簽名會及宣傳唱片，使以前「不吃人間煙火」和「離地」歌手變得親民、落地，藉此提高大眾購買實體唱片的興趣。

30年前，當CD取代了黑膠唱片時，很多人摒棄了自己的黑膠碟，但有亦很多人珍惜它們，現在這些黑膠碟非常值錢，成為收藏品。現在，mp3取代了CD，也有很多人決定丟掉珍藏多年的CD。我深信，30年後CD將會捲土重來，並成為價值連城的收藏品。且看我的預測是否準確吧！//

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Title:
懂得加減乘除的人就是賭場機率專家？
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Subtitle:
為何機率咁簡單，卻需要電腦運算？
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Script:
上回提到，要預測長賭命運，就要計算EV；要計算EV，就要計算機率；要計算機率，就只需要數數目。

這當然只是故事的一部份而已，有些情況不是數數目就能了事，例如投注六合彩要麼中頭獎，要麼沒有中頭獎，只得兩個可能性，但我們不能因而聲稱中頭獎的機率為二份之一。這個例子與「擲毫要麼公，要麼字，因而機率各佔二份之一」的不同之處，在於擲毫的結果，一般我們會相信是均等，所以才可以使用「切蛋糕」法則。

賭場遊戲也有不少類似情況，例如骰寶（Sic Bo），俗稱買大細，每一局的結果，都可以分成「大」、「小」和「圍骰」三款。很明顯，一般人都會相信大和小的機率均等，但圍骰的機率卻相對低，因此，我們不會採用「切蛋糕」法則，聲稱這三款的結局各佔機率三份之一。

由此，我們需要更利害的方法——「強化版」樹狀圖。



 
強化版樹狀圖，將事件發生機率標記在分枝上，變相濃縮了沒差的資訊。以上方的樹狀圖為例，把擲不到1點的情況濃縮成一個情況，佔六份之五的機率，這有利計算擲出「圍一」的機率：




每一條路線，都是一個情況。每一個情況，都由數個階段構成。階段與階段之間用乘法連繫，情況與情況之間用加法連繫。

下一個階段？乘！　下一個情況？加！

由上圖可見，圍一的機率是 ，如此類推，圍骰包括圍一、圍二、圍三……圍六，總共有六個情況，因此圍骰的機率是 ，

（至此，我們僅用了乘法和加法。）

若以百分率表示，即 。

由於大和小的機率相同，因此從100%的機率之中，剔除了圍骰的2.78%，再各分一半，便是大和小分別的機率了。



大和小機率分別是：

（終於用齊加減乘除了！）

有了強化版樹狀圖，你便能進一步將隨機事件濃縮地考量，以百家樂（Baccarat）為例，你從維基百科（Wikipedia）搜索到百家樂「莊、和、閒」三款結果的機率：



（節錄自：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%99%BE%E5%AE%B6%E6%A8%82）

 
根據圖表，莊勝的機率是0.458597。留意這個用點數表示機率的方法，是分數和百分率以外表達機率的常用方法，點數的好處是方便運算。例如，連開三口莊有三個階段：第一口莊、第二口莊、第三口莊，根據強化版樹狀圖的乘法理論，連開三口莊的機率可這樣計：

0.096448089這個數字代表了什麼呢？你需要將它乘以100，得出9.6448089，它就變成百分率了，即大約有9.64%的機率（接近一成）會連開三口莊。

點數 × 100 = 百分率(%)

不難看得出：賭局規則越複雜，機率便越難計算。以百家樂為例，補牌規則相當複雜，加上莊勝只能賺取0.95注，勝率以人手來計實在太繁複，這就是電腦出場的時候了。大約的流程是：先寫一串電腦程式碼，教電腦了解賭局的規則，然後由電腦取代人手，列出所有可能性，再由電腦數數目，以分蛋糕法則計算機率。但由於寫程式太過複雜，在這入門課就只略述至此。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
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5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
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Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
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Title:
被莊家永遠隱藏的機率原來很易計？
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Subtitle:
一張凳、一本簿、一枝筆，便可以簡單運算？
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Script:
要知道某投注方法會否為你帶來長期穩定盈利，你要靠EV；而EV的計算，則涉及賠率（Odds）和機率（Probability）。一般賭局，賭率無論是固定，抑或不固定，都必定會顯示（例如球賽主勝、賽馬獨贏、六合彩派彩等）；然而，勝負機率卻永遠隱藏。

