【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
　
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
　
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
　
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
　
1⃣
　
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
　
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
　
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
　
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
　
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
　
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
　
2⃣
　
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
　
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
　
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
　
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
　
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
　
3⃣
　
高中教過許多關於基本函數的公式
　
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
　
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
　
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
　
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
　
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
　
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
　
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
　
4⃣
　
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
　
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
　
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
　
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
　
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
　
5⃣
　
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
　
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
　
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
　
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
　
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
　
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
　
6⃣
　
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
　
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
　
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
　
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
　
這邊列一下定義內容：
　
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
　
噁心吧？
　
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
　
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
　
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
　
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
　
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
　
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
　
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
　
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
　
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
　
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
　
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
　
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
　
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
　
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
　
嗯... 我又離題了
　
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
　
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
　
///
　
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
　
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
　
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
　
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
　
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
　
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各位午安
今天來跟大家分享一個比較簡單的主題：三角函數的微分
　
相對於指對數的微分而言
三角函數的微分對我們台灣的高中生來說
只要熟練微分的定義
還有最近我在 高中數學討論區 被討論的那篇文章提到的式子
lim_{x→0} sin(x) / x = 1
(https://www.facebook.com/groups/706762492694458/permalink/3358584930845521/)
配合學過的三角函數和角公式
就能輕鬆獲得 sin(x) 和 cos(x) 的微分
　
至於 tan(x) 等剩下四個三角函數的微分
只要學過了微分的四則運算以後
就可以用微分的四則運算配合基本函數的微分取得
所以說其實三角函數的微分並不困難
詳細計算過程如影片所示
如果有興趣的話不妨點開看看
　
另外最近有同學問我
如果只是學生沒有信用卡要如何贊助我
首先，非常感謝同學們的支持
但其實只要各位能多幫我按影片讚或分享
甚至把影片好好看完，學到一點東西，把書念好，把試考好
那就是對我最大的贊助了
　
真的很感謝最近開始許多從四方而來的支持與關心
我們團隊會繼續努力！
謝謝！
　
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經過幾天了，這個事件還是常繞在我心頭，也許是因為血淋淋的字字句句、也許是因為有了孩子，真的很容易想很多，然後想著「是不是想再多都不夠多？」


希望自己能是更細膩、更細心的母親，希望自己能是孩子的避風港，希望這社會上沒有這麼多陰暗⋯

經過作者同意以後，我第一次全文轉貼一位母親的來信。雖然文章很長，但是我希望朋友們可以耐心看完。關於她的問題，我會另文回應，畢竟這是我對她的承諾。她的文筆很好，也很容易閱讀，下午有時間的話，各位可以思考她的疑問。

_________________________

呂律師，您好

追蹤您許久，第一次寫信給您。

我必須要在信的開頭，一口氣直接問出問題，不然我就說不下去了。

「一個母親，要如何與女兒討論強暴。」

我要怎麼教導女兒關於醜惡的知識，那些令人顫慄，連陳述都讓人呼吸窘迫的煉獄。那是知道了就不能回頭的事情，知道了之後，看什麼都蒙著猜忌的眼光、都預想著黑暗的圖謀、惡意的雙關。連看著太陽都不能相信晴天。

這個問題，我竟然想不出除了您之外，還能夠諮詢誰了。我想問的問題不在於法條，不在於蒐證，不在於訴訟。很抱歉我必須說，以一個母親的立場看來，台灣的法律在實際處罰這些罪犯上，簡直跟綜藝節目拿餅乾盒敲頭一樣搞笑，一樣沒有正義可言。

律師，您知道林奕含的「房思琪的初戀樂園」這本小說嗎？且讓我引用張亦絢的故事摘要：「已婚補教名師李國華五十歲了，誘姦十三歲的房思琪之前，狩獵學生的經驗已很老到。在初次性侵五年後，與思琪情同雙胞的劉怡婷，接到警局通知，去帶回神智不清，被判定瘋了的思琪。透過思琪的日記，怡婷得知思琪五年中的所見所思。五年初始，嫁入錢家的伊紋，是少女的忘年交，但在李國華的用計下，將其『文學褓姆』的位置，讓出給李國華。二十餘歲的她，是丈夫家暴的沉默受害者，如此懦弱的女前輩，形成少女弔詭的守護者。在思琪與伊紋之間，存在某種「不幸的平等」。儘管伊紋的關懷，是思琪的一線希望，但在李國華對思琪的暴力加劇之後，終究未成救援。伊紋鼓勵怡婷不忘房思琪之痛──儘管不知內情的眾人，尊敬李國華如故，並將房思琪瘋掉一事，歸咎於伊紋讓她們『讀太多文學』。」

我經歷過類似房思琪的經驗。類似。

所以我第一次知道這本書的時候，我逃了，我根本不敢看，不敢讀，不敢點閱任何書評。第一時間我感受到的不是救贖，不是有人為了喑啞的我發聲，而是知道我只要再靠近這本書一步，我好不容易遺忘了一點點的過去，掙扎泅泳活過來的這些年，只是一座自欺欺人的稻草屋而已。

可是我不能不為了女兒讀這本書。儘管她們還不到三歲，我卻不能不提早思考這個問題。

關於單純。這個世界，對毫髮無傷長大的孩子來說，是危機四伏的。我說的毫髮無傷，不是肢體上的無疤無垢，而是不曾迎面撞上壓倒性的暴力（肢體上精神上都是），這些連好萊塢電影都不一定敢直接生吞活剝演出來的東西。有時候，我都想搖著編劇的肩膀，「嘿，你沒看社會新聞嗎？你難道不知道還有更可怕更黑暗的事情嗎？你只是不敢說出來，對不對？」

