[爆卦]克卜勒第三定律證明是什麼?優點缺點精華區懶人包

為什麼這篇克卜勒第三定律證明鄉民發文收入到精華區:因為在克卜勒第三定律證明這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者Qmmmmnn (Qmmmmmmmmm)看板Physics標題Re: [問題] 萬有引力證明克卜...

克卜勒第三定律證明 在 余海峯 David Yu | Astrophysicist Instagram 的最讚貼文

2021-02-02 00:00:50

第三部分「太空中真的是無重力嗎?萬有引力貫穿宇宙空間」 . 未讀第一部分的朋友可以先看:facebook.com/davidyu.phycat/posts/239431704213490 未讀第二部分的朋友可以先看:facebook.com/davidyu.phycat/posts/24047181...


※ 引述《falltasitic (天然呆>"<)》之銘言:
: 高中物理所提到萬有引力證明克卜勒定律的方法
: 是假設行星是以圓周運動方式運行
: 但是克卜勒定律不是橢圓軌道嗎
: 高中物理的證明方式應該是有問題的吧
: 麻煩大大可以幫我解惑一下,謝謝
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其實高中一直都沒有證明過橢圓軌道的克卜勒第三定律

我猜你現在問的是第三吧..Hmm

畢竟第一跟第二比較好理解。

以下證明其實不難,以高中生的程度是可以想到的(我高三就想到了)

在看以前,可以考慮要不要先自己想想看

給你個想法


你要搞出週期,而且這與半徑有關,代表週期與橢圓的特性(半徑、面積?)有關

接著,這週期可不是亂來的,它是遵守了某些定律

好比說,克卜勒第二定律、能量守恆、角動量守恆的,這些定律就像是

邊界條件一樣



所以靠這幾個就可以搞出來了~~




確定要看了嗎? 那就往下吧^^

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下面的證明過程,忘了考慮約化質量所造成的影響

但是我懶得改了,所以看完以後請繼續往下看推文那裏的修文

就可一目瞭然哩

THX

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1.藉由克卜勒第二定律

0.5r1v1 = 0.5r2v2 = πab/T --- (1)


T:橢圓軌道週期

a:橢圓半長軸長度

b:橢圓半短軸長度

r1:近日點距離

r2:遠日點距離



2.藉由能量守恆

-GMm/r1 + 0.5mv1^2 = -GMm/r2 + 0.5mv2^2 --- (2)



取(1)其中一條,0.5r1v1 = πab/T

a = (r1+r2)/2

b = (a^2 - c^2)^(1/2)

c = a - r1 = (r2-r1)/2 代入上式


∴ b = (r1r2)^(1/2)

∴0.5r1v1 = π * (r1+r2)/2 * (r1r2)^(1/2) / T --- (3)

∴ r1v1 = π*(r1+r2)*(r1r2)^(1/2)/T



由(2) 與 r1v1 = r2v2 可整理出 v1(r1,r2,GM)的式子

==> GM(1/r2 - 1/r1) = 0.5(v2^2 - v1^2)

∵ v2 = r1/r2 * v1

∴ 2GM(r1-r2)/r1r2 = v1^2 * (r1^2 - r2^2)/r2^2

∴ 2GM/r1 = v1^2 * (r1+r2)/r2

∴ v1 = [2GM * r2/r1 * 1/(r1+r2)]^(1/2) --- (4)


將(4)代入(3)


==> r1*[2GM * r2/r1 * 1/(r1+r2)]^(1/2) = π * (r1+r2) * (r1r2)^(1/2) / T

==> [2GM*r1r2]^(1/2) * 1/(r1+r2)^(1/2) = π * (r1+r2) * (r1r2)^(1/2) / T

==> (2GM)^(1/2) = π*(r1+r2)^(3/2) / T = π * [(r1+r2)/2]^(3/2)*2*2^(1/2)/T


∴ GM/4π^2 = [(r1+r2)/2]^3/T^2 = (平均半徑)^3/T^2

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◆ From: 140.112.249.233
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 11:50)
a80481ivan:推一個! 那個π好像有平方 11/07 12:11

謝謝提醒,我打到眼花了@~@

nightkid:你這個不完全正確 這是太陽不會動的假設下做出來的 11/07 14:45
nightkid:我沒記錯的話 左邊應該是G(M+m)/4π 11/07 14:46

你說的沒錯!!感謝提醒。

是約化質量那裏出了問題~。

a80481ivan:應該是縮減質量吧QQ 11/07 15:05
a80481ivan:其實太陽根本不太會動 11/07 15:05

若要判斷太陽會不會動,其實我個人認為這是沒甚麼意思的。

因為動與不動,是一種相對的概念,所以...接下來你應該懂我想說甚麼^^"

xgcj:我記得我以前好像有算過 11/07 18:41
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 21:48)
youmehim:你說的應該是質心座標吧? 作用力依然是-GMm/r 變單體運動 11/07 21:53

其實你的最後一句話就幫我說出了答案

之所以可看為單體

其實就是站在太陽的座標來看,太陽不會覺得自己在動,會覺得是行星在繞著它轉。

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所以這不是質心座標,而是"太陽的座標"