計算機率可以非常複雜，看過賽馬博彩經典名著《計得精彩》的，相信都會深深感受得到。但計算機率亦可以非常簡單，有些連小學作業都有教。

為什麼又可以簡單？又可以複雜呢？這要由「機率是什麼」說起。

首先，機率就像重量、長度、價錢等，是一個量度值。當你想知道自己的體重，你會站在電子磅；當你想知道自己的身高，你會用尺量度；當你想知過大海船票幾貴，你會查一查價錢；而當你想知道一件事情發生的可能性，你便要計算機率。

那麼，有什麼事你會想知它的可能性呢？擲一粒骰「擲到七點」的可能性，你會想計算嗎？不。因為擲一粒骰「必定」不會擲到七點。那麼，擲骰擲到整數的可能性，你又會想計算嗎？不。因為擲骰「必定」擲出整數。由此可見，當你已經知道問題的答案是鐵定的YES或NO時，你不會問可能性。換言之，當你不肯定某事情是YES還是NO時，你才會想窺探可能性。

最家傳戶曉的例子，非擲毫莫屬：究竟下一回是公定字呢？

雖然機率是數學之中的一個範疇，但機率在語言之中也佔了一席位，縱使未曾學過機率，都會以「五十五十」來描述擲毫的結果，即擲到公和擲到字的機率均是百分之五十（50%）。
 
對有分數概念的則會以「二份之一」描述之。兩者相通，因為一整份是100%，各分一半自然是各佔50%，亦是兩份之中取一份，二份之一也。

分數概念對機率非常便利，將虛無飄渺的機率圖像化，轉化成「切蛋糕」的情況－－由於你深信擲公和字的可能性均等，公和字就像一對雙胞胎，要吃相同份量的蛋糕，身為父母你便得把蛋糕一分為二，一份給公，一份給字，二份之一也。

此平平無奇的「二份之一」概念，更足以延伸至更多情況：

擲一粒骰子，擲得一點的機率是多少？

由於你深信一粒骰子六面的可能性均是相同，它們就像六胞胎平分生日蛋糕，你把蛋糕一分為六，一仔、二仔、三仔、四仔、五仔和六仔各取一份。擲得一點的機率，六份之一是也。

只要看得穿多少胞胎在分蛋糕，便能運算出機率。

雖然擲毫的機率十分顯淺，顯淺得令不少自稱患有「數學恐懼症」的人也會對機率產生興趣，然而，由擲毫和擲骰引起的誤解，同時惹來不少人放棄了機率，甚至徹底訴誅運氣鬼神之說。最常見的誤解是：

「擲公字的機率是二份之一，那麼，要是第一局己擲到了一次公，下一局將必定擲到字嗎？」

當然不是！否則每次擲硬幣不就只會公字公字公字……梅花間竹地出現嗎？這是天方夜譚吧。再者，若「必定」梅花間竹地出現，機率該是100%，這一點也抵觸了「二份之一」的說法。

「既然二份之一的機率，並不代表能夠預測下一局，對賭客來說又有什麼意思？」

答案很簡單，就是用來計算EV，預知定然的長遠結果。
 
明白了機率的意思和功用之後，接下來正式講解機率的3大運算方法：

1. 窮舉法（Exhaustive Method）：一次隨機事件

先前提過，基本的機率運算，是平均分蛋糕的遊戲。由此可見，「有幾胞胎」以及「拿幾件蛋糕」都是舉足輕重的問題。幸好，這種「有幾」的問題，都只是嬰孩學「數手指」（即數數目）可以應付的問題。

由擲公字的例子起步，全部的情況有「公」和「字」，我們就這樣數：

「公……第一個；字……第二個。總共兩個。」

即問題涉及雙胞胎，將蛋糕分成兩份。

如想知擲得「公」的機率，我們又再數過：

「公……第一個。總共一個。」

可見「公」的機率便是「兩份之」中的「一」份，二份之一也。

擲骰子亦同樣，這樣數全部的情況：

「一點……第一個；兩點……第兩個；三點……第三個；四點……第四個；五點……第五個；六點……第六個。總共六個。」

即問題涉及六胞胎，將蛋糕分成六份。

如想知擲得「雙數」（即2、4、6）的機率，我們又再數過：

「兩點……第一個；四點……第二個；六點……第三個。總共三個。」

可見「雙數」的機率便是「六份之」中的「三」份，六份之三也。
 
兩題的答案，分別是「二份之一」（ ）和「六份之三」（ ），究竟誰大誰小呢？欲比較分數，可以先將它化簡，繼續直接觀察，或者相減或相除。然而，分數的觸覺並非人皆有之，曾有趣聞說超過一半的美國受訪者誤以為「四份之一」比「三份之一」大。由此，我建議採取較「平易近人」的百份率（%），換算方法是－－將分子除以分母，再乘以100，便是百份之多少，即多少%了。