有時候單純美好的東西，對邪惡而言，是終極的誘惑，非要砸爛、非要親手毀滅的，惡意的狩獵。美--各種意義上的美--到底是祝福，抑或詛咒？

十幾歲女孩的單純，或說無知，究竟是什麼東西呢？

關於男性的性器官與性行為本身，對十幾歲，沒有過任何性的想法的女孩子，那時完全模糊且抽象的概念，就像是「我聽過微積分，但那確實是什麼東西我根本說不上來。」

陰莖與勃起。健康教育課本上無意義的圖案，無實際用處的說明。實際上的陰莖到底長什麼樣子，勃起與不勃起又是什麼樣子，「總之看課本就是個條狀物吧？」除考試那一天，這是日常生活裡不會碰觸到的事情，就像「土星的質量是地球的95倍，」但這究竟實際上意味著什麼呢？總之不是需要真的知道的東西吧，搞清楚sin cos之類的公式在當下才是更實際一點的任務。

「電影演到親吻就結束了，但現實生活中，親吻之後才開始」。這裡的電影當然不是指A片。單純的小女生怎麼會看過A片呢？所以，一樣，親吻之後的事情，不只想都沒想過，是根本不知道之後還會有什麼事情。電影裡面，親吻之後，只有床邊落地窗的白色絲質窗簾會輕輕地飛揚起來而已。

以上，或許，我是說或許，非常「先進」的性教育還能夠教導。

但關於強暴，這是什麼呢？
你會知道你挨罵了，被揍了，被車撞了。
可是你怎麼知道你被強暴了？
違反你本人意願的性行為？從哪裡開始違反呢？

走在路上忽然被抓住，或許掙扎是很正常的反應。我說或許，是因為我沒有經歷過，我不能假裝我知道或如果我遇到我會怎麼做。在壓倒性的暴力跟前，我們最好不要理所當然地以為自己能做出什麼反應。

那誘姦呢？誘姦像什麼呢？

「你自己跑來我家/跟我到旅館去，難道沒想過會發生什麼事情嗎？」

單純就是：「真的沒想過。（因為到親吻就結束了啊）」或者，更單純一點，至於是不是那麼單純另當別論，「我想像過的場景是發乎情、止乎禮的」。

（啊，這樣違反了我的意願嗎？算嗎？所以我也有錯，是嗎？既然我也有錯，所以我就不能說他錯了，是嗎？）

「你怎麼可能相信事情有這麼簡單啊？」

「因為我根本不知道事情可以變得多複雜啊。我怎麼知道對方懷著那麼邪惡的念頭呢？我從來沒有想過那些可怕的事情啊。」

這種單純，就像我們搭飛機之前，並不是在思考過流體力學或熱力學之類的知識，甚至跑去查驗保養清單流程、甚至分析各家航空公司失事紀錄之後才上飛機的。只是單純相信自己不會摔飛機而已。

如果您要提出這兩件事情存在風險差異的異議，我是完全同意您的。我只是比喻而已。

尤其如果對方是熟人的話，那種錯愕與驚恐、甚至荒謬，大概跟警察署長率領全副武裝的保一總隊忽然在夜裡衝進你家說玉之丞指控你是外星來的間諜一樣吧。

請律師不要嘲笑或覺得道理上說不過去，「為什麼不反抗？」「為什麼不逃跑？」事發的當下，腦筋在巨大的震撼之下是忽然暫停無法思考的，或說大腦進入不停高速運轉，全力解析「現在到底發生了什麼事情？怎麼變成這樣？」的狀態，無法發展出其他反應。

我經歷過這個，所以我知道那種腦筋空白的顏色。

但我要怎麼教孩子辨識出那些惡毒的訊號？這些訊號是能夠窮舉的嗎？我要怎麼描述那些暴力爪牙的細節，那些我還沒說出口就幾乎要咬碎自己舌頭的動作和場景？

還有那些無法重新建構的，支離破碎的性侵害陳訴。

請想像一下，有一天您開庭出來，招了一輛計程車要回家，上車之後司機忽然拿槍逼你背下五條落落長的化學式，你在驚嚇中勉強背完讓他驗收之後，他就把你丟包在路邊。（是的，非常莫名其妙，但哪一件強暴不是莫名其妙發生的？）

你向其他人陳述這個事件的時候，他們卻反問你：「你幹麼不手機叫車啊？你不知道路邊招車很危險嗎？」「你先把那五條化學式背出來看看啊！」「證據呢？」「那司機長什麼樣啊？」「背不出來？所以根本沒有這件事情吧？」「背化學式？這麼腦殘的藉口你掰得出來？你是故意要炒新聞吧？」「你不是很紅了嗎？是要多紅才甘願啊？」

律師您還會不會大聲吶喊：「事情就是這樣啊！就算你們覺得莫名其妙，但確實這樣發生了啊！」

然後呢？要一直辯解一直奮戰下去嗎？直到那些罪犯被法院判處了和我受的傷害相比不痛不癢的刑罰嗎？

就算對方被判刑，就算我得到法律上的「正義」，有誰教我要怎麼修復自己的身體、心靈、記憶，怎麼繼續活下去呢？

（還能夠活下去嗎？）

（事發當下，一部分的我就已經永遠死去了啊。）

我該怎麼跟孩子談這個議題呢？

謝謝您讓我把這件事情說出來，這封信我非得一個晚上一口氣打完，因為我無法負荷另一個思索這個問題的夜晚了。

謝謝您。