高中時,幾乎每個老師都說是以質心的角度來看待使用約化質量這件事情。但實際上

卻沒有幾個老師去列式說明這句話的意義。換句話說,其實是要以相對某物的概念,

也就是以"某物的座標系"來看待這雙體運動時,就會得到約化質量這個結果。


在此題,就是以

""太陽看到的行星加速度 = 行星相對太陽的加速度

= 太陽給行星的萬有引力/質量""

來得到此質量為約化質量的。

youmehim:質量為Mm/(M+m) 位置為兩物位置向量差 11/07 21:54
youmehim: 上兩行少打.. ^2 11/07 21:56

詳細證明,維基百科有寫,可以去看看。

youmehim:是在一物上看另一物沒錯= =|| 不過F=-GMm/r^2中的m以約化 11/07 22:11
youmehim:質量去帶 應該是不對的 11/07 22:12

如果萬有引力的m要換約化質量的話,就表示在不同座標系下所看到的"力"不會相同了。

然後這就與證明約化質量的過程違背了,因為它假設換到另一個某物之座標系上時,

所看見的另外一物的受力與原本相同..

youmehim:而物體動能中的質量用約化質量去帶沒問題 11/07 22:14


我再重新寫一次好了

1. r1v1/2 = r2v2/2 = πab/T

2.

-GMm/r1 + [Mm/(M+m)]v1^2/2 = -GMm/r2 + [Mm/(M+m)]v2^2/2

位能的值,要由萬有引力去做積分並且令無限遠的位能為0,而萬有引力不會因

以太陽的座標來看而改變,因此位能不會改變..

所以2式就變為

-G(M+m)/r1 + 0.5*v1^2 = -G(M+m)/r2 + 0.5*v2^2

對照上述證明過程

可以得到最後的結果會是

G(M+m)/4π^2 = [(r1+r2)/2]^3/T^2
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 22:31)
youmehim:從能量觀點來看 動能和=質心動能(為零)+約化質量動能 11/07 22:32
youmehim:問題可以由兩物皆動 改成一物不動 一物動 兩種問題兩物距 11/07 22:33
youmehim:離都一樣 位能不會有問題 依舊可以看成太陽跟地球的運動 11/07 22:35
youmehim:結論是:用約化質量的觀點 重力/重力位能 是跟原先相同的 11/07 22:38

恩,以這角度出發就會知道,當站在質心座標系上觀察時,會覺得它的總能量

變為內動能了,而這時候我覺得...可能就一樣去算它們兩者的動能,

的確會等於0.5*約化質量*相對速度^2吧

不過個人偏好以站在某物的座標系上來看..HMM。

謝謝學長提醒約化質量與萬有引力的事情。
※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 22:42)
youmehim:以約化質量出發的話 處理的r是兩物距離 算出來的結果 11/07 22:46
youmehim:跟站在一物看另一物的結果是一樣的 11/07 22:47
youmehim:假如說直接把座標移到其中一物...非慣性座標重力不好處理 11/07 22:47
facetruth:你沒有從萬有引力的角度出發.. 11/08 12:01
facetruth:你是萬有引力→能量守恆→克卜勒 11/08 12:02
facetruth:原PO要問的應該是 直接由反平方力→軌跡方程式→克卜勒 11/08 12:02
facetruth:而且你是拿第一、第二 當做假說去證明第三 11/08 12:03
facetruth:你還沒證明"行星會以橢圓軌道運行" 11/08 12:03
facetruth:事實上這才是重點所在 如何解軌跡方程式 11/08 12:04
facetruth:你必須證明第一定律才行 11/08 12:06
facetruth:也就是"反平方引力→橢圓軌道" 11/08 12:06
facetruth:這如果沒有學過柱座標跟微分方程是證不出來的... 11/08 12:07
facetruth:至少一般高中生沒辦法.. 11/08 12:07
facetruth:我想原PO要問的應該是證明軌跡方程式的方法 11/08 12:08
facetruth:你並沒有回答到他的問題.. 11/08 12:08
Qmmmmnn:所以呢 你是原po嗎 11/08 22:38
Qmmmmnn:回答一個問題而已 這麼多意見= = 11/08 22:39
HDT:說真的 F大都回那麼多了 直接回一篇文不就好了? 11/08 22:42
Muscovy:事實上 facetruth 講的才是重點... O_o 11/08 23:19
HDT:是有抓到原PO想問的重點沒錯 只是為啥不回文XDDDDDDDDDDD 11/08 23:20
Muscovy:我猜原 po 要問的可能反而沒那麼難, 但是... 11/08 23:29
Muscovy:但是深究下去會發現癥結就是 facetruth 點出的那些關鍵. 11/08 23:30
sneak: 而物體動能中的質量用約 https://noxiv.com 08/13 15:53
sneak: 用約化質量的觀點 重力 https://daxiv.com 09/17 13:54
sneak: 但是深究下去會發現癥結 https://muxiv.com 11/09 11:56
sneak: 也就是"反平方引力→橢 https://muxiv.com 01/02 14:35
muxiv: 但是深究下去會發現癥結 https://moxox.com 07/06 22:34

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