機率(%)=分子÷分母×100

以上述的結果為例，先把1除2，再乘以100，得出50，即擲得公的機率為 50%；把3除以6，再乘以100，得出50，即擲得雙數的機率同為50%。平分秋色，「一樣那麼可能」。

由這兩個例子得知：只要能夠準確細數可能發生的情況（我稱之為懂得數手指）便能夠計算基本的機率了。

當然，懂得數手指並不等如一定數得清，當數量太多的時候，例如打麻雀（144隻牌）一起手便食糊（又稱食天糊）的機率，逐個數並非明智之舉。雖然「理論上」只要有一位有無比耐性的人，的確能夠把所有可能性徹底列出，但整個過程也拖太久了吧？

因此，數數目亦應該要有聰明的方法。
 
2. 列表法（Tabulation）：兩次隨機事件

以擲骰子為例，擲一粒骰當然能夠「數手指」，因為只得6面。可是，如果擲兩粒骰呢？總有多少個可能的結果？

「第一粒骰一點、第二粒骰一點……一個;第一粒骰一點、第二粒骰兩點……兩個；第一粒骰一點、第三粒骰三點……三個……」給些少耐性，最終便會得知，總共有36個可能發生的結果。

列出來當然可以，但無可否認實在太煩了，而煩，亦自然代表較易出錯。究竟有沒有什麼方法可以將情況整齊地表達出來呢？
 
日常生活中，有一種表達方法，很值得參考，就是馬經表達「連贏」賠率的列表法。由於「連贏」是要預測單一賽事的冠軍和亞軍馬匹，因此會是兩個馬匹號碼互相配搭，例如「一號馬匹」搭「六號馬匹」，情形就像2粒骰的點數，「一點」加「六點」。

由「馬經作圖法」可以將擲兩粒骰的情況歸納如下：

每一格分別代表一個情況，例如橙色的格子代表「啡色的骰子五點，綠色的骰子三點」。 由此可見，擲2粒骰總共有36個可能結果。換言之，將蛋糕切成36份。

如問擲得總點數為10的機率，使用「馬經作圖法」答案一目了然：

非常明顯，共有3個格子，是兩骰點數相加為十（分別是(4,6)、(5,5)和(6,4)）因此這三十六胞胎，現在有三胞胎說要吃蛋糕了，在「36份之」中吃了「3」份，答案是「36份之3」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）

值得留意的是，這招「馬經作圖法」有一個值得每次使用之前都要小心思索的地方：

試想想，現有6張卡，分別畫了骰子的6面，現在你隨機抽取兩張，請問2張卡的點數相加為十的機率是多少？

很多人會照舊作答「36份之3」，原因是問題只是將骰子變成卡片，情況不甚改變，而且，使用「馬經作圖法」會得出了一幅相同的列表：

可惜這是錯的，答案錯，列表也是錯的，錯在算少了一著：擲骰子可以擲到相同數字，例如2粒骰都是一點，但抽卡並不能抽到相同數字呢！卡片只得1張，你怎樣也不能抽到2張都是一點。因此，列表應修正如下：

灰色代表根本不可能發生的情況，即不存在的胞胎。根據這個修正後的列表，蛋糕應平分為30份，而不是36份。符合相加為十的結果，亦不是3個，而是2個，因為根本沒可能抽出2張都是五點的卡片。有見及此，修正後的答案為「30份之2」（ ）。（試利用公式把它轉成%吧！）
 
3. 樹狀圖（Tree Diagram）：兩次或以上隨機事件

雖然列表可以將可能性整齊地列出來，但列表也有它的局限之處，就是只能解決兩次隨機事件。如有三次或以上隨機事件，則要靠樹狀圖了。

以擲毫為例，如連擲三枚硬幣，擲得至少一次公的話，你便可以獲得8000元，這個遊戲值得花5000元去玩嗎？

首先，你得知道勝出這賭局的機率，即擲三枚硬幣能夠擲得至少一次公的機率。由於這涉及三次隨機事件，因此無法使用列表法，非用樹狀圖不可：

樹狀圖就像旅行路線圖，每一條路都是一個行程，每一個行程就是每一個可能性，不妨逐個寫出來看看：

由圖所示，這年遊戲總共有8個結局，而當中有7個結局能使你獲得8000元獎金，由此使用「分蛋糕」概念，你勝出遊戲的機率是8份之7，換算成百分率，即87.5%。

賠率則這樣計算：以5000元當作1注，如得勝則淨贏3000元，即贏3000÷5000注，又即0.6注。因此，你若參與這個賭局，你的EV = 0.6 × 87.5% - 12.5% = 40%，是一個正數。長賭下去，你將會獲取40%的純利，當然值得參與賭局。
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